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出版者:CRC Press

作者:Abul Hasan Siddiqi

出品人:

页数:660

译者:

出版时间:2003-9-19

价格:0.00 元

装帧:

isbn号码:9781848290266

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书名：数学分析的精微世界：从基础到前沿的探索 内容简介 本书旨在为读者构建一个严谨而深入的数学分析知识体系，它不仅仅是对微积分概念的简单复述，更是一场深入理解极限、连续性、收敛性和拓扑结构的思维之旅。全书内容布局精心设计，从最基础的实数系统出发，逐步引导读者进入更抽象、更具挑战性的高等分析领域。 第一部分：实数系统与拓扑基础 本书的起点是严格建立在集合论基础之上的实数系统。我们首先对自然数、整数、有理数进行构造，并详细阐述了实数的完备性公理（如戴德金截或列极限性质），这是后续所有分析理论得以建立的基石。我们深入探讨了 $mathbb{R}$ 上的拓扑结构，包括开集、闭集、邻域、聚点和导集的概念。特别地，本书会细致分析 $mathbb{R}^n$ 空间上的度量结构，引入了开球、闭球以及等价的拓扑定义，确保读者能够清晰理解“接近性”在多维空间中的精确含义。紧随其后的是对紧致性的深入剖析，利用 Heine-Borel 定理，展示了紧集在函数逼近和存在性定理中的核心作用。 第二部分：函数序列与级数 在奠定拓扑基础后，本书将焦点转向函数序列和级数。这部分内容是连接基础微积分与现代分析学的桥梁。我们严格区分了逐点收敛和一致收敛。一致收敛的引入是至关重要的，它决定了极限运算与积分、微分运算之间是否可以交换。本书详细探讨了 Weierstrass 逼近定理，证明了连续函数集在一致范数下是何等丰富。对于函数项级数，我们不仅会讨论经典的判别法，如 Ratio Test 或 Root Test，还会引入 Abel 判别法和 Dirichlet 判别法，这些工具在傅里叶级数等应用中发挥着关键作用。此外，对幂级数的收敛半径和函数展开的讨论，将为后续的复分析或泛函分析打下坚实的预备知识。 第三部分：连续性与可微性 本部分回归到函数本身的性质。连续性的概念在度量空间中得到了推广，本书会考察不同连续性定义（如序列连续性、开集连续性）之间的等价性。在微分学方面，本书超越了单变量导数的计算，重点探讨了多变量函数的偏导数和全微分的概念。特别需要强调的是对可微性的深入理解：全微分的存在性不仅仅依赖于偏导数的存在。我们引入了方向导数，并详细论述了可微函数在处理链式法则、隐函数定理和反函数定理时的严格条件和几何意义。对于高阶可微性，我们还会讨论 Taylor 定理的一般形式及其在函数逼近中的应用。 第四部分：黎曼积分与勒贝格积分的桥梁 传统上，黎曼积分是分析学的基础。本书将详尽剖析黎曼可积的充要条件——函数在有界闭区间上的不连续点的集合测度为零。然而，黎曼积分的局限性（例如，无法处理收敛函数列的积分与极限的交换）促使我们必须转向更强大的积分理论。 因此，本书将专门开辟章节介绍测度论的初步概念。我们将从可测集、测度（特别是长度测度）开始，引入简单函数和可测函数。随后，勒贝格积分的定义——通过逼近——将被严谨地建立起来。重点在于证明勒贝格积分的优越性，特别是其在处理“病态”函数和序列的积分时的强大能力。关于收敛定理，如单调收敛定理 (MCT) 和有界收敛定理 (DCT)，将是本部分的核心，它们是现代数学分析乃至概率论的支柱。 第五部分：积分的现代视角与应用 在掌握了勒贝格积分后，本书将探索其在更广阔空间中的应用。我们将讨论 $L^p$ 空间的初步概念，这些空间是函数分析的基础框架。积分的广义化方面，本书会涉及瑕积分（Improper Integrals）的严格处理，并展示勒贝格积分如何自然地解决传统黎曼积分在无穷区间或不连续点上的困难。 此外，本书还会涉及一些分析学中的经典工具： 1. 等度连续性与 Ascoli-Arzelà 定理：该定理是函数空间中紧致性概念的推广，对于证明函数序列存在收敛子序列至关重要。 2. Stieltjes 积分：作为黎曼积分的推广，Stieltjes 积分在概率论和物理学中具有重要地位，本书将探讨其与黎曼-斯蒂尔切斯测度的关系。 3. 变分法基础：简要介绍变分法中的欧拉-拉格朗日方程，展示分析工具在优化问题中的实际效用。 本书的写作风格注重逻辑的严密性和论证的完整性，所有关键定理都提供详尽的证明。每一章节后都附有大量的习题，难度从基础巩固到开放性探究不等，旨在培养读者独立思考和解决复杂数学问题的能力。本书适合高等院校数学系本科生高年级或研究生入门阶段的课程使用，是深入研究数学分析、偏微分方程或泛函分析的坚实阶梯。

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