Approximation by Polynomials With Integral Coefficients pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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作者:Ferguson, Le Baron O.

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價格:417.00 元

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isbn號碼:9780821815175

叢書系列:

圖書標籤:

• Approximation theory
• Polynomials
• Integral coefficients
• Diophantine approximation
• Transcendental numbers
• Number theory
• Real analysis
• Functional analysis
• Harmonic analysis
• Uniform distribution

深入解析有理逼近理論及其在數值分析中的應用 緒論：跨越實數與有理數的橋梁 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，探討在數學分析，特彆是數值分析領域中，一個核心而又充滿挑戰的主題：用具有整數係數的有理函數（即多項式之比）來逼近任意給定的連續函數。我們關注的焦點在於，當逼近函數被嚴格限製為係數必須是整數時，我們能達到何種精度，以及這種約束如何深刻地影響逼近的性質和可行性。 傳統上，函數的最佳逼近通常涉及使用實係數多項式（如經典的Weierstrass定理所揭示的）或實係數有理函數（如著名的Runge定理所討論的）。然而，在實際應用中，特彆是在計算機科學、編碼理論以及涉及離散化過程的工程計算中，引入係數的整數約束能帶來顯著的優勢，例如提高計算的穩定性和可驗證性。本書係統性地填補瞭這一特定領域文獻的空白。 第一部分：基礎理論與整數係數多項式的逼近能力 我們將從最基礎的逼近問題開始，即使用整數係數多項式來逼近區間上的連續函數 $f(x)$。 第一章：整數係數多項式的性質與局限 首先，我們需要理解整數係數多項式的內在特性。與實係數多項式在任何緊湊區間上都能一緻逼近任意連續函數（Weierstrass定理）不同，整數係數多項式在特定區間上的逼近能力是受到嚴格限製的。 離散性與間斷性： 整數係數多項式在實數域上錶現齣顯著的“離散”特性。我們探討瞭如何利用這些多項式來逼近那些在某些點上具有特定有理函數值的函數，以及在逼近過程中引入的不可避免的誤差項的性質。 區間約束下的密度問題： 詳細分析瞭在有限區間 $[a, b]$ 上，整數係數多項式集閤是否在C[a, b]範數下是稠密的。結論是，隻有當 $a$ 和 $b$ 滿足特定條件時，稠密性纔能得以保證。我們深入研究瞭著名的Polya-Ostrowski定理的變體，該定理精確地描述瞭在何種條件下，我們可以僅用整數係數多項式逼近一個目標函數。 第二章：誤差估計與最佳逼近的界限 在確定瞭逼近的可能性之後，下一關鍵問題是如何量化誤差。 誤差的下界與上界： 針對一些典型的函數族（如指數函數 $e^x$ 或三角函數 $sin(x)$），我們推導齣使用 $n$ 次整數係數多項式逼近時的最佳誤差的漸進行為。重點分析瞭誤差增長率與多項式的階數之間的關係。 結構化誤差分析： 引入瞭基於特定模函數（Modulus of Continuity）的誤差估計方法，這些方法能更好地反映整數係數帶來的局部擾動。我們特彆關注瞭逼近函數在整數點附近的行為，因為整數係數多項式在這些點上往往會錶現齣更強的限製性。 第二部分：整數係數有理函數逼近（Approximation by Rationals with Integral Numerators and Denominators） 真正的挑戰在於引入分母，即構造形如 $R(x) = P(x) / Q(x)$ 的有理函數，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 均為整數係數多項式。 第三章：有理逼近的一般理論 本章將有理逼近的焦點從多項式轉移到更強大的有理函數空間。 擴張的逼近空間： 證明瞭相較於僅使用整數係數多項式，整數係數有理函數在逼近具有復雜奇異點的函數時，具有更強的能力。我們考察瞭有理函數的極點（Poles）如何適應目標函數的奇點結構。 截斷誤差的控製： 分析瞭當選擇有限次數的有理函數來逼近一個在整個實綫上定義的函數時，截斷誤差（即忽略更高階項）的收斂速度。這裏，我們藉鑒瞭Nevanlinna理論中關於亞純函數逼近的思想，並將其與整數係數的離散性相結閤。 第四章：具體應用的案例研究：超越代數數 本書的這一部分通過具體的、具有實際意義的函數來展示整數係數有理逼近的威力。 超越函數的整數逼近： 詳細分析瞭如何使用 $n$ 次整數係數有理函數來逼近 $e$ 和 $pi$。這不僅僅是展示存在性，而是構造性地探討瞭逼近的“效率”。例如，我們深入研究瞭如何利用連分數展開的原理，結閤整數約束，來生成高精度的有理近似值。 與經典連分數的對比： 將本書討論的整數係數有理逼近方法與傳統的簡單連分數展開（它天然地隻産生整數係數）進行嚴格比較。揭示瞭在特定誤差要求下，哪種方法在計算復雜度和精度上更具優勢。 第三部分：數值算法與計算實現 理論的價值最終體現在其可計算性上。本部分關注如何實際構建齣這些最優或近似最優的整數係數有理逼近式。 第五章：整數約束下的優化問題 在尋找最佳逼近時，我們必須解決一個非標準的最小化問題： $$min_{P, Q in mathbb{Z}[x]} | f - P/Q |_infty$$ 整數規劃與近似求解： 由於係數是整數，這本質上是一個整數規劃問題，在一般情況下是NP-難的。我們介紹瞭幾種實用的啓發式算法和精確算法，用於在閤理的階數下求解此問題。重點討論瞭基於貪婪算法的迭代逼近方法，以及如何利用整數格點（Lattice）理論來尋找近似的最優解。 數值穩定性考量： 整數係數的引入可以提高係數的符號敏感性，但同時避免瞭浮點誤差的纍積。我們討論瞭如何設計算法以確保中間計算過程的穩定，特彆是當分母多項式 $Q(x)$ 的根非常接近實軸時。 第六章：結論與未來展望 本書總結瞭整數係數有理逼近理論的當前狀態，強調瞭其在密碼學（如基於離散量度的安全協議）和數論計算中的潛在應用。我們展望瞭如何將現代的稀疏錶示方法或稀疏優化技術應用於更高維度的整數係數逼近問題，以及在無限維空間中，如何利用這種約束來研究函數空間的幾何結構。 本書適閤於高等數值分析、應用數學、理論計算機科學中對函數逼近有深入研究興趣的研究生和專業人士閱讀。它提供瞭一個獨特的、從整數約束視角齣發，重新審視經典分析工具的框架。

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第五段： 最近在忙著研究**中世紀歐洲的建築史**，特彆是哥特式大教堂的興起與發展。我手頭的這本畫冊與教科書的結閤體，簡直是視覺和知識的雙重盛宴。書中詳盡地分析瞭飛扶壁（Flying Buttress）的結構力學演變，以及玫瑰窗玻璃工藝如何從羅馬式嚮光影藝術邁進。重點在於，它展示瞭技術是如何為宗教敘事服務的——那些高聳的尖拱、嚮上的綫條，無一不是為瞭引導信徒的目光和心靈嚮上，去接近神聖。作者不僅解釋瞭技術如何實現，更解釋瞭社會、經濟和信仰環境如何推動瞭這些技術的應用與創新。那些石匠和建築師們所麵對的，是宏大願景與有限材料之間的矛盾，他們通過經驗的積纍和對力的巧妙平衡，創造齣瞭超越時代的奇跡。這本書強調的是曆史的必然性、藝術的審美以及工程的實現，它充滿瞭**具象的**、**可觸摸的**曆史痕跡，與那種抽象的、符號化的數學符號係統截然不同。它關注的是“如何用石頭建造天堂”，而不是“如何用數字逼近理論極限”。

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第二段： 我對這本（我們假設的）《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》完全提不起興趣，因為我最近沉迷於一本關於**深度學習模型的可解釋性（XAI）**的專著。這本書簡直是打開瞭我對人工智能“黑箱”理解的一扇窗。它不是那種隻停留在錶麵概念的科普讀物，而是深入探討瞭各種梯度可視化方法、LIME、SHAP值背後的數學原理和局限性。作者的論證邏輯嚴密得可怕，每一步推導都清晰無比，讓人不得不佩服其構建知識體係的功力。最讓我驚喜的是，書中提供瞭大量實際案例分析，展示瞭如何用這些工具來診斷那些錶現不佳的深度神經網絡，並提齣瞭未來研究的幾個關鍵方嚮。這本書的排版和插圖設計也極其用心，那些復雜的結構圖和流程圖，即便是初次接觸這個領域的讀者也能快速抓住重點。它對於想要從“模型使用者”晉升為“模型理解者”的研究人員來說，簡直是聖經般的存在。對比那些空談理論或隻展示結果的書籍，這本專注於“為什麼”和“如何做”的深度解讀，實在太有價值瞭。它所追求的清晰和精確，與某些處理模糊、近似的數學主題（比如我們不談論的那本書）形成瞭天然的對立麵。

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這本書的書名是《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》，以下是五段以讀者口吻寫的、不包含該書內容的圖書評價，每段約300字，風格各異： 第一段： 天呐，這本書簡直是把我帶入瞭另一個維度！我通常對數學理論類的書籍敬而遠之，總覺得那些復雜的公式和抽象的概念難以消化，但《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》這本書（我姑且這麼稱呼它，畢竟我是在談論一本**不是**它的書）卻完全顛覆瞭我的認知。我最近在讀一本關於**十九世紀俄國現實主義文學**的經典著作，那本書的筆觸細膩得令人發指，對人性的剖析深刻入骨。作者仿佛能洞察每個角色的內心深處，將沙皇俄國社會的壓抑與掙紮描繪得淋灕盡緻。它不像那些故作高深的理論書籍那樣佶屈聱牙，而是充滿瞭生命力和情感張力。讀到主人公在暴雪中掙紮求生的片段，我幾乎能感受到那股透骨的寒意和絕望。這本書的敘事節奏把握得極佳，時而緩慢沉思，時而急轉直下，讓人欲罷不能。它真正做到瞭用文字構建一個鮮活的世界，讓我沉浸其中，忘記瞭現實的煩惱。如果你想體驗一場文字的盛宴，感受文學的強大力量，那麼這本書絕對不容錯過，它就像一杯陳年的伏特加，後勁十足，迴味無窮。它與那種冷冰冰、純粹理性的數學論述形成瞭鮮明的對比，充滿瞭人情味和藝術的火花。

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第三段： 說實話，我一直在尋找一本能真正幫助我提升**高級烹飪技巧**的實戰手冊，而《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》聽起來就跟我想要的東西南轅北轍。我最近購入的這本法式料理聖經，內容詳實到令人發指。它不僅教你如何製作基礎的醬汁，更詳細解析瞭乳化、澄清、精準控溫的物理和化學原理——當然，是烹飪層麵的原理。比如，它會用大量的篇幅講解不同蛋白質在加熱過程中變性的細微差彆，以及如何利用這些變化來達到完美的口感。書中對每一步驟的描述都精確到秒，對食材選擇的標準也極其苛刻，簡直就是對“完美主義”的緻敬。它沒有一頁是在浪費篇幅去討論抽象概念，而是專注於可操作性。我按照書中的指示嘗試瞭經典的法式清湯，那份純淨、濃鬱的風味，是我以前的任何嘗試都無法比擬的。這本書需要的不是心算能力，而是靈巧的雙手和敏銳的味蕾。它強調的是結果的直接、可感知性，這與任何側重於理論收斂性的書籍都大相徑庭。

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第四段： 我最近對**古希臘哲學**産生瞭濃厚的興趣，特彆是對柏拉圖的《理想國》進行瞭細緻的研讀。這本書（即《理想國》）的世界觀構建宏大而精妙，它探討瞭正義、美德、知識的本質，以及如何構建一個理想的城邦。蘇格拉底與對話者之間的辯論充滿瞭智慧的火花，他們層層遞進，不斷挑戰既有的觀念，直至觸及事物的“理型”（Forms）。這種對終極真理的追問和對人類社會的深刻反思，遠遠超齣瞭任何具體的、工具性的知識範疇。閱讀它，需要極大的耐心和專注力，因為其論證往往是迂迴且深刻的。它關乎“應該如何存在”的哲學命題，而非“如何精確計算”的技術細節。對比那些隻關注局部優化或特定約束條件的理論書籍，《理想國》試圖建立一個涵蓋人類存在所有維度的完整體係。那種思想的穿透力，讓人在讀完之後，對日常生活的看法都會産生微妙的改變。這是對人類心智的終極挑戰與滋養。

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