Fractals and Universal Spaces in Dimension Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Lipscomb, Stephen

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 111.87

装帧:

isbn号码:9780387854939

丛书系列:

图书标签:

• Fractals
• Dimension Theory
• Universal Spaces
• Mathematical Analysis
• Topology
• Geometric Measure Theory
• Real Analysis
• Set Theory
• Mathematics
• Self-Similarity

好的，这是一本名为《拓扑动力学与随机过程在度量空间中的应用》的图书简介，重点放在其内容、结构和目标读者，旨在详细阐述其涵盖的主题，而不涉及您提到的那本书的内容。 --- 图书名称：拓扑动力学与随机过程在度量空间中的应用 简介 《拓扑动力学与随机过程在度量空间中的应用》是一部深度聚焦于现代数学分析前沿的专著，旨在系统梳理和深入探讨拓扑动力学系统与随机过程在一般度量空间背景下的理论构建、分析方法及其广泛应用。本书不仅为研究生和研究人员提供了严谨的理论框架，更通过一系列精心挑选的实例，展示了这些抽象概念如何有效地解决实际物理、几何和信息科学中的复杂问题。 本书的核心思想在于，将经典的动力学理论从光滑流形或欧几里得空间扩展到更为一般的、结构上更为丰富的度量空间。这种推广不仅是对现有理论的挑战，也为理解非光滑、非连续或具有内禀几何结构的空间上的演化过程开辟了新的途径。 第一部分：度量空间的拓扑与几何基础 本书伊始，我们首先建立起进行后续分析所必需的数学基础。 第1章：广义度量空间的拓扑结构 本章回顾并深化了度量空间的基本概念，重点讨论了完备性、拓扑紧致性、一致连续性以及函数空间的拓扑结构（如豪斯多夫-度量空间）。我们特别关注那些不具备内在黎曼曲率概念但仍具有丰富局部结构的度量空间，例如庞加莱度量空间（Poincaré metric spaces）和度量树（Metric Trees）。对这些基础概念的深入理解，是后续动力学研究的基石。 第2章：度量空间上的测度与概率论 本章将概率论与度量空间相结合，探讨了在任意可测空间上构造概率测度的挑战与方法。内容包括条件期望在度量空间上的推广、马尔可夫链的转移概率在度量环境下的定义，以及随机变量的收敛性（依概率收敛、依测度收敛、几乎处处收敛）在一般拓扑下的表达。 第二部分：拓扑动力学系统的度量空间推广 本部分是全书的理论核心，致力于将传统的动力学概念提升到度量空间的层次。 第3章：度量动力系统基础 我们引入了度量动力系统的正式定义：一个由度量空间 $(X, d)$ 和一个连续映射 $f: X o X$ 构成的系统 $(X, d, f)$。重点讨论了不变集、轨道结构、周期点和极限集的拓扑性质。特别地，本章分析了映射 $f$ 的拓扑等价性在度量空间下的等价条件，以及如何利用度量结构来区分看似相似的动力学行为。 第4章：熵与可观测量 动力学系统的熵是衡量其复杂性和随机性的关键不变量。本章详细阐述了拓扑熵在度量空间上的定义，特别是基于覆盖或分离集的定义，并讨论了其与测度熵（基于特定不变测度 $mu$）的关系，即米尔诺-鲁埃尔定理（Moser-Ruelle Theorem）的度量空间版本。本章也引入了各种可观测量（如李雅普诺夫指数的度量推广）来刻画系统的局部扩张性。 第5章：遍历理论的扩展 遍历理论是理解长期平均行为的工具。本章将遍历理论推广到一般的度量空间上，讨论了遍历定理（如庞加莱回归定理）在非紧致或非完备空间上的适用性。我们深入研究了Ergodic Invariant Measures的构造和性质，包括平衡态（Equilibrium States）的概念，这些概念在描述统计物理中的稳定配置至关重要。 第三部分：随机过程与度量空间上的演化 本部分侧重于结合随机性来研究度量空间上的动态演化。 第6章：随机动力学与随机微分方程的度量表示 随机动力学系统被定义为依赖于随机噪声的动力学。本章讨论了在度量空间上定义随机微分方程（SDEs）的挑战，特别是当解空间本身是一个度量空间（例如，空间是函数空间时）时。我们引入了伊藤积分的度量推广及其在随机演化中的应用，重点分析了随机吸引子（Stochastic Attractors）的拓扑结构。 第7章：马尔可夫过程与随机游走 马尔可夫过程在度量空间上的分析是离散与连续混合系统的关键桥梁。本章详细讨论了度量空间上的马尔可夫链，特别是那些状态空间是无限维度量空间的情况。内容包括平稳分布的存在性、混合时间分析，以及在随机游走中，扩散过程的遍历性和集中度如何受底层度量几何的影响。 第8章：随机过程的稳定性与大偏差理论 动力系统对初始条件的敏感性在随机背景下表现为扩散和涨落。本章介绍了大偏差理论（Large Deviation Theory）在度量空间上的应用框架，用于量化罕见事件发生的概率。我们探讨了随机系统的渐近稳定性，并展示了如何利用费恩曼-东德积分（Feynman-Kac Formula）的度量推广来分析依赖于路径的统计量。 第四部分：应用与案例研究 本书的最后部分通过具体的应用案例来巩固理论。 第9章：几何动力学中的应用 本章展示了拓扑动力学工具在复杂几何结构上的应用，例如在粗糙空间（Rough Spaces）上的测地线流、以及在图论中嵌入度量空间上的随机过程分析。重点案例包括几何群论中的随机游走与群的增长率。 第10章：信息科学与复杂网络 本章探讨了如何利用度量空间上的遍历理论和随机过程来分析复杂网络。内容包括网络上的信息传播模型、同步现象的随机扰动分析，以及利用豪斯多夫维度来量化网络拓扑的复杂性。 目标读者 本书适合具有扎实的实分析、测度论和基础拓扑学背景的研究生、博士后研究人员及数学、物理、工程领域的专业研究人员。它既可作为高级研讨课程的教材，也是一个深入探索现代动力学与概率论交叉领域的参考书。对期望将经典动力学理论扩展到更一般几何框架下的研究者而言，本书提供了不可或缺的理论工具和前沿视角。 ---

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