Complex Variables Demystified pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:McGraw-Hill Professional

作者:David McMahon

出品人:

页数:275

译者:

出版时间:2008-06-23

价格:USD 21.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780071549202

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 语音学
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《空间几何的直观构建：从基础到拓扑的视觉探索》 图书简介 本书旨在为读者提供一个既具数学严谨性又充满直观洞察力的空间几何学学习路径。我们深知，对于许多初学者而言，抽象的几何概念往往与直观理解之间存在一道鸿沟。因此，《空间几何的直观构建》力求通过精妙的图示、富有启发性的实例和循序渐进的推理，将读者从二维平面的基础概念，稳步引导至高维空间乃至拓扑学的核心思想。 第一部分：欧几里得空间的基石与透视 本部分聚焦于我们最熟悉的三维欧几里得空间$mathbb{R}^3$。我们不满足于仅仅罗列定义和公式，而是致力于构建一种对空间结构的深度感知。 第一章：点、线、面的重构 我们从最基本的元素——点开始，探讨其在笛卡尔坐标系中的精确表征。随后的重点是线的描述：不仅是参数方程和对称方程，更深入探讨了线之间的相对关系——平行、相交与异面。异面直线之间的最短距离计算，不再是纯粹的代数运算，而是通过对方向向量和法向量的几何直观理解来求解。 在面的描述上，我们详细剖析了平面方程的几何意义。平面如何由一个点和一个法向量完全确定？我们通过向量投影的几何模型，解释了点到平面的距离公式的推导过程，强调了法向量在定义空间方向上的关键作用。 第二章：二次曲面的视觉解析 二次曲面是连接代数方程与三维形体的桥梁。本书系统地介绍了椭球面、双曲面（单叶与双叶）、抛物面（椭圆与双曲）以及圆柱面和圆锥面。 关键在于“截面法”。我们详细展示了如何通过与坐标平面（$xy, yz, xz$平面）以及平行于坐标平面的平面进行截取，从而准确地识别出曲面的类型。例如，一个二次曲面的方程，当我们在不同 $z$ 值下观察其截线时，如果截线一直是椭圆或双曲线，这直接暗示了其三维形态的特征。我们用大量的剖面图和三维透视图来辅佐读者的想象，力求使每一个二次曲面的“骨架”都在读者的脑海中清晰成型。 第三章：向量代数的空间几何意义 向量不仅仅是代数工具，更是描述空间运动和力的直观载体。本章深入探讨了向量的几何解释。 外积（叉积）被赋予了“生成面积”的物理意义，其结果向量的长度等于由两个原向量构成的平行四边形的面积，其方向则遵循右手定则，垂直于该平面。我们通过计算由三个非共面向量构成的平行六面体的体积（使用混合积），直观地理解了其数值的几何含义。这是对行列式抽象运算的几何化回归。 第二部分：从局部到全局——微分几何的初步接触 在掌握了欧几里得空间的基本结构后，我们开始探索空间中曲线和曲面的局部特性。这部分内容旨在为后续的微分几何学习打下坚实的直观基础。 第四章：曲线的运动学描述与弯曲度 曲线不再被视为简单的代数轨迹，而是运动中的物体。我们引入了弧长参数化，这是理解曲线几何特性的关键步骤。 核心概念是“曲率”和“挠率”。曲率 ($kappa$) 衡量曲线偏离直线的程度，我们用一个“拟合圆”的概念来直观解释它：在某一点上，曲线的弯曲程度与该点附近能完美贴合的圆的半径成反比。挠率 ($ au$) 则描述了曲线在空间中偏离其所在“密切平面”的程度，即它在三维空间中“扭曲”的趋势。通过Frenet-Serret公式，我们展示了这些几何量是如何由切向量、主法向量和副法向量这三个相互正交的“移动坐标系”决定的，这个移动坐标系本身就是理解空间曲线的最佳工具。 第五章：曲面的第一基本形式与测地线 曲面是二维流形在三维空间中的嵌入。我们引入了曲面的“第一基本形式”，它是一个度量张量，用于衡量曲面上的微小距离和角度。其核心思想是：无论曲面如何弯曲，我们总能在其上定义局部平坦的测量规则。 通过第一基本形式的系数 ($E, F, G$)，我们推导了曲面上的角度和面积的计算方法。然后，我们将焦点转向“测地线”——曲面上的“直线”。在平面上，测地线是直线；而在球面上，它们是大圆弧。我们通过一个直观的例子——想象一只蚂蚁在曲面上爬行，它会沿着保持方向不变的最短路径前进——来理解测地线的物理和几何意义，并初步探讨了高斯曲率的概念，理解它如何决定一个曲面是“向内弯曲”（如球面）还是“向外弯曲”（如马鞍面）。 第三部分：超越三维——拓扑学的几何直觉 最后，我们跳脱出依赖距离和角度测量的欧几里得框架，进入对“形状不变性”的探索——拓扑学。 第六章：连续形变与拓扑等价 本章的核心是“形变保持”的概念。我们强调，在拓扑学中，拉伸、挤压、弯曲是被允许的，但撕裂或粘合是不允许的。通过大量生动的例子，如咖啡杯与甜甜圈（环面）的拓扑等价性，我们建立了对“拓扑不变量”的初步认识。 我们详细分析了“洞”的数量这一关键不变量。圆盘、球面（一个洞的表面）和双孔环面（两个洞的表面）在拓扑上是不可互相形变的。我们引入了“同胚”的概念，并用图示来区分哪些形变是允许的，哪些是不允许的。 第七章：欧拉示性数与连通性 为了更精确地量化“洞”的数量，我们介绍了欧拉示性数 ($chi$)，它是多面体拓扑性质的强有力指标。通过对简单多面体（如立方体、棱柱体）进行顶点 ($V$)、边 ($E$) 和面 ($F$) 的计数，读者将亲手验证 $chi = V - E + F$ 这一恒定关系。 我们将此概念推广到更抽象的表面，将其视为对空间连通性的一种代数编码。这不仅巩固了读者对三维空间几何结构的理解，更重要的是，为他们进入更抽象的几何和拓扑领域铺平了道路，使他们认识到几何学远不止于测量距离和角度，它更是对空间本质形态的探究。 本书的最终目标是培养读者一种强大的“空间感”，使他们能够将复杂的数学公式转化为清晰的、可感知的几何图像，无论这些图像存在于传统的笛卡尔空间，还是在更广阔的拓扑结构之中。

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我必须承认，在翻开这本书之前，我对复变分析的印象一直停留在“高等数学的噩梦延伸”这一层面。我的本科阶段，涉及这部分内容的课程常常伴随着大量的推导和看不尽的符号运算，最终的结果就是，我学会了如何套用公式，却从未真正理解过这些公式背后的美感和必然性。这本《Complex Variables Demystified》彻底颠覆了我的认知框架。它的叙事节奏感极佳，仿佛在进行一场精心编排的侦探故事，每一步的引入都充满了悬念和逻辑的严谨。它的优势在于对概念的“软着陆”处理。例如，当引入泰勒级数和洛朗级数时，作者并没有急于展示无穷级数的收敛半径和环域，而是先用非常基础的函数例子，展示了幂级数展开在解析函数邻域内的自然延伸性。更令人称道的是，书中对于复变函数的几何意义的探讨，如莫比乌斯变换如何将圆和直线映为圆或直线，那部分的插图和文字描述简直是教科书级别的清晰。我过去花了数周时间才勉强理解的积分路径选择问题，在这里被用一种近乎艺术性的方式呈现出来，让人忍不住想多看几遍，去体会那种数学上的精确与优雅并存的境界。

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这本书简直是数学学习的一股清流，尤其是对于那些一提到“复变函数”就感觉大脑宕机的朋友们。我记得我刚开始接触这块知识时，教材上的公式和定义总是干巴巴的，像是在背诵某种古老的咒语，完全摸不着头脑。但是，这本教材的处理方式完全不同，它像是一位耐心的向导，一步步地把我带入这个奇妙的世界。作者非常注重直观理解，而不是死记硬背那些晦涩的定理。比如，在讲解柯西-黎曼方程的时候，它不像其他书那样直接抛出偏导数条件，而是先从几何角度剖析，解释为什么共形映射的局部性质要求梯度满足那个特定的关系。这种“为什么”的解释，对我这种需要看到事物底层逻辑的人来说，简直是醍醐灌顶。我尤其欣赏它在例子选择上的独到眼光，那些例题不仅仅是数字的堆砌，每一个都像是一扇窗户，让我得以窥见复变函数在物理学和工程领域中的实际应用。读完关于留数定理的那一章，我甚至能想象出那些复杂的积分是如何被优雅地“绕过”并迅速求解的，那份豁然开朗的感觉，是其他任何教材都无法给予的。它成功地将原本高冷晦涩的理论，转化成了触手可及的工具。

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对于那些希望将复变分析作为工具而非单纯学术研究的工程师或应用数学家来说，这本书的实用价值是无法估量的。它没有过度纠缠于那些在实际问题中很少用到的极端抽象的拓扑性质，而是聚焦于那些能够直接解决实际问题的核心工具集：留数法、共形映射的实际应用，以及如何利用傅里叶分析的思想来理解周期延拓。我个人非常欣赏书中对于共形映射在解决二维拉普拉斯方程边值问题时的系统性介绍。作者展示了如何通过选择合适的变换，将一个复杂的几何区域问题，转化为一个在半平面或单位圆盘上容易求解的问题，这简直是数学建模的典范。这种从实际问题出发，反推理论工具的组织方式，极大地提升了学习的主动性和兴趣。它教的不仅仅是计算技巧，更是一种解决复杂空间问题的思维模式，这种思维的训练，远超出了仅仅掌握一门课程本身所能带来的益处，它真正培养了一种数学直觉。

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如果说市面上的复变分析教材多半是严肃的学术论文，那么这本则更像是一位经验丰富的老教授，在午后阳光下，与你促膝长谈。它的语气非常亲切，充满了鼓励性，这对于那些在数学学习中容易产生自我怀疑的读者来说，是极大的心理支撑。我最喜欢的地方是它对某些“常识性”结论的深度挖掘。比如，为什么解析函数一定可微，而且它的所有阶导数都存在？这本书没有简单地将“可微意味着一致连续”作为前提，而是细致地展示了从黎曼可积性如何推导出导数存在的整个链条。这种对基础构建的执着，使得读者的知识体系非常扎实，而不是空中楼阁。此外，书中对复变函数在物理学中的实际应用，如流体力学中的势流理论，讲解得深入浅出，让人立刻看到了学习这门理论的价值所在。它不仅仅是在教“如何算”，更是在启迪“为什么要这样算”。这种由内而外的理解，远比单纯的技巧掌握要珍贵得多，它真正做到了“拨开迷雾，展现本质”。

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这本书在细节处理上的考究程度，令人叹为观止。我曾经读过好几本关于复变函数的参考书，它们往往在讲完某个定理后就戛然而止，留下读者在复杂的符号世界中独自摸索。然而，这本书的“Demystified”之名并非浪得虚名。它对于一些常见误区的澄清做得非常到位。比如，很多初学者会混淆柯西积分定理和柯西积分公式的应用场景，这本书通过设计一组对比鲜明的例题，清晰地指出了何时只能用定理，何时可以使用公式来简化计算。而且，在涉及高等概念如福里埃变换或拉普拉斯逆变换与复变函数的联系时，作者巧妙地设置了“桥梁章节”，这些章节像是有机连接器，让不同领域的数学知识融会贯通，而不是孤立存在。从排版上看，公式的间距和字体选择都极为舒适，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这在厚重的理工科书籍中是难得的优点。总而言之，它在学术深度和阅读体验之间找到了一个近乎完美的平衡点。

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一般性的书籍，例子和简化性的东西，我觉得这不是数学的本质，而只是辅导性的读书！

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waterloo public library, mark, 一元复分析，单复变函数论

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