Inevitable Randomness in Discrete Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Jozsef Beck

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:2009-9-1

价格:USD 59.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821847565

丛书系列:

图书标签:

• Discrete Mathematics
• Randomness
• Combinatorics
• Probability
• Algorithms
• Graph Theory
• Number Theory
• Mathematical Foundations
• Theoretical Computer Science
• Mathematical Modeling

《概率的必然：离散世界中的随机法则》 内容简介 在浩瀚的数学海洋中，离散数学以其清晰的结构和逻辑的严谨性，构建起我们理解数字、集合、图形以及信息传递的基石。然而，当我们深入探索这些看似有序的领域时，一个意想不到的元素——随机性——悄然显现，并以一种出人意料的“必然”姿态，深刻地影响着我们对离散世界的认知。本书《概率的必然：离散世界中的随机法则》正是致力于揭示这种看似矛盾却真实存在的联系，深入浅出地探讨随机性在离散数学的各个分支中扮演的关键角色。 本书并非一本传统的离散数学教科书，它不以系统性地介绍图论、组合学、数论等基础知识为主要目标。相反，它将视角聚焦于离散数学的“动态”和“不确定”维度，阐释了在有限、离散的框架下，概率论如何成为理解和预测行为不可或缺的工具。我们将看到，即使是最基础的离散结构，一旦引入随机因素，便会展现出丰富的、往往是难以直接从确定性分析中推导出的特性。 第一部分：离散结构的随机性之源 在这一部分，我们首先要建立一个清晰的认知：随机性并非只存在于连续的、充满无穷小的世界。在离散数学的语境下，随机性体现在一系列具体的、可数的事件和状态中。我们将从最直观的例子开始，例如： 随机图的生成与性质： 传统的图论研究图的确定性结构，例如连通性、路径、环等。然而，现实世界中的网络（社交网络、互联网、生物网络）往往是动态演化且高度随机的。本书将介绍构建随机图模型（如 Erdős-Rényi 模型），并探讨其在期望意义下的性质，例如图的连通性阈值、聚类系数的期望值等。我们将发现，即便是在一个随机生成的巨大网络中，某些统计规律也会“必然”地出现，揭示其内在的组织结构。 随机过程在离散状态空间中的表现： 马尔可夫链是离散随机过程的典型代表。本书将深入分析离散状态空间上的马尔可夫链，例如随机游走在图上的行为。我们将探讨稳态分布的概念，理解系统在长期演化后趋于何种概率状态。这对于模拟各种动态系统，如信息传播、粒子扩散、算法的状态变化等至关重要。 组合对象的随机取样与计数： 组合数学关注的是元素的排列组合。而本书将引入随机取样的方法，例如从一个集合中随机抽取元素，或者随机构建一个组合结构。我们将讨论这些随机过程的概率分布，以及它们如何帮助我们估算复杂组合问题的答案，甚至比精确计数更有效。例如，随机生成一个排列，它的逆序对数量服从特定的分布，这在排序算法的分析中非常重要。 第二部分：概率工具在离散分析中的应用 一旦我们理解了离散结构中随机性的来源，下一步就是掌握分析这些随机性的强大工具。本书将重点介绍以下概率论的核心概念，并展示它们如何被应用于离散数学问题： 期望值与方差： 这是分析随机变量最基础也是最重要的工具。我们将学习如何计算离散随机变量的期望值和方差，并将其应用于分析算法的平均运行时间、随机结构的某个特定性质的期望值等。例如，分析一个随机化算法在一次执行中需要访问的平均节点数。 概率不等式： 在某些情况下，精确计算概率可能非常困难。概率不等式（如马尔可夫不等式、切比雪夫不等式、Chernoff 界）提供了一种有力的上界或下界，使得我们能够在不完全了解分布的情况下，对事件发生的概率做出有意义的估计。我们将看到如何利用这些不等式来分析随机算法的失败概率，或者证明某个随机事件发生的可能性极低。 随机变量的收敛性： 随着样本量的增加或系统规模的增大，随机变量往往会表现出某种收敛性。本书将介绍弱大数定律和中心极限定理的离散形式。这些定理解释了为什么在许多情况下，我们观察到的平均值会趋近于期望值，以及为什么正态分布会如此普遍地出现在各种随机现象中。这将帮助我们理解为什么在大型离散系统中，统计规律会显现出来。 生成函数与概率母函数： 生成函数是组合数学中用于表示序列的强大工具。当我们将生成函数与概率相结合时，它们就变成了概率母函数，能够方便地计算随机变量的期望、方差以及推导概率分布。本书将展示如何利用概率母函数来分析离散随机变量的性质，特别是在涉及多项式试验和累积分布的问题中。 第三部分：随机性在离散数学算法与模型中的体现 概率的必然性并非仅仅停留在理论层面，它更是现代计算机科学和信息科学中许多强大算法和模型的核心驱动力。在这一部分，我们将深入探讨随机性如何在实际应用中发挥作用： 随机化算法的威力： 许多高效的算法，例如 QuickSort 的随机化版本、Monte Carlo 算法、Las Vegas 算法，都依赖于随机性来规避最坏情况的发生。本书将分析这些算法的随机性如何保证其在期望意义下的优越性能，以及如何通过概率分析来评估其可靠性。我们将讨论随机选择枢轴元素如何使得 QuickSort 的平均时间复杂度达到 O(n log n)，以及 Monte Carlo 方法如何通过重复采样来估计复杂问题的解。 密码学中的随机性： 现代密码学的安全基石之一就是随机性。本书将触及伪随机数生成器在密码学中的作用，以及基于概率的加密和签名方案。我们将理解为什么缺乏真正的随机性会成为密码系统的致命弱点。 统计推断与离散数据： 在处理大量的离散观测数据时，概率论是我们进行统计推断的唯一途径。本书将介绍贝叶斯推断在离散模型中的应用，例如如何利用先验概率和似然函数来更新对参数的信念。这将帮助读者理解如何从不完整的、充满随机性的数据中提取有用的信息。 信息论中的概率模型： 信息论的基本概念，如熵和互信息，都建立在概率分布的基础上。本书将初步探讨离散概率模型如何用于量化信息的冗余度和不确定性，以及这如何影响数据压缩和信道编码的效率。 本书的目标读者 《概率的必然：离散世界中的随机法则》适合所有对离散数学以及其与概率论交叉领域感兴趣的读者。这包括： 计算机科学专业的学生和研究人员： 尤其是在算法设计、数据结构、机器学习、人工智能、密码学、信息论等领域。 数学专业的学生和研究人员： 希望拓宽对离散数学和概率论理解边界的。 统计学专业的学生和研究人员： 希望了解概率论在离散结构中应用的。 对科学和技术有浓厚兴趣的读者： 希望理解数据驱动的现代世界背后隐藏的数学原理。 本书的特色 概念的深度与广度并重： 在介绍核心概念的同时，不回避其背后的数学严谨性，并通过丰富的例子来阐释其应用。 强调“必然”与“随机”的统一： 致力于消除读者对随机性与确定性数学的割裂感，展现两者相互依存、相得益彰的辩证关系。 实践导向： 许多内容都与实际应用紧密相连，让读者看到抽象数学概念如何转化为解决现实世界问题的强大工具。 循序渐进的讲解： 即使是初次接触某些概念的读者，也能通过本书清晰的逻辑和生动的阐述，逐步掌握核心要义。 踏上这段探索之旅，我们将一同发现，在离散数学那看似井然有序的世界里，“概率的必然”并非一种偶然，而是理解复杂现象、设计智能算法、洞悉事物本质的必要视角。本书将引领您走进这个充满挑战与魅力的数学领域，解锁离散世界中隐藏的随机力量。

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