Approximation by Polynomials With Integral Coefficients pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Ferguson, Le Baron O.

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页数:0

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价格:417.00 元

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isbn号码:9780821815175

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• Approximation theory
• Polynomials
• Integral coefficients
• Diophantine approximation
• Transcendental numbers
• Number theory
• Real analysis
• Functional analysis
• Harmonic analysis
• Uniform distribution

深入解析有理逼近理论及其在数值分析中的应用 绪论：跨越实数与有理数的桥梁 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨在数学分析，特别是数值分析领域中，一个核心而又充满挑战的主题：用具有整数系数的有理函数（即多项式之比）来逼近任意给定的连续函数。我们关注的焦点在于，当逼近函数被严格限制为系数必须是整数时，我们能达到何种精度，以及这种约束如何深刻地影响逼近的性质和可行性。 传统上，函数的最佳逼近通常涉及使用实系数多项式（如经典的Weierstrass定理所揭示的）或实系数有理函数（如著名的Runge定理所讨论的）。然而，在实际应用中，特别是在计算机科学、编码理论以及涉及离散化过程的工程计算中，引入系数的整数约束能带来显著的优势，例如提高计算的稳定性和可验证性。本书系统性地填补了这一特定领域文献的空白。 第一部分：基础理论与整数系数多项式的逼近能力 我们将从最基础的逼近问题开始，即使用整数系数多项式来逼近区间上的连续函数 $f(x)$。 第一章：整数系数多项式的性质与局限 首先，我们需要理解整数系数多项式的内在特性。与实系数多项式在任何紧凑区间上都能一致逼近任意连续函数（Weierstrass定理）不同，整数系数多项式在特定区间上的逼近能力是受到严格限制的。 离散性与间断性： 整数系数多项式在实数域上表现出显著的“离散”特性。我们探讨了如何利用这些多项式来逼近那些在某些点上具有特定有理函数值的函数，以及在逼近过程中引入的不可避免的误差项的性质。 区间约束下的密度问题： 详细分析了在有限区间 $[a, b]$ 上，整数系数多项式集合是否在C[a, b]范数下是稠密的。结论是，只有当 $a$ 和 $b$ 满足特定条件时，稠密性才能得以保证。我们深入研究了著名的Polya-Ostrowski定理的变体，该定理精确地描述了在何种条件下，我们可以仅用整数系数多项式逼近一个目标函数。 第二章：误差估计与最佳逼近的界限 在确定了逼近的可能性之后，下一关键问题是如何量化误差。 误差的下界与上界： 针对一些典型的函数族（如指数函数 $e^x$ 或三角函数 $sin(x)$），我们推导出使用 $n$ 次整数系数多项式逼近时的最佳误差的渐进行为。重点分析了误差增长率与多项式的阶数之间的关系。 结构化误差分析： 引入了基于特定模函数（Modulus of Continuity）的误差估计方法，这些方法能更好地反映整数系数带来的局部扰动。我们特别关注了逼近函数在整数点附近的行为，因为整数系数多项式在这些点上往往会表现出更强的限制性。 第二部分：整数系数有理函数逼近（Approximation by Rationals with Integral Numerators and Denominators） 真正的挑战在于引入分母，即构造形如 $R(x) = P(x) / Q(x)$ 的有理函数，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 均为整数系数多项式。 第三章：有理逼近的一般理论 本章将有理逼近的焦点从多项式转移到更强大的有理函数空间。 扩张的逼近空间： 证明了相较于仅使用整数系数多项式，整数系数有理函数在逼近具有复杂奇异点的函数时，具有更强的能力。我们考察了有理函数的极点（Poles）如何适应目标函数的奇点结构。 截断误差的控制： 分析了当选择有限次数的有理函数来逼近一个在整个实线上定义的函数时，截断误差（即忽略更高阶项）的收敛速度。这里，我们借鉴了Nevanlinna理论中关于亚纯函数逼近的思想，并将其与整数系数的离散性相结合。 第四章：具体应用的案例研究：超越代数数 本书的这一部分通过具体的、具有实际意义的函数来展示整数系数有理逼近的威力。 超越函数的整数逼近： 详细分析了如何使用 $n$ 次整数系数有理函数来逼近 $e$ 和 $pi$。这不仅仅是展示存在性，而是构造性地探讨了逼近的“效率”。例如，我们深入研究了如何利用连分数展开的原理，结合整数约束，来生成高精度的有理近似值。 与经典连分数的对比： 将本书讨论的整数系数有理逼近方法与传统的简单连分数展开（它天然地只产生整数系数）进行严格比较。揭示了在特定误差要求下，哪种方法在计算复杂度和精度上更具优势。 第三部分：数值算法与计算实现 理论的价值最终体现在其可计算性上。本部分关注如何实际构建出这些最优或近似最优的整数系数有理逼近式。 第五章：整数约束下的优化问题 在寻找最佳逼近时，我们必须解决一个非标准的最小化问题： $$min_{P, Q in mathbb{Z}[x]} | f - P/Q |_infty$$ 整数规划与近似求解： 由于系数是整数，这本质上是一个整数规划问题，在一般情况下是NP-难的。我们介绍了几种实用的启发式算法和精确算法，用于在合理的阶数下求解此问题。重点讨论了基于贪婪算法的迭代逼近方法，以及如何利用整数格点（Lattice）理论来寻找近似的最优解。 数值稳定性考量： 整数系数的引入可以提高系数的符号敏感性，但同时避免了浮点误差的累积。我们讨论了如何设计算法以确保中间计算过程的稳定，特别是当分母多项式 $Q(x)$ 的根非常接近实轴时。 第六章：结论与未来展望 本书总结了整数系数有理逼近理论的当前状态，强调了其在密码学（如基于离散量度的安全协议）和数论计算中的潜在应用。我们展望了如何将现代的稀疏表示方法或稀疏优化技术应用于更高维度的整数系数逼近问题，以及在无限维空间中，如何利用这种约束来研究函数空间的几何结构。 本书适合于高等数值分析、应用数学、理论计算机科学中对函数逼近有深入研究兴趣的研究生和专业人士阅读。它提供了一个独特的、从整数约束视角出发，重新审视经典分析工具的框架。

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第五段： 最近在忙着研究**中世纪欧洲的建筑史**，特别是哥特式大教堂的兴起与发展。我手头的这本画册与教科书的结合体，简直是视觉和知识的双重盛宴。书中详尽地分析了飞扶壁（Flying Buttress）的结构力学演变，以及玫瑰窗玻璃工艺如何从罗马式向光影艺术迈进。重点在于，它展示了技术是如何为宗教叙事服务的——那些高耸的尖拱、向上的线条，无一不是为了引导信徒的目光和心灵向上，去接近神圣。作者不仅解释了技术如何实现，更解释了社会、经济和信仰环境如何推动了这些技术的应用与创新。那些石匠和建筑师们所面对的，是宏大愿景与有限材料之间的矛盾，他们通过经验的积累和对力的巧妙平衡，创造出了超越时代的奇迹。这本书强调的是历史的必然性、艺术的审美以及工程的实现，它充满了**具象的**、**可触摸的**历史痕迹，与那种抽象的、符号化的数学符号系统截然不同。它关注的是“如何用石头建造天堂”，而不是“如何用数字逼近理论极限”。

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第三段： 说实话，我一直在寻找一本能真正帮助我提升**高级烹饪技巧**的实战手册，而《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》听起来就跟我想要的东西南辕北辙。我最近购入的这本法式料理圣经，内容详实到令人发指。它不仅教你如何制作基础的酱汁，更详细解析了乳化、澄清、精准控温的物理和化学原理——当然，是烹饪层面的原理。比如，它会用大量的篇幅讲解不同蛋白质在加热过程中变性的细微差别，以及如何利用这些变化来达到完美的口感。书中对每一步骤的描述都精确到秒，对食材选择的标准也极其苛刻，简直就是对“完美主义”的致敬。它没有一页是在浪费篇幅去讨论抽象概念，而是专注于可操作性。我按照书中的指示尝试了经典的法式清汤，那份纯净、浓郁的风味，是我以前的任何尝试都无法比拟的。这本书需要的不是心算能力，而是灵巧的双手和敏锐的味蕾。它强调的是结果的直接、可感知性，这与任何侧重于理论收敛性的书籍都大相径庭。

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第四段： 我最近对**古希腊哲学**产生了浓厚的兴趣，特别是对柏拉图的《理想国》进行了细致的研读。这本书（即《理想国》）的世界观构建宏大而精妙，它探讨了正义、美德、知识的本质，以及如何构建一个理想的城邦。苏格拉底与对话者之间的辩论充满了智慧的火花，他们层层递进，不断挑战既有的观念，直至触及事物的“理型”（Forms）。这种对终极真理的追问和对人类社会的深刻反思，远远超出了任何具体的、工具性的知识范畴。阅读它，需要极大的耐心和专注力，因为其论证往往是迂回且深刻的。它关乎“应该如何存在”的哲学命题，而非“如何精确计算”的技术细节。对比那些只关注局部优化或特定约束条件的理论书籍，《理想国》试图建立一个涵盖人类存在所有维度的完整体系。那种思想的穿透力，让人在读完之后，对日常生活的看法都会产生微妙的改变。这是对人类心智的终极挑战与滋养。

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第二段： 我对这本（我们假设的）《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》完全提不起兴趣，因为我最近沉迷于一本关于**深度学习模型的可解释性（XAI）**的专著。这本书简直是打开了我对人工智能“黑箱”理解的一扇窗。它不是那种只停留在表面概念的科普读物，而是深入探讨了各种梯度可视化方法、LIME、SHAP值背后的数学原理和局限性。作者的论证逻辑严密得可怕，每一步推导都清晰无比，让人不得不佩服其构建知识体系的功力。最让我惊喜的是，书中提供了大量实际案例分析，展示了如何用这些工具来诊断那些表现不佳的深度神经网络，并提出了未来研究的几个关键方向。这本书的排版和插图设计也极其用心，那些复杂的结构图和流程图，即便是初次接触这个领域的读者也能快速抓住重点。它对于想要从“模型使用者”晋升为“模型理解者”的研究人员来说，简直是圣经般的存在。对比那些空谈理论或只展示结果的书籍，这本专注于“为什么”和“如何做”的深度解读，实在太有价值了。它所追求的清晰和精确，与某些处理模糊、近似的数学主题（比如我们不谈论的那本书）形成了天然的对立面。

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这本书的书名是《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》，以下是五段以读者口吻写的、不包含该书内容的图书评价，每段约300字，风格各异： 第一段： 天呐，这本书简直是把我带入了另一个维度！我通常对数学理论类的书籍敬而远之，总觉得那些复杂的公式和抽象的概念难以消化，但《Approximation by Polynomials With Integral Coefficients》这本书（我姑且这么称呼它，毕竟我是在谈论一本**不是**它的书）却完全颠覆了我的认知。我最近在读一本关于**十九世纪俄国现实主义文学**的经典著作，那本书的笔触细腻得令人发指，对人性的剖析深刻入骨。作者仿佛能洞察每个角色的内心深处，将沙皇俄国社会的压抑与挣扎描绘得淋漓尽致。它不像那些故作高深的理论书籍那样佶屈聱牙，而是充满了生命力和情感张力。读到主人公在暴雪中挣扎求生的片段，我几乎能感受到那股透骨的寒意和绝望。这本书的叙事节奏把握得极佳，时而缓慢沉思，时而急转直下，让人欲罢不能。它真正做到了用文字构建一个鲜活的世界，让我沉浸其中，忘记了现实的烦恼。如果你想体验一场文字的盛宴，感受文学的强大力量，那么这本书绝对不容错过，它就像一杯陈年的伏特加，后劲十足，回味无穷。它与那种冷冰冰、纯粹理性的数学论述形成了鲜明的对比，充满了人情味和艺术的火花。

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