Algorithmic Algebraic Combinatorics and Grobner Bases pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Klin, Mikhail (EDT)/ Jones, Gareth A. (EDT)/ Jurisic, Aleksandar (EDT)/ Muzychuk, Mikhail (EDT)/ Pon

出品人:

页数:324

译者:

出版时间:

价格:1073.00 元

装帧:

isbn号码:9783642019593

丛书系列:

图书标签:

• 算法代数组合
• 格罗伯纳基
• 代数几何
• 组合数学
• 计算代数
• 多项式环
• 理想理论
• 计算机代数
• 交换代数
• 编码理论

《数形之间的精妙对话：算法代数组合学与格罗布纳基石》 这本书将带您深入探索数学世界中两个迷人领域的交汇点——算法代数组合学与格罗布纳基。这不仅是一次纯粹的理论学习，更是一场关于如何将抽象的代数结构转化为可计算的算法，以及如何利用计算工具解决深刻组合问题的精彩旅程。我们将揭示数学家们如何巧妙地设计算法，以系统性的方式研究那些通常隐藏在复杂多项式方程和组合对象结构之下的深层规律。 第一章：组合学的算法视角——从计数到结构 在本章中，我们将摆脱传统组合学中单纯的计数思维，转向一种更加强大的算法视角。我们会探讨如何用算法来生成、枚举和分析各种组合对象，例如排列、组合、图、森林以及更复杂的代数结构。我们将引入一些基础的计数原理，如容斥原理和母函数，并着重强调如何将这些原理转化为有效的计算过程。 计数问题的算法化： 我们将学习如何将看似棘手的计数问题转化为可行的算法。例如，我们可能会讨论如何设计一个算法来计算特定类型的整数分拆的数量，或者如何高效地枚举所有可能的图同构。 生成函数与算法： 母函数作为组合学中的强大工具，在本章中将与算法紧密结合。我们将学习如何使用符号计算软件（例如 Mathematica 或 SageMath）来操纵母函数，从而推导出组合数的显式公式或递推关系。这不仅仅是理论上的推导，更是将理论转化为实际计算能力的体现。 组合对象结构的算法分析： 除了计数，我们还将关注组合对象的内在结构。例如，对于树结构，我们将探索如何设计算法来识别其同构性，或者如何计算其特定属性（如度序列、直径）。 第二章：多项式环的算法语言——格罗布纳基的诞生 格罗布纳基是理解多项式方程组解集几何性质的基石。本章将为我们构建一个扎实的理论基础，介绍多项式环及其上的各种结构，并最终引出格罗布纳基的概念。我们将深入理解这些代数概念是如何被算法化的，为后续的计算提供强大的工具。 多项式环的结构： 我们将从多项式环的定义开始，探讨其代数性质，如理想、商环等。这些概念是理解格罗布纳基的先决条件。 单项式序的奥秘： 单项式序是构建格罗布纳基的关键。我们将详细介绍各种常用的单项式序（如字典序、总量序、块序），并理解它们在格罗布纳基构造过程中的作用。我们将强调不同序选择对计算结果的影响，以及如何根据问题选择合适的序。 理想与单项式理想： 我们将深入研究多项式理想，并特别关注单项式理想。理解单项式理想的结构对于理解格罗布纳基的几何意义至关重要。 格罗布纳基的定义与基本性质： 本章的核心将是格罗布纳基的正式定义。我们将通过一系列例子来阐述格罗布纳基的几何意义，例如它如何刻画多项式方程组的解集。我们还会介绍一些格罗布纳基的基本性质，为后续算法的学习打下基础。 第三章：格罗布纳基的算法构造——高效的计算之道 本章将聚焦于格罗布纳基的计算算法。我们将详细讲解最著名的格罗布纳基算法——Buchberger算法，并分析其工作原理、复杂度以及存在的问题。同时，我们也会介绍一些改进的算法和相关的计算技巧。 Buchberger算法详解： 我们将一步步拆解Buchberger算法的各个步骤，从S多项式到约化过程，力求让读者理解其内在逻辑。我们将通过具体的例子来演示算法的执行，并分析其效率。 计算复杂度与优化： 理解Buchberger算法的计算复杂度是至关重要的。我们将讨论影响算法效率的因素，并介绍一些常见的优化策略，例如使用更高效的单项式序、采用局部化的方法等。 格罗布纳基的变体与改进： 除了经典的Buchberger算法，我们还将简要介绍一些其他重要的格罗布纳基构造算法，如F4算法、F5算法等，并讨论它们在某些场景下的优势。 符号计算软件的应用： 为了实践这些算法，我们将引入如何在常用的符号计算软件（如 Macaulay2, SageMath）中实现格罗布纳基的计算。我们将提供实用的代码示例，帮助读者将理论转化为实际的计算工具。 第四章：格罗布纳基在组合学中的应用——揭示深层结构 本章将是理论与实践的真正结合，我们将展示格罗布纳基如何成为解决复杂组合学问题的强大武器。我们会从代数组合学中的经典问题出发，演示如何利用格罗布纳基的计算能力来获得深刻的洞察。 代数曲线与组合对象的对应： 我们将探讨如何将组合对象（如图、偏序集）编码成多项式方程组，并利用格罗布纳基来分析这些方程组的解集。例如，我们将研究如何使用格罗布纳基来分析图的同构性问题。 组合计数的算法化： 对于一些难以直接计数的问题，我们可以将其转化为代数问题。我们将展示如何利用格罗布纳基来计算特定组合结构的数量，例如晶格点计数、多项式算子的特征值等。 自由代数与组合结构： 我们将探索格罗布纳基在自由代数中的应用，以及如何利用它来研究自由群、辫群等代数结构中的组合性质。 其他应用领域： 除了上述经典应用，我们还将简要介绍格罗布纳基在编码理论、机器人学、计算机辅助几何设计等领域的应用，展现其广泛的实用价值。 第五章：更进一步的算法代数组合学——前沿与展望 在本章中，我们将带领读者回顾本书的核心内容，并展望算法代数组合学和格罗布纳基的未来发展方向。我们将介绍一些更高级的概念和技术，并探讨这些领域在解决当今数学和科学挑战中的潜力。 二项式理想与 Stanley 猜想： 我们将深入研究二项式理想，并讨论与 Stanley 猜想相关的进展，该猜想在代数组合学中具有重要意义。 计算代数几何： 本章将触及计算代数几何的更广泛领域，包括多项式方程组的解算、几何建模等，展示格罗布纳基在该领域的关键作用。 计算群论与表示论： 我们还将探讨格罗布纳基在计算群论和表示论中的应用，例如分析有限群的结构或计算李代数的表示。 新的算法与工具： 我们会简要介绍一些新兴的算法和计算工具，以及研究者们正在探索的新方向，鼓励读者在这些前沿领域进行进一步的学习和研究。 通过对《数形之间的精妙对话：算法代数组合学与格罗布纳基》的学习，读者将能够掌握一种强大的数学思维方式，能够将抽象的数学概念转化为可计算的算法，并利用这些算法解决富有挑战性的数学问题。这是一次理论深度与计算实践相结合的宝贵体验。

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