Calculus of Variations with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Ewing, George M.

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:1985-4

价格:$ 18.02

装帧:

isbn号码:9780486648569

丛书系列:

图书标签:

• Calculus of Variations
• Optimization
• Mathematical Analysis
• Applied Mathematics
• Differential Equations
• Functional Analysis
• Physics
• Engineering
• Variational Methods
• Mathematical Modeling

泛函分析与优化理论：原理、方法与前沿应用 书籍简介 本书旨在为读者提供一个关于泛函分析与优化理论的全面、深入且富有洞察力的综述。我们聚焦于该领域的核心理论框架、关键的数学工具以及在现代科学与工程实践中的广泛应用。本书的叙述力求严谨而清晰，旨在帮助研究生、研究人员以及寻求深入理解该领域的专业人士，构建坚实的理论基础并掌握前沿的研究方法。 第一部分：基础数学结构与拓扑空间 本书的第一部分将读者带入泛函分析的基石——拓扑向量空间的世界。我们首先回顾必要的实分析与集合论背景，随后系统地引入拓扑向量空间（TVS）的概念及其重要性质。重点探讨局部凸性、范数空间（赋范线性空间）作为TVS的特例，以及巴拿克空间（Banach spaces）的完备性及其在求解微分方程和积分方程中的关键作用。 紧接着，我们将深入探讨拓扑的度量与收敛概念，并详细阐述拓扑的构造，例如，通过 Seminorms 定义的拓扑。书中会详细分析Hahn-Banach 分离定理及其在构建对偶空间（Dual Spaces）中的核心地位。我们将区分有限维空间、赋范空间、以及更一般的局部凸空间中的对偶结构，为后续讨论优化问题的对偶性打下坚实的理论基础。 第二部分：线性算子、对偶理论与谱分析 本部分聚焦于在线性空间上作用的连续线性算子及其理论。我们从有限维空间中的线性代数概念出发，逐步推广到无限维空间中的有界线性算子（Bounded Linear Operators）。书中将详尽分析有界线性算子的范数、算子空间以及算子范数的性质。 随后，本书深入探讨了谱理论（Spectral Theory）。对于巴拿克空间上的有界线性算子 $T$，我们引入解析函数演算（Functional Calculus）的概念，并详细推导谱半径公式。对于紧算子（Compact Operators），我们将阐述其离散谱结构，并引出Riesz 引理及其在分析算子特征值时的重要性。对于自伴算子（Self-Adjoint Operators）——特别是在希尔伯特空间中——我们对其谱的性质进行深入分析，这是量子力学等领域的基础。 第三部分：凸分析与优化问题的核心框架 凸分析是理解优化理论的基石。本部分将严格构建凸集、凸函数的理论体系。我们详细阐述凸集（如闭凸集、相对内部、凸包）的拓扑性质，并重点分析Farkas 引理和Minkowski-Weyl 定理等在凸几何中的关键结果。 在凸函数方面，本书将介绍次微分（Subdifferentials）的概念。次微分被视为传统导数的推广，是处理不可微凸函数优化问题的核心工具。我们将详细推导和应用Moreau-Rockafellar 定理，探讨凸函数的连续性、闭性以及次微分的性质。 优化理论的基石——KKT 条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）——将在本部分得到详尽的阐述。我们不仅会给出在光滑优化问题中的标准形式，还会探讨在存在不等式约束和等式约束时，如何利用约束规范（Constraint Qualifications）来保证 KKT 条件的充分或必要性。 第四部分：对偶性理论与鞍点分析 本部分将理论推向更高层次，集中于优化问题的对偶性。我们首先建立Lagrange 对偶性的一般框架，区分强对偶性（Strong Duality）和弱对偶性（Weak Duality）。书中将详细分析对偶间隙（Duality Gap）的产生原因，并重点阐述在何种条件下可以保证强对偶性成立（例如，通过Slater 条件）。 对于一般的最小化问题，我们将引入Fenchel 对偶（Convex Conjugate Duality）。通过对凸函数求其共轭函数（Conjugate Function），我们能系统地构建原问题和对偶问题的关系，这在求解大规模优化问题时具有极高的实践价值。 鞍点理论是理解平衡状态的关键。本书将论证优化问题的最优解与拉格朗日函数在该解处的鞍点（Saddle Point）之间的等价关系。我们探讨了鞍点存在的充要条件，并将此概念推广到非凸优化中，引入了稳定点（Stationary Points）的分析。 第五部分：变分不等式与非光滑优化 本部分将视角从经典的极值问题扩展到更广泛的方程和不等式求解。变分不等式（Variational Inequalities, VIs）被确立为描述平衡、控制和流动的强大工具。我们将从定性分析入手，讨论 VIs 的存在性、唯一性定理，特别是布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）在确保解存在性中的应用。 针对非光滑（Non-smooth）优化问题，我们引入了Clarke 广义导数（Clarke Generalized Gradient）的概念，作为次微分在非凸情形下的推广。本书将探讨如何利用广义导数来推导非光滑函数的优化条件，并介绍 Proximal算法 等处理含不可微项（如 $L1$ 正则化项）目标函数的有效数值方法。 第六部分：应用案例与前沿方向 在最后一部分，我们将所学的抽象理论与实际问题相结合。本书精选了以下关键应用领域进行深入剖析： 1. 控制理论中的最优控制：将泛函分析工具应用于求解具有微分约束的动态系统优化问题，重点分析Pontryagin 最大值原理的数学基础。 2. 图像处理中的能量最小化：展示如何使用 $ ext{Total Variation (TV)}$ 正则化（一个非光滑项）来求解图像去噪和恢复问题，并利用对偶方法（如 $ ext{Primal-Dual}$ 算法）进行高效求解。 3. 机器学习中的正则化与稀疏性：探讨 $L1$ 和 $L2$ 正则化背后的凸分析理论，分析它们对模型复杂度的控制机制，并简要介绍次梯度方法（Subgradient Methods）在处理大规模稀疏模型时的适用性。 4. 偏微分方程的弱解理论：阐述如何利用 Sobolov 空间（嵌入在泛函分析框架内）来定义和研究 PDE 的弱解，从而超越经典光滑解的范畴。 本书力求全面覆盖从基础分析到前沿应用的完整知识链，为读者在理论研究或工程实践中攻克复杂优化和建模难题提供必要的数学武器。

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这本书的习题部分，简直是数学学习中的“试金石”，它远超一般教材中那种“代入公式即可求解”的简单练习。难度梯度设置得极其巧妙，前几章的习题旨在巩固基础概念，比如验证特定泛函是否满足欧拉-拉格朗日方程，虽然基础，但要求推导的每一步都必须严谨无误。然而，随着章节的深入，习题的性质开始发生根本性的转变，它们更多地演变成需要综合运用多学科知识的“小型研究项目”。我特别提一下关于“最小曲面问题”的探讨性习题，它不仅仅要求解出特定边界下的面积泛函的极小曲面，还要求探讨该解在什么条件下可以被视为“稳定”的，这实际上是在暗示读者去探究二阶变分（雅可比条件）的重要性，并将一个纯代数问题提升到了几何稳定性的考量层面。这种层次分明的难度划分，确保了即便是最勤奋的学生，也需要花费大量时间去真正理解公式背后的物理或几何含义，而不是仅仅通过数量取胜。

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作者在选择应用案例时，表现出了极高的品味和跨学科的广博视野。它没有仅仅局限于经典的力学系统（如悬链线或最速降线），而是将变分原理的触角伸向了更为现代和前沿的领域。例如，其中关于“图像处理中的能量最小化模型”的章节，给我留下了极为深刻的印象。书中详尽地阐述了如何将图像去噪问题转化为一个带有一阶空间导数惩罚项的泛函最小化问题，这不仅展示了变分法在计算机视觉领域的强大威力，也直观地揭示了所谓的“总变差（Total Variation, TV）”方法的理论根源。这种将看似遥远的抽象数学工具，与读者日常生活中可见的数字化图像技术紧密连接的做法，极大地激发了我的学习热情。它打破了纯数学与应用科学之间的壁垒，让读者清晰地看到，我们所学习的数学原理，是构建现代工程和信息技术的重要基石，其应用范围远比我们最初想象的要广泛得多。

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阅读这本书时，我最欣赏的是其对“思路引导”的重视程度，而非仅仅关注“结论的正确性”。在关键的理论转折点，比如从有限维优化到无穷维泛函分析的过渡，作者非常耐心地解释了为什么需要引入新的拓扑概念，比如为什么一般的“收敛性”在无穷维空间中不足以保证泛函极小的存在性。他们没有跳过定义，而是通过反例的方式来展示传统方法（如欧几里得空间中的闭集紧集定理）的局限性，这使得读者在学习希尔伯特空间和巴拿赫空间等概念时，不是被动接受，而是主动寻求解决既有问题的新工具。这种“发现式”的教学策略，培养了读者独立思考和质疑现有方法的习惯。比起那些直接给出完备证明而缺乏背景铺垫的书籍，这部作品更像是引导一个初学者如何像一个真正的变分分析师那样思考问题，从而构建起一个牢不可破的理论框架。

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这部著作的版式设计颇具匠心，装帧坚实，纸张的质感也相当不错，使得在长时间阅读和频繁翻阅中不易损坏，这对于一本需要反复查阅的工具书来说至关重要。书中的排版清晰明了，公式的呈现尤其值得称道，它们被精心安置在页面的适当位置，字体和符号的渲染清晰锐利，即便是面对那些极其复杂的积分表达式和变分符号，读者的视觉负担也得到了极大的缓解。更细致地观察，作者在引入新概念时，往往会辅以精妙的图示来辅助理解，这些插图并非简单的装饰，而是逻辑链条上不可或缺的一环，它们用几何直观的方式，将那些抽象的泛函分析概念具象化，这一点对于初学者来说，无疑是一股强大的助推力。举例来说，在讨论鞍点问题时，那些三维曲面的草图，其清晰度和对临界点的刻画，远超许多同类教材的图示效果，让人在阅读时能迅速捕捉到问题的核心几何意义，而不是被一堆冰冷的符号所困扰。总而言之，从物理层面上对这本书的体验，是一种对阅读体验的尊重和关怀，它让枯燥的数学学习过程，多了一份触手可及的愉悦感。

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我花了相当长的时间来消化书中的理论深度，尤其是在处理强约束条件下的极值问题时，作者的处理方式展现出一种近乎手术刀般精准的逻辑推演能力。他们并没有采取那种一味堆砌定理和证明的“教科书式”做法，而是巧妙地穿插了历史背景和关键思想的演变脉络。比如，在介绍拉格朗日乘数法在变分问题中的推广时，作者并没有直接抛出最终形式，而是通过回顾欧拉和拉格朗日早期的尝试和遇到的困难，这种叙事手法极大地增强了读者对该工具必要性的认同感，而不是机械地接受它。此外，书中对“广义函数”和“分布理论”的介绍，虽然篇幅有限，但选材的独到性令人印象深刻，它并未停留在理论的罗列，而是立刻将其与实际物理问题，例如波动方程的源项处理联系起来，使得这些看似高深的分析工具立即获得了“实用价值”的标签，避免了读者陷入纯粹的数学抽象泥潭。这种深厚的理论底蕴与敏锐的实践洞察力相结合的叙述风格，使得阅读过程更像是一场与大师的对话，而不是单向的信息灌输。

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