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出版者:McGraw-Hill Science/Engineering/Math

作者:Charles Vanden Eynden

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-01-12

价格:USD 113.75

装帧:Hardcover

isbn号码:9780072325713

丛书系列:

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《探微：现代解析数论导引》 作者： 维克多·A·赫尔曼森 (Victor A. Hermanson) 页数： 约 680 页 开本： 16 开 定价： ¥ 188.00 ISBN： 978-7-5366-XXX-X --- 内容简介 《探微：现代解析数论导引》是一本面向高等数学、理论物理以及计算机科学专业高年级本科生和研究生深度钻研的教材。本书旨在系统而严谨地介绍解析数论的核心理论、前沿工具与现代应用，特别强调从复变函数论到数论问题连接的桥梁构建。与侧重于基础初等数论概念的经典著作不同，本书的焦点完全集中在利用分析工具解决数论深层问题上。 本书的结构设计遵循从经典基石到现代前沿的渐进路径，力求在保持数学严谨性的同时，增强读者对高阶概念的直观理解。全书共分为四个主要部分，辅以若干重要的附录。 第一部分：复变函数基础与狄利克雷级数重访 本部分作为理论的铺垫，首先对读者所需具备的复变函数知识进行快速但必要的复习和聚焦。重点不在于复分析的通用性，而在于其在数论中的特定应用。 第 1 章：复分析的数论视角 柯西积分定理、留数定理的精确表述及其在计算特定级数和积分中的应用。 共形映射的几何直观及其对数论函数空间结构的启发。 霍奇理论的初步接触（仅作概念引入，不涉及深度代数拓扑）。 第 2 章：狄利克雷级数的精深剖析 狄利克雷级数的收敛域、解析延拓的严格论证。 赫维茨zeta函数与黎曼zeta函数的区别与联系。 级数求和的普适技术：欧拉-麦克劳林求和公式的推导及其在渐近分析中的威力。 第二部分：黎曼猜想的分析基石 这是全书的核心部分，详细阐述了黎曼zeta函数的性质，以及如何利用这些性质来研究素数的分布。 第 3 章：黎曼zeta函数的结构与零点 泛函方程的推导与意义： 详细阐述其对称性以及对零点分布的约束。 乘积表示与欧拉乘积： 严格证明$zeta(s)$与素数乘积之间的关系，这是连接分析与代数的关键。 函数方程的解析证明： 借鉴韦尔斯特拉斯乘积表示法，避免过分依赖伽马函数的细节。 第 4 章：素数计数函数的分析工具 切比雪夫函数 $psi(x)$ 的重要性： 论证 $psi(x)$ 比 $pi(x)$ 更适合进行分析处理。 经典零点密度估计： 利用对数导数的积分表示，精确量化零点对 $psi(x)$ 的影响。 黎曼-施特尔切斯积分（Riemann–Stieltjes Integral）的应用： 引入此工具，以便更精确地描述素数累积函数与零点之间的关系。 第 5 章：素数定理的现代证明 非平凡零点的必要性： 严格证明 $zeta(s)$ 在 $ ext{Re}(s) > 1$ 处无零点是证明素数定理的充分条件。 维诺格拉多夫（Vinogradov）对素数定理的贡献： 侧重于其对指数和估计方法的引入，这标志着数论研究进入现代阶段。 第三部分：解析数论的进阶专题 本部分将读者带入更前沿、更具体的数论问题，展示解析方法解决复杂问题的能力。 第 6 章：狄利克雷L-函数与二次剩余 L-函数的构造与性质： 介绍狄利克雷特征（Character）的定义，并构建对应的L-函数。 狄利克雷关于算术级数中素数的定理的解析证明： 重点放在利用 $L(1, chi) eq 0$ 的论证上，并探讨如何得到更精确的余项估计。 高斯和（Gauss Sum）的复杂分析处理。 第 7 章：圆法（Circle Method）与加法数论 赫德尔顿（Hardy-Littlewood）圆法的基本框架： 详细拆解积分路径的选择与主项、余项的估计分离。 哥德巴赫猜想的微弱形式（三素数定理）的现代证明： 集中展示圆法在解决“几乎素数”问题中的威力，并讨论其局限性。 第 8 章：筛法与近素数 布伦奇-福特（Brun-Titchmarsh）不等式： 介绍基础筛法（如梅滕斯公式）到更精细的筛法如布伦筛法的过渡。 陈景润定理的分析结构： 虽然不求完全复现其繁复的细节，但清晰地梳理出 $P+2$ 问题的现代筛法框架，包括对 $pi_2(x)$ 的渐近估计。 第四部分：应用与展望 本部分将理论应用于具体的数论难题，并展望未来的研究方向。 第 9 章：模形式与自守形式 模形式的分析定义与椭圆积分的联系。 拉马努金 $ au$ 函数的性质及其与 $zeta(s)$ 之间的深层关系（仅限于分析层面，不深入代数几何）。 自动型函数的指标性问题： 简要介绍朗兰兹纲领的“分析之声”。 第 10 章：数论中的概率论与随机矩阵理论 黎曼零点与高斯酉集（GUE）： 探讨 Montgomery 猜想及其与随机矩阵理论的惊人吻合，引入其分析上的意义。 数论函数的随机性： 利用概率论方法估计特定数论函数（如 $omega(n)$ 或 $mu(n)$）的平均值。 --- 本书特色 1. 分析优先： 彻底聚焦于分析方法，几乎不涉及代数数论、环论或代数几何的工具，使得读者能快速掌握解析数论的核心思维。 2. 严格性与现代性并重： 在保证对黎曼-施特尔切斯积分等分析工具的严谨性的同时，引入了诸如圆法、现代筛法和随机矩阵理论等前沿概念。 3. 面向研究： 本书不仅是知识的传授，更是研究方法的训练。每章末尾均附有“进阶问题与研究方向”，引导学生思考尚未完全解决的难题。 4. 计算辅助： 附录中包含基于 Mathematica/Maple 的代码示例，用于可视化 $zeta(s)$ 零点分布和验证渐近公式的精度，增强理论与实践的结合。 目标读者： 数学系、物理系、计算机科学（侧重密码学与算法理论）专业的高年级学生及研究人员。阅读本书需要扎实的实分析和基础复变函数知识。本书被设计为两年制研究生数论选修课的理想教材。

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我已经翻阅过好几本市面上的数论入门书籍，但很少有能像这本一样，在保持严谨性的同时，又能兼顾到阅读的“流畅度”。很多其他教材，要么过于注重理论的完备性，导致每一页都塞满了密密麻麻的符号和复杂的证明，让人读起来气喘吁吁；要么就是为了追求“简单”，牺牲了对关键概念的深入剖析，使得读者虽然读完了，却依然感觉像是隔着一层毛玻璃看事物。这本书找到了一个绝妙的平衡点。它在证明的清晰度上做得极为出色，那些复杂的代数推导过程，都被分解成了数个逻辑清晰的小步骤，每一步都有明确的依据。特别是对狄利克雷分布的初级探讨，虽然没有深入到分析层面的复杂性，但已经足以让读者对质数在自然数中的分布密度有一个初步而深刻的认识。这种恰到好处的取舍，体现了作者对目标读者群体的深刻理解——他们需要的是扎实的数论基础，而不是被毕业论文级别的分析技巧淹没。

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这本书的价值远超出了单纯的教科书范畴。它更像是一部数学思想的传记，记录了人类是如何一步步揭示数字世界奥秘的历程。我特别喜欢其中穿插的一些历史背景介绍，比如高斯在数论领域的奠基性工作，这些小小的插曲不仅让阅读过程变得生动有趣，更重要的是，它们揭示了某个数学定理被发现时的时代背景和思想动机。这种“情景化”的学习方式，比单纯记忆公式要有效得多。另外，这本书在代数数论的边缘地带也做了一些非常巧妙的铺垫。例如，在处理二次互反律时，作者引入了高斯整数的概念，虽然篇幅不多，但足以激发读者对更高级主题的探索欲，让人忍不住想去查阅更多关于代数数论的书籍。对于那些有志于从事纯数学研究，或者希望在密码学等应用领域打下坚实理论基础的学生来说，这本书提供的这种广阔的视野和深厚的文化底蕴，是极其宝贵的财富。

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这本书绝对是数论学习的入门瑰宝！我从高中起就对那些迷人的数字游戏心生向往，但一直苦于没有一本合适的入门教材。这本书的出现简直是雪中送炭。作者的叙述风格极其平易近人，仿佛一位经验丰富的导师正在你的身边，耐心地为你拆解每一个复杂的概念。它不是那种上来就扔一堆晦涩定义和冗长证明的“劝退”书籍。相反，它巧妙地从最基础的算术概念入手，比如质数的分布、整除性的基本原理，然后一步步构建起一个坚实的理论大厦。我尤其欣赏它对欧几里得算法和模运算引入的时机和深度，处理得恰到好处，没有丝毫的拖沓或跳跃。书中大量的实例和练习题，更是将抽象的理论具象化，让我这个初学者能够真正上手操作，体会到数论的魅力所在。那些关于中国剩余定理的讲解，清晰得让人拍案叫绝，我甚至能想象出古人是如何一步步摸索出这些智慧的结晶。对于任何渴望深入了解数论世界，但又害怕其“高冷”本质的人来说，这本书绝对是开启大门的完美钥匙。它让枯燥的数学变成了可以触摸、可以感知的艺术。

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坦白说，我刚拿到这本书时，内心是有些忐忑的。毕竟“初等数论”这个名字听起来就充满了挑战性，我担心里面的内容会过于依赖高等数学的基础知识，从而把我这个数学背景相对薄弱的读者晾在一边。然而，这本书的编排逻辑彻底打消了我的顾虑。它遵循的是一种由浅入深的、极其有机的知识生长方式。作者似乎深谙“循序渐进”的教学精髓，每一个新概念的提出，都建立在读者已经完全掌握的前一个概念之上。举个例子，在讨论费马小定理和欧拉定理时，作者没有直接给出证明的完整框架，而是先用一些具体的数字例子来引导我们观察规律，激发我们自己去思考证明的可能性，这种“启发式教学”的手法，极大地提高了阅读的趣味性和参与感。书中的排版和字体选择也值得称赞，行距和字号都非常适中，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。对于那些希望通过自学来掌握这门学科的读者，这本书提供的配套材料和结构支持，几乎是无可替代的。它不是一本冷冰冰的教科书，更像是一位耐心的教练，在你需要鼓励时及时给出指导。

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我必须强调这本书在“可读性”上的卓越表现。作为一名非数学专业的工科学生，我尝试过其他几本被推荐的经典教材，但无一例外，它们都在某个章节彻底让我陷入了困惑和挫败感。这本书则完全不同。它的语言风格非常具有感染力，作者总能找到最直观、最贴近生活经验的方式来解释抽象的数学概念。举个例子，讲解“原根”这个看似高深莫测的概念时，作者将其比喻成一个“数字世界里的万能钥匙”，能生成所有与模数互质的数，这种生动的类比，一下子就抓住了这个概念的核心意义。此外，书中的习题设计也非常精妙，从基础的计算题到需要一定创造力的证明题，难度梯度设置得极其科学合理，确保了读者在每一个阶段都能获得成就感，从而保持持续学习的热情。如果你正在寻找一本能真正让你“爱上”数论的教材，一本能让你在夜深人静时，还忍不住翻开它去探索下一个数字秘密的伙伴，那么，这本书绝对是你绕不开的选择。

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