Classical Galois Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gaal, Lisl

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:

价格:263.00 元

装帧:

isbn号码:9780821813751

丛书系列:

图书标签:

• Galois Theory
• Field Theory
• Abstract Algebra
• Polynomials
• Algebraic Extensions
• Group Theory
• Mathematics
• Advanced Mathematics
• Algebra
• Classical Mathematics

好的，这是一本关于抽象代数高级主题的图书简介，专注于代数几何、数论与表示论的前沿交叉领域，旨在为有志于深入研究的读者提供坚实的理论基础和前沿视角。 --- 跨越疆界的代数：从古典到现代的结构探索 图书定位与目标读者 本书旨在填补现有教材在连接“古典代数”与“现代高级代数”之间的鸿沟，特别是对于那些已经掌握了群论、环论和域论基础，并希望将这些知识应用于更复杂数学分支（如代数几何、解析数论和表示论）的研究者和高年级本科生、研究生。我们不侧重于伽罗瓦理论的经典介绍，而是将其视为一个出发点，深入探讨更广阔的代数结构与几何、分析之间的深刻联系。 核心理念： 将结构理论视为理解复杂系统的语言，着重于如何利用代数工具解决超越基本域扩张范畴的问题。 第一部分：基础的重塑与深化 本部分对读者所熟知的基本代数结构进行一次高阶回顾，并引入必要的抽象化工具，为后续的高级主题做准备。 第一章：域论的再审视：局部化与完备性 我们从域扩张的概念出发，但立即转向更精细的结构：局部域（Local Fields）。 1. 赋范与度量： 详细介绍非阿基米德范数，并构建 $p$ 进数域 $mathbb{Q}_p$ 和其整数环 $mathbb{Z}_p$。我们将证明其拓扑完备性，并对比其与实数域 $mathbb{R}$ 的本质区别。 2. 域扩张的分类： 重新审视有限扩张，引入上分支群（Inertia Group） 和 完全分解群（Decomposition Group） 的概念。重点分析在局部域上，代数封闭性与拓扑性质的微妙关系。 3. 幂级数环与形式幂级数： 探讨形式幂级数环 $K[[t]]$ 作为函数域中“局部行为”的代数模型，为代数几何中的局部环概念奠定基础。 第二章：范畴论的视角：结构的通用语言 为了处理不同代数对象之间的转换和关系，本章引入范畴论作为统一的框架。 1. 基本概念回顾： 函子、自然变换、积与余积、极限与上极限。 2. 代数结构作为范畴： 将群、环、模视为特定范畴中的对象，理解同构、同态在范畴层次上的意义。 3. 对偶性与伴随函子： 深入探讨伴随函子的构造与应用，例如自由对象与遗忘函子之间的关系，这在后续连接代数与拓扑时至关重要。 第二部分：代数几何的代数核心 本部分将代数工具直接应用于研究几何对象的结构，重点聚焦于方案论的奠基石。 第三章：交换环与模的几何化 我们抛开经典的代数簇定义，采用更具普适性的交换代数方法来构造几何对象。 1. 素理想与拓扑空间： 引入谱（Spectrum） $ ext{Spec}(R)$ 的概念，构建 Zariski 拓扑。我们将证明 $ ext{Spec}(R)$ 空间上的拓扑结构如何编码了环 $R$ 的代数性质（如素理想的包含关系对应于开集的包含关系）。 2. 局部环与奇点： 定义局部环，并讨论其在 $ ext{Spec}(R)$ 上的重要性。引入正则局部环的概念，并阐述其如何对应于几何对象上的“光滑点”。 3. 模与射： 将 $ ext{Spec}(R)$ 上的模视为对环论的推广，为后续引入层论做准备。 第四章：凝聚层与上同调的代数基础 几何对象上的“函数”或“截面”需要用层（Sheaf） 的概念来精确描述。 1. 层基础： 定义预层和层，重点关注凝聚层（Coherent Sheaves），它们是代数几何中最主要的象。 2. 导出函子与张量积： 介绍 Tor 函子和 Ext 函子。这些导出函子是衡量模之间“非精确性”的代数不变量，它们最终将引导我们进入上同调理论。 3. 导出范畴的初步接触： 简要介绍导出范畴 $D(R)$ 的必要性，作为处理复杂复合运算的现代工具。 第三部分：表示论与结构分解 本部分转向描述代数结构如何作用于向量空间，即研究表示论。 第五章：群代数与霍普夫代数 我们将群的表示转化为对特定环的模结构的研究。 1. 群代数 $k[G]$ 的结构： 详细分析在有限群 $G$ 上，群代数作为一种特殊的霍普夫代数（Hopf Algebra） 的性质。 2. 半简单性与分解： 使用扎茨斯基定理（Maschke's Theorem） 证明当特征不除 $|G|$ 时，$k[G]$ 是半简单（Semisimple）的。引入不可约表示的结构，并通过 摩斯盖尔定理（Burnside's $p^a q^b$ Theorem） 的代数引理来展示其威力。 3. 表示的推广： 讨论一般代数（如李代数）的表示理论，对比其与群表示的相似点和关键区别。 第六章：黎曼-希尔伯特对应与代数几何的交汇点 本章将代数结构的应用推向解析领域和函数域，这是理解更高级拓扑结构（如模空间）的关键。 1. 局部系统与连通性： 从一个光滑代数簇 $X$ 的基本群 $pi_1(X)$ 出发，研究其对 $X$ 上的局部系统的影响。 2. 德拉姆上同调的代数对应： 探讨微分形式与德拉姆上同调的关系，并将其与数域扩张中的局部上同调（如 Étale 上同调的简化版本）进行类比。 3. 自动构型群与代数： 引入自同构群的概念，并研究其作用于某些代数对象（如椭圆曲线）时产生的代数结构，展示其在数论中的应用前景，例如模形式理论的代数根源。 结语：展望前沿 本书最终目标是培养读者从具体问题抽象出通用代数结构的能力，并能运用这些结构作为工具去分析几何、拓扑和数论中的复杂对象。我们强调的是结构之间的内在联系，而非对任何单一理论的详尽阐述。掌握了这些高级代数工具，读者便能无缝对接进入代数拓扑、代数数论或更深层次的表示论研究。

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这本书的阅读过程，与其说是在学习，不如说是在进行一场智力上的“搏击”。它的结构组织非常清晰，章节之间层层递进，但每一层都建立在极其坚实的基础之上。我尤其喜欢作者处理“非常规”域扩张（例如，当特征不为零时）的方式。许多入门教材会刻意忽略这些细节，以保持叙述的简洁性，但这本书却毫不回避地将其纳入讨论范围，尽管这意味着计算会变得更加繁琐。这种对理论完整性的追求，是这本书最大的魅力所在。它不是一本试图“美化”数学的读物，而是毫不留情地展示了代数结构内在的复杂性和普遍性。我记得有一次，我花了整整一个下午来理解其中关于“正规子群的对应关系”的一个推论的证明，那个论证的精妙之处在于，它将抽象群论的结构直接映射到了域扩张的层级上，两者之间形成了一种近乎完美的二元对偶。这本书要求读者投入大量的时间和精力，但它所提供的理论洞察力是任何浅尝辄止的概述都无法比拟的。

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我购买这本书的初衷是想寻找一本能够清晰梳理“可解性”这一核心概念的权威著作。这本书在这方面做得非常出色，但方式却出乎意料地“反直觉”。它几乎没有花笔墨去描绘那些经典的几何作图问题（比如化圆为方），而是直接将重点放在了群论的语言上。作者对置换群和正规子群的引入，其目的性极强，每一步都像是为最终证明可解性与正规列之间联系而精心铺设的轨道。阅读体验是那种典型的“硬核”体验，纸张的触感和排版都透着一股陈旧的、不容妥协的学术气息。我特别欣赏其中对“范畴论”思想的早期渗透，尽管作者并未明确使用现代术语，但其对同构、态射的偏好，使得整个理论的推导过程充满了深刻的代数同构美感。这本书更像是一部工具书，而非休闲读物，它不提供安慰，只提供精确的切割刀具，让你能够精确地剖开问题，看到其最底层的逻辑结构。对于希望深入理解《代数基本定理》如何由群的性质推导出域的性质的读者来说，这是不可多得的财富。

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从装帧上看，这本教材散发着一种上个世纪的厚重感，但内容却丝毫不显过时。与其他现代教材相比，它对“内在性”的强调尤为突出。作者在解释为什么伽罗瓦理论如此重要时，并未依赖于对代数几何或数论中具体问题的引用，而是将焦点完全集中在域扩张与群论之间的结构对偶性本身。这种纯粹性，使得这本书成为了理论基础教学的典范。我个人发现，书中关于“不可约多项式根的自同构”的讨论，是理解伽罗瓦群本质的最关键部分。作者通过引入“域扩张的自同构群”这个概念，将抽象的群操作具象化为对域内元素的操作，这种视角转变是革命性的。它需要读者具备极高的抽象思维能力，因为许多关键步骤都是通过构造一个理想的、满足特定条件的扩张域来实现的。总而言之，这是一部严肃的、需要长期投入的经典著作，它不会手把手教你，但会为你铺设通往深刻理解的唯一坦途。

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与其他一些侧重于应用或历史背景的教材相比，这本书的论述风格简直就是“学术的化石”，但却是那种经过了时间考验、价值连城的化石。它的篇幅并不算特别厚重，但信息密度极高，每一页都塞满了需要反复咀嚼的定理和推论。我发现自己经常需要备着一本笔记本，用来绘制那些复杂的域塔图和对应的伽罗瓦群的子群结构图。这本书的作者似乎对冗余的解释怀有深深的鄙夷，他假定读者已经具备扎实的线性代数和抽象代数基础，因此对基础概念的重复讲解几乎为零。这导致了一个结果：对于新手来说，它可能是一堵难以逾越的高墙；但对于有经验的研究者来说，它是一面可以随时返回并重新校准自己理解深度的“镜子”。尤其是关于循环域扩张和分圆域的章节，作者巧妙地将拉格朗日定理的推论融入其中，展示了如何利用群的性质来预测域扩张的次数和结构。那种优雅的数学推理，让人对人类智力的极限产生敬畏。

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这本书的叙事风格如同老派的德语教科书，严谨到近乎苛刻，却又在那些最精妙的证明步骤中闪烁着令人惊叹的光芒。初读时，我不得不承认，面对那些抽象的符号和晦涩的定理定义，我的思维常常如同迷失在浓雾中的航行者，需要不断地回溯和参照前文。作者似乎并未打算取悦初学者，他更像是对那些已经对代数结构有所了解的同行者耳语，那些关于域扩张、伽罗瓦群基本定理的论述，每一个逻辑跳跃都要求读者自己去填补中间的思考空白。尤其是他对极小多项式和分裂域的构建过程，那种滴水不漏的论证，让人仿佛亲眼目睹了整个代数大厦的搭建过程。然而，一旦度过了最初的陡峭学习曲线，你会发现其后的学习变得异常顺畅。这本书的价值不在于提供大量习题或直观的几何解释，而在于它对理论核心的纯粹提炼。它迫使你用一种更加内在、更加结构化的方式去理解为什么某些方程有解，而另一些则注定要被困在代数的牢笼之中。这是一种智力上的挑战，但回报是深刻而持久的，它改变了你看待数学问题的方式，将那些看似独立的代数概念，统一在了伽罗瓦理论那宏大而优雅的框架之下。

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