Interactions Between Homotopy Theory and Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Avramov, Luchezar L. (EDT)/ Christensen, J. Daniel (EDT)/ Dwyer, William G. (EDT)/ Mandell, Michael

出品人:

页数:334

译者:

出版时间:

价格:99

装帧:

isbn号码:9780821838143

丛书系列:

图书标签:

• Homotopy Theory
• Algebra
• Algebraic Topology
• Category Theory
• Homological Algebra
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Abstract Algebra
• Topology
• Mathematical Foundations

好的，这是一本关于拓扑学和代数之间相互作用的图书的简介，内容详尽，旨在深入探讨这两个数学分支的交汇点，且不涉及您提到的特定书籍《Interactions Between Homotopy Theory and Algebra》。 --- 书名：《拓扑与代数的交融：从基础到前沿的探索》 简介： 本书旨在为读者提供一个关于拓扑学，特别是代数拓扑学，与抽象代数之间深刻而丰富的相互作用的全面概述。我们生活在一个由结构和空间构成的世界，而数学的这一领域正是试图理解这些结构如何通过拓扑不变性的视角得以捕捉和分析。本书不仅仅是介绍这些分支的独立工具，更着重于展示它们如何通过对彼此概念的深刻影响而共同演进。 第一部分：基石的构建——代数与拓扑的初识 本部分为深入探讨奠定基础，首先回顾了拓扑学和抽象代数的关键概念。 在拓扑学方面，我们将从点集拓扑出发，讨论开集、闭集、紧致性、连通性等基本概念，并引入度量空间和函数空间的视角。重点随后转向代数拓扑的核心工具——同调与上同调理论。我们详细阐述了单纯复形、奇异同调群的构造，以及它们如何作为衡量拓扑空间“洞”的代数不变量。此外，我们还会探讨同伦群（$pi_n(X)$）的定义及其与同调群之间通过Hurewicz同态所建立的联系，强调同伦群在捕捉空间结构方面更精细的性质。 在代数方面，我们复习了群、环、域、模等基础概念。特别是，我们将重点关注具有特定结构的代数对象，如阿贝尔群、链复形以及同调代数中的基本结构——阿贝尔范畴。对这些代数工具的清晰理解，是后续将拓扑概念“代数化”的关键。 第二部分：同调的代数回响——从链复形到范畴 本书的核心之一是系统地展示拓扑概念如何被转化为精确的代数问题。 链复形与链映射： 我们深入探讨链复形的结构，以及链映射如何诱导出同调群之间的映射，从而保持拓扑间的同伦等价关系。通过构造短正合列（如Mayer-Vietoris序列），我们展示了如何使用局部信息通过代数技巧（如五引理）来计算全局的拓扑不变量。 函子与自然性： 拓扑学中的不变性概念在代数中体现为函子。我们将详细讨论共变函子和反变函子，特别是那些从拓扑空间范畴映射到代数范畴的函子（如奇异同调函子 $H_n$）。范畴论的视角被引入，以精确地描述这些映射的自然性要求，确保了拓扑操作（如连续映射）在代数图像中的忠实反映。 张量积与Ext函子： 拓扑中的纤维化问题常常需要借助张量积来处理。我们将探讨张量积在向量空间和模上的定义，并引入 Ext 函子，展示它在衡量代数对象之间的“延伸”程度上的重要性，这与拓扑学中构造纤维丛和拉回结构有着深刻的对应关系。 第三部分：同伦世界的代数结构 同伦理论的本质在于研究“变形”的可能性，而这在代数上对应于特定的结构。 H-空间与李括号： 我们考察了具有乘法结构的拓扑空间，即H-空间（或称环空间）。如果这个乘法满足某些结合性条件（具有同伦意义），它便产生了深刻的代数后果。例如，在合适的条件下，一个H-空间上的同调群可以配备上结构——特别是如果乘法是交换的，则同调群配备上上平方运算（或其他史泰因伯格代数结构）。更进一步，通过引入李括号的概念（基于同伦乘法的对易子），我们将研究李群的同调结构。 纤维丛与特征类： 纤维丛是连接基础空间和纤维空间的重要拓扑构造。我们将使用陈示性群（Chern Classes）来描述这些丛的拓扑性质。这些特征类是通过上同调理论构造的代数对象，它们不仅是拓扑不变量，同时也是微分几何中曲率的代数编码。我们探讨了Pontryagin类和Euler类，并展示它们如何作为纤维丛上特定链复形的上同调类出现。 第四部分：超越传统——前沿交叉领域 本书的最后部分将目光投向当代研究的热点，展示代数与拓扑的结合如何驱动新的数学发现。 谱序列的威力： 谱序列是现代代数拓扑计算的核心工具。我们将侧重于Serre谱序列，它描述了纤维丛的同调群如何通过基础空间和纤维的同调信息构建。这不仅是计算复杂拓扑空间的强大引擎，也是连接不同代数结构（如环谱）的桥梁。 高阶同伦代数与$infty$-范畴： 传统的同调理论处理的是阿贝尔群和链复形，但同伦理论的精髓在于更高阶的结构。我们将介绍从链复形到$infty$-范畴（或称准范畴）的自然推广。在这些更丰富的代数框架中，原来被视为“近似”的性质（如弱等价）变成了精确的等价，从而为更精细的同伦结构提供了精确的代数语言。这包括对稳定同伦论中莫蒂夫理论的简要介绍。 结论： 本书旨在揭示，代数拓扑学的每一次成功，都建立在对代数结构深刻理解的基础之上；反之，拓扑学的复杂性也推动了代数工具的发展，例如更复杂的同调理论和新的范畴论结构。通过这种双向的视角，读者将获得一个看待数学的统一框架，理解结构（代数）如何描述空间（拓扑），以及空间如何通过其不变量揭示结构的深层规律。 目标读者： 本书适合具有扎实代数基础（群论、环论）和初步拓扑学知识（点集拓扑或基础代数拓扑）的研究生和高年级本科生，也是希望从不同角度审视代数拓扑和同调代数交叉领域的数学研究人员的宝贵参考资料。

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