Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iterations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer London Ltd

作者:Chidume, Charles

出品人:

页数:343

译者:

出版时间:2009-2

价格:$ 101.64

装帧:

isbn号码:9781848821897

丛书系列:

图书标签:

Banach空间
几何性质
非线性迭代
泛函分析
固定点定理
加速迭代
收敛性分析
数值分析
优化算法
应用数学

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具体描述

This monograph focuses on geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations. The first half of the monograph (Chapters 1 to 5) develops materials on convexity and smoothness of Banach spaces, associated moduli and connections with duality maps. Key results obtained in each chapter are summarized at the end of the chapter for easy reference. The second half (Chapters 6 to 23) deals with an in-depth, comprehensive and up-to-date coverage of the main ideas, concepts and most important results on iterative algorithms for the approximation of fixed points of nonlinear nonexpansive and pseudo-contractive-type mappings. As a flourishing area of research for numerous mathematicians, there has been an explosion of research papers on these topics. This self-contained volume will be useful for graduate students of mathematical analysis, as well as being a vital text for mathematicians interested in learning about the subject and for specialists in nonlinear operator theory.

《拓扑动力学与函数空间中的变分法》内容简介本书深入探讨了拓扑动力系统、函数空间理论及其在非线性分析和变分法中的交叉领域。全书结构严谨，内容涵盖了从基础理论到前沿研究的多个关键层面，旨在为微分方程、优化理论和泛函分析的研究者和高级学生提供一个全面而深入的参考。第一部分：拓扑动力系统的基础与结构本书首先从拓扑动力系统的基本概念入手，重点关注紧致豪斯多夫空间上的连续自映射。详细阐述了轨道、稳定集、极限集以及庞加莱截面等核心概念。 1. 基础理论与度量我们考察了拓扑动力系统的基本拓扑工具，包括紧性、完备性和可分性对动力系统结构的影响。引入了对流形和度量空间的拓扑动力系统，特别是李雅普诺夫指数的定义及其在混沌行为识别中的作用。讨论了同胚和共轭的概念，以及它们如何揭示不同动力系统之间的结构等价性。重点分析了黎曼流形上测地流的性质，特别是其与几何的深刻联系。 2. 熵理论与遍历性本书花费大量篇幅介绍了拓扑熵的概念，作为衡量动力系统复杂性的重要工具。从经典定义出发，逐步过渡到容纳集方法和覆盖熵的计算，探讨了摩斯-苏尔斯定理（Morse-Smale theorem）在光滑动力系统中的应用。在遍历理论方面，详细讨论了遍历测度、米尔曼定理（Meyers’ theorem）以及保测变换的性质。着重分析了弱混合、强混合以及遍历流的行为，特别是与朗道-利希滕塔尔性质（Rauch-Lichtenberg property）相关的随机性。 3. 分岔理论与混沌在这一部分，我们将动力系统与参数空间中的稳定性联系起来。从一维映射（如Logistic映射）的分岔图入手，过渡到更高维系统的周期倍增和鞍焦分岔。深入探讨了混沌现象的数学特征，包括对初始条件的敏感依赖性、非周期性极限集的存在性。通过研究吸引子的拓扑结构，例如奇异吸引子的分形特性，展示了拓扑结构在理解复杂行为中的关键作用。第二部分：函数空间上的分析方法本书的第二部分将视角转向函数空间，探讨在此类高维空间中进行分析和微分的挑战。 1. Sobolev空间与变分构造详细介绍了Sobolev空间的定义、等价范数以及嵌入定理，包括Sobolev嵌入定理和Rellich-Kondrachov定理，这些是处理偏微分方程弱解的基础。重点探讨了该空间上的泛函导数和变分法，特别是处理非光滑泛函时的次梯度方法。分析了与椭圆型、抛物型方程相关的能量泛函的最小化问题，讨论了变分方法的收敛性与正则性。 2. 泛函分析与算子理论本书涵盖了Banach空间和Hilbert空间理论的关键方面，特别是其拓扑结构对算子理论的影响。我们审视了有界线性算子和无界线性算子的谱理论，包括自伴算子和半群理论。深入研究了固定点定理，如Banach不动点定理（缩放映射原理）和更一般的Schauder不动点定理，并展示了它们在证明解存在性中的关键地位。此外，还讨论了拓扑向量空间的局部凸性、核空间和Barrelled空间的性质。 3. 形状微扰与形变理论引入了在函数空间上进行“微小扰动”的概念，即形状微扰（Shape Perturbation）和形变理论。这对于理解边界值问题和优化问题中设计变量的微小变化对解的影响至关重要。详细考察了导函数（Diffeomorphism）在函数空间上的作用，并将其应用于解决某些几何约束下的优化问题。第三部分：非线性迭代与收敛性本部分将前两部分的概念结合起来，聚焦于在复杂空间和动力系统中设计和分析非线性迭代过程。 1. 迭代方案的收敛性分析本书探讨了求解非线性方程和优化问题的迭代方法，例如牛顿法、拟牛顿法及其在无穷维空间中的推广。重点分析了这些方法在非光滑或非凸目标函数下的收敛性，讨论了超线性收敛、线性收敛的精确条件，以及如何利用拓扑性质（如局部紧性）来保证收敛。 2. 动力系统的数值近似我们将数值方法视为一种离散化的动力系统。讨论了欧拉方法和Runge-Kutta方法在常微分方程和泛函微分方程上的应用，重点分析了时间步进误差对系统长期行为（如轨道稳定性）的影响。引入了“数值混沌”的概念，即有限精度计算可能引入的伪随机行为。 3. 梯度流与优化梯度流被视为一种特殊的拓扑动力系统，它描述了泛函在函数空间中的下降路径。我们分析了梯度流在黎曼流形（或更一般的度量空间）上的演化，特别是其与极小曲面理论和最小化能量泛函的联系。讨论了如何利用李雅普诺夫函数来证明梯度下降算法的全局收敛性。总结《拓扑动力学与函数空间中的变分法》汇集了拓扑学、分析学和动力系统的深刻见解，为处理涉及复杂几何结构和高维迭代的非线性问题提供了强大的理论框架和实用的分析工具。本书的严谨性要求读者具备扎实的泛函分析和拓扑学基础，适合研究生、博士后研究人员以及从事计算数学、理论物理和应用拓扑学的专业人士。