A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Mueller, Carl

出品人:

页数:216

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出版时间:

价格:$ 56.44

装帧:

isbn号码:9783540859932

丛书系列:

图书标签:

• Stochastic Partial Differential Equations
• SPDEs
• Probability
• Analysis
• Mathematical Finance
• Stochastic Analysis
• Partial Differential Equations
• PDEs
• Calculus
• Differential Equations
• Applied Mathematics

随机偏微分方程导论 导论 本书旨在为研究生和高级本科生提供随机偏微分方程（SPDEs）领域的坚实基础。通过本书的学习，读者将能够理解和分析描述物理、生物、金融等领域中含有随机扰动的演化系统的数学模型。SPDEs是经典偏微分方程（PDEs）在系数或边界条件中包含随机过程的推广，它们在处理不确定性方面显示出强大的能力，是现代科学和工程中不可或缺的工具。 本书的结构设计旨在逐步引导读者从基础的概率论和泛函分析知识过渡到复杂的随机分析工具，最终应用于具体的SPDE模型。我们避免了过于深奥的理论推导，而是侧重于概念的清晰阐述、核心理论的介绍以及对实际应用案例的分析。 第一部分：基础回顾与概率工具 在深入研究随机偏微分方程之前，理解相关的概率论和泛函分析背景至关重要。本部分将为后续的随机分析打下坚实的基础。 第一章：概率论基础回顾 本章首先回顾测度论和概率空间的基本概念，包括 $sigma$-代数、概率测度、随机变量和期望的定义。我们将重点介绍条件期望和鞅的概念，因为它们在随机分析中扮演着核心角色。特别是，鞅的性质（如上鞅、下鞅、一致可积性）是理解随机积分和随机微分方程（SDEs）稳定性的关键。我们还会简要介绍随机过程的基本分类，例如马尔可夫过程。 第二章：随机过程与布朗运动 布朗运动（Wiener过程）是SPDEs中最常见和最基础的随机驱动力。本章将详细介绍标准布朗运动的定义、二次变差（Quadratic Variation）、Hölder连续性以及布朗运动的几何性质。我们将介绍伊藤积分（Itô integral），这是将随机过程与布朗运动联系起来的核心工具。伊藤积分的定义及其性质，如伊藤公式（Itô's formula），是分析随机微分方程的基石。 第三章：随机微积分与SDEs 虽然本书的重点是SPDEs，但理解SDEs的解法和性质是理解其更高维推广的前提。本章将探讨常微分方程在随机设置下的推广，即SDEs。我们将介绍SDE的伊藤解（Itô solution）的存在性和唯一性定理。讨论Picard迭代在随机环境下的适用性，以及如何使用Girsanov定理进行概率测度的变换，这对分析金融衍生品定价等问题至关重要。此外，还会探讨SDE解的平滑性和正则性问题。 第二部分：从常到场的过渡：随机场与泛函分析 SPDEs涉及无限维空间上的随机演化，因此需要更强大的分析工具。本部分将连接传统的PDE理论与现代的随机分析。 第四章：泛函分析基础与Sobolev空间 本章回顾Banach空间和Hilbert空间的基本结构。我们将重点介绍Sobolev空间 $W^{k,p}(Omega)$ 和 $H^k(Omega)$，它们是研究PDE强解和弱解的必备工具。讨论嵌入定理（如Sobolev嵌入定理）以及Sobolev空间上的微分算子（如拉普拉斯算子 $Delta$）的有界性和不动点理论。理解这些空间中的函数如何处理随机噪声是SPDE分析的前提。 第五章：随机场与平稳性 本章引入随机场（Random Fields）的概念，特别是高斯场。我们将介绍描述随机场的关键特征：均值函数和协方差函数。平稳性（Stationarity）和遍历性（Ergodicity）是理解随机场长期行为的重要概念。我们将探讨谱理论在分析随机场，特别是在平稳随机场上的应用，这为理解噪声的频率分布提供了视角。 第六章：随机算子与随机线性算子方程 本部分将随机性引入线性算子理论。我们研究诸如随机拉普拉斯算子 $Delta + lambda(omega)$ 这样的对象。讨论随机算子的谱理论，以及如何定义和分析随机特征值问题。本章的难点在于处理算子系数本身是随机的，导致算子的谱依赖于概率空间中的样本点 $omega$。我们将介绍随机半群理论，这是分析线性SPDEs演化方程的基础。 第三部分：随机偏微分方程的核心理论 本部分进入本书的核心内容，详细介绍随机偏微分方程的类型、解的定义和存在性结果。 第七章：线性随机偏微分方程 我们从最基本的线性SPDEs开始，例如随机热方程（Stochastic Heat Equation）和随机波动方程（Stochastic Wave Equation），通常形式为 $u_t = L u + dot{W}(x, t)$，其中 $L$ 是一个随机椭圆算子，$dot{W}$ 是白噪声或更一般的空间时间噪声。 解的定义： 由于白噪声在经典意义上不可积，我们需要引入更严格的解的概念，如分布解、随机积分解或威纳-索博列夫解（Wiener-Sobolev Solution）。我们将重点讲解如何使用随机傅里叶方法或随机卷积积分来构造解。 存在性和正则性： 讨论在不同函数空间（如$L^2$或$L^p$）中解的存在性。分析噪声的空时正则性如何影响解的正则性。例如，二维或更高维上的白噪声驱动的热方程解的正则性分析。 第八章：非线性随机偏微分方程——随机演化方程 本章转向更具挑战性的非线性SPDEs，如随机 Korteweg-de Vries (KdV) 方程和随机 $Phi^4_3$ 模型。我们主要关注随机拟线性方程，形式为 $u_t = A u + B(u) + dot{W}$，其中 $A$ 是线性扩散算子，$B(u)$ 是非线性项。 固定点理论在SPDEs中的应用： 讨论如何将Banach不动点定理推广到随机函数空间中，以证明解的存在性。这通常涉及精心构造一个随机积分算子，并证明其在适当的函数空间（如Hölder空间或随机Sobolev空间）上是收缩映射。 随机乘积的处理： 非线性项中包含随机项的乘积（如 $u cdot dot{W}$ 或 $u^2 cdot dot{W}$）是最大的难点。本章将介绍重整化（Renormalization）的思想，解释为什么某些乘积在随机意义上是不良定义的，以及如何通过添加修正项来赋予它们物理意义。 第四部分：高级主题与应用实例 本部分将探讨一些前沿领域，展示SPDEs在不同学科中的实际威力。 第九章：随机分形场与随机增长模型 介绍随机分形场，特别是与界面增长相关的模型，如KPZ方程（Kardar-Parisi-Zhang equation）。KPZ方程是描述界面随机涨落的经典模型，其随机项通常来自表面上的噪声。分析该方程的挑战在于其非线性和极强的非局部性。 第十章：SPDEs的应用与数值方法 最后，本章将回顾SPDEs在实际问题中的应用，包括： 1. 随机对流-扩散方程：在污染物输运和地下水流动模型中的应用。 2. 随机金融模型：简要介绍SPDEs在资产定价，特别是涉及随机波动率模型中的作用（如Heston模型的演化）。 讨论求解SPDEs的数值方法。重点介绍时间离散化（如半隐式欧拉法）和空间离散化（如有限元法）。强调在处理随机驱动项时，数值方案必须考虑随机误差的累积和传播，例如使用Milstein方法或其他高阶方法的适用性。 结语 本书力求在理论深度和可读性之间取得平衡。通过对基础工具的扎实训练和对核心SPDEs的详细分析，读者将具备独立研究和解决随机偏微分方程问题的能力。掌握这些知识，不仅有助于深化对概率和分析交叉领域的理解，也将为进一步探索更专业的领域，如随机动力系统、随机场论或规范场理论，奠定坚实的基础。

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