New Developments in Pseudo-Differential Operators pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhauser Verlag AG

作者:Wong, M. W. 编

出品人:

页数:332

译者:

出版时间:

价格:$ 236.17

装帧:

isbn号码:9783764389680

丛书系列:

图书标签:

• 伪微分算子
• 调和分析
• 偏微分方程
• 函数空间
• 谱理论
• 奇异积分
• 数学分析
• 算子理论
• 泛函分析
• 数值分析

《伪微分算子新进展》图书简介 引言 伪微分算子，作为现代数学分析中一个强大而灵活的工具，在过去几十年中取得了令人瞩目的发展。它们深刻地渗透到偏微分方程、微分几何、量子力学、信号处理以及许多其他科学与工程领域。本书《伪微分算子新进展》旨在为读者呈现这一领域最新、最前沿的研究成果与理论突破，聚焦于伪微分算子在解决复杂数学问题和推动理论发展方面所展现出的巨大潜力。本书并非对伪微分算子理论的百科全书式梳理，而是精选了近年来最具影响力和创新性的研究方向，力求展现其活跃的研究图景和未来的发展脉络。 核心内容与研究视角 本书的核心内容紧密围绕“新进展”展开，聚焦于以下几个主要的研究方向： 1. 更广泛的函数空间与算子理论： 传统的伪微分算子理论主要建立在 Sobolev 空间或 Besov 空间等经典函数空间之上。然而，为了应对更复杂的应用场景，研究者们不断探索更精细、更一般的函数空间。本书将深入探讨一些新兴的函数空间框架，例如，基于多尺度分析（Multi-scale Analysis）的函数空间、变指数（Variable Exponent）的函数空间、以及针对奇异性（Singularity）或非光滑性（Non-smoothness）设计的特殊函数空间。这些新颖的函数空间为研究具有复杂系数、奇异性或非光滑扰动（Perturbation）的偏微分方程提供了更强大的分析工具。 此外，本书还将关注算子谱（Operator Spectrum）理论在伪微分算子分析中的新应用。如何理解和刻画具有复杂几何结构或参数依赖性的伪微分算子的谱特性，是理解其解的性质、稳定性以及全局行为的关键。研究将涉及渐近谱（Asymptotic Spectrum）、局部谱（Local Spectrum）、以及在量子混沌（Quantum Chaos）等领域中对算子谱的统计性质进行深入分析。 2. 非线性与奇性问题： 许多实际应用中的偏微分方程是非线性的，而这些非线性算子与伪微分算子相结合时，会产生极其复杂和富有挑战性的问题。本书将重点介绍如何运用伪微分算子技术来分析非线性偏微分方程的解的存在性、唯一性、光滑性、稳定性和渐近行为。例如，在流体力学、凝聚态物理和非线性光学等领域，具有次线性（Sublinear）或超线性（Superlinear）增长的非线性项如何与伪微分算子相互作用，将是本书探讨的重要内容。 奇性问题是伪微分算子研究的另一个重要前沿。这包括处理具有奇点（Singularities）的系数、奇异的积分核（Kernel）、或在边界（Boundary）处具有复杂行为的算子。本书将阐述如何利用分布（Distributions）理论、微局部分析（Micro-local Analysis）以及一些新的正则化（Regularization）技术来有效地处理这些奇性问题。例如，在研究具有尖锐边缘（Sharp Edges）或尖角（Corners）的区域上的偏微分方程时，伪微分算子的行为分析至关重要。 3. 多尺度分析与高频行为： 多尺度分析是研究信号和函数在不同尺度下行为的有力工具。伪微分算子在多尺度分析中扮演着核心角色，尤其是在构建和分析多分辨分析（Multi-resolution Analysis）和小波（Wavelets）基时。本书将深入探讨伪微分算子如何被用于构造具有良好性质的多分辨分析框架，并在此基础上分析算子在高频（High Frequency）或低频（Low Frequency）行为的渐近展开（Asymptotic Expansion）。 高频行为的分析在量子力学、波动方程（Wave Equation）的传播以及地震波的成像等方面具有极其重要的意义。本书将介绍一些先进的渐近方法，例如WKB近似（WKB Approximation）、Maslov-Feynman积分（Maslov-Feynman Integral）及其在伪微分算子语境下的推广，用于理解算子在高频极限下的传播特性和散射（Scattering）现象。 4. 几何与拓扑的应用： 伪微分算子与微分几何和拓扑学有着深刻的联系。例如，Singer-Theorem关于椭圆算子的指标（Index）理论，以及Atiyah-Singer指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem），都充分展示了代数拓扑与分析之间的桥梁作用。本书将关注伪微分算子在现代微分几何中的新应用，例如在Ricci流（Ricci Flow）、规范场论（Gauge Theory）以及曲率（Curvature）分析中的应用。 此外，本书还将探讨伪微分算子在研究流形（Manifolds）上的动力学系统（Dynamical Systems）和拓扑不变量（Topological Invariants）方面的新进展。通过分析算子在不同拓扑结构上的行为，可以揭示出一些深刻的几何和拓扑信息。 5. 计算与数值方法： 尽管伪微分算子理论本身是高度抽象的，但其在数值计算和工程应用中扮演着越来越重要的角色。本书将介绍一些新颖的数值方法，用于高效地计算伪微分算子的作用、近似算子以及求解相关的偏微分方程。这包括基于快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）的高效算法、基于谱方法的数值解法、以及一些专门为处理奇性算子设计的数值技术。 研究还将关注算子离散化（Discretization）后的数值稳定性（Numerical Stability）和收敛性（Convergence）分析，以及如何将伪微分算子的理论分析结果应用于实际的数值模拟和数据分析中，例如在图像恢复（Image Restoration）、逆问题（Inverse Problems）和机器学习（Machine Learning）等领域。 读者对象与阅读建议 本书面向对偏微分方程、泛函分析、微分几何和数学物理等领域有扎实的学习基础的研究生、博士后研究员以及在该领域具有丰富经验的学者。对于希望了解伪微分算子最新研究动态，并将其应用于自身研究的研究者而言，本书将提供宝贵的参考。 为了更好地阅读本书，建议读者具备以下知识背景： 高等微积分与实变函数论： 包括勒贝格积分（Lebesgue Integration）、傅里叶级数（Fourier Series）与傅里叶变换（Fourier Transform）。 泛函分析： 熟悉巴拿赫空间（Banach Space）、希尔伯特空间（Hilbert Space）、算子理论（Operator Theory）以及 Sobolev 空间等。 偏微分方程： 掌握经典线性偏微分方程（如 Laplace 方程、热方程、波动方程）的理论和解法。 初步的分布理论与傅里叶分析（可选）： 对 Dirac-delta 函数、卷积（Convolution）等概念有一定了解会更加便利。 本书的编写风格力求严谨而清晰，同时兼顾理论的深度与研究的前沿性。每章都将由该领域的知名专家撰写，确保内容的权威性和创新性。读者可以通过阅读感兴趣的章节，快速了解特定研究方向的最新进展，并在此基础上进行更深入的学习和研究。 结语 《伪微分算子新进展》汇聚了当代数学分析领域最激动人心的研究成果。它不仅展示了伪微分算子理论的强大生命力和广阔的应用前景，更引领读者探索数学研究的最前沿。本书的出版，必将进一步推动伪微分算子理论的发展，并为其在各个科学领域的应用注入新的活力。我们期望本书能够成为相关研究者不可或缺的参考，并在激发新的研究思路和解决关键科学问题方面发挥重要作用。

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