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出版者:Springer

作者:Lucas, W. F.; Brams, S. J.; Straffin, P. D. Jr.

出品人:

页数:396

译者:

出版时间:1982-12-14

价格:USD 74.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387906966

丛书系列:

图书标签:

• 应用数学
• 数学模块
• 数学
• 高等教育
• 工程数学
• 建模
• 数值分析
• 微分方程
• 线性代数
• 数学方法

现代科学前沿：计算方法与数据驱动创新 本书聚焦于21世纪科学研究与工程实践的核心驱动力：先进的计算方法论、大规模数据分析以及模型构建的深刻变革。 本书旨在为渴望站在科技最前沿的读者提供一个全面而深入的视角，探讨如何利用数学和计算的强大工具，解决现实世界中复杂且非线性的问题。我们不会深入探讨模块化代数结构或特定的应用数学课程内容，而是将目光投向更广阔的领域——即如何将理论转化为可操作的、可预测的解决方案。 第一部分：计算科学的基石与新范式 本部分将读者引入现代计算科学的核心哲学。我们首先回顾了经典数值分析的局限性，并将其置于大数据和高维空间挑战的背景下进行审视。重点将放在迭代方法的效率与收敛性分析上，但这并非针对特定数学分支的教学，而是关于如何设计算法来适应现代并行计算架构。 高性能计算（HPC）的算法设计哲学： 探讨如何将数学模型分解为适合多核处理器和GPU加速的计算单元。我们将讨论数据局部性、通信开销最小化，以及如何利用张量计算的优势来处理海量矩阵运算。这部分强调的是“如何让数学在硬件上跑得更快”的工程艺术，而非纯粹的数学证明。 随机化方法与不确定性量化（UQ）： 面对真实世界数据固有的噪声和模型参数的不确定性，传统的确定性方法已显得力不从心。本书详细阐述了蒙特卡洛方法、准蒙特卡洛序列及其在复杂系统中的应用。我们着重分析采样策略的效率，例如MCMC（马尔可夫链蒙特卡洛）在贝叶斯推断中的现代变体，以及如何使用随机投影技术来降维和加速计算过程。 第二部分：数据驱动模型的兴起与挑战 随着信息爆炸，从数据中提取知识成为科学发现的关键环节。本部分将核心放在如何构建、验证和部署基于数据的模型上，特别关注那些超越传统线性或简单非线性假设的复杂系统。 稀疏表示与压缩感知（Compressed Sensing）： 我们深入探讨了信号和数据在低维子空间中存在的内在结构。本书详细介绍了L1范数最小化（LASSO及其变体）在数据恢复和特征选择中的作用。重点在于理解“信息冗余”的数学基础，以及如何设计高效的优化算法来解决高度欠定的系统。 物理信息神经网络（PINNs）的范式转移： 这是一个将深度学习的力量与领域知识（物理定律）相结合的前沿领域。本书将剖析PINNs如何利用自动微分技术，将偏微分方程的残差项嵌入到损失函数中，从而实现无监督或弱监督的参数估计与模型求解。讨论将集中于其在边界条件处理的鲁棒性、梯度爆炸问题的缓解策略，以及在非光滑或奇异问题中的适用性限制。 图结构数据分析： 现实世界中的许多系统（如社交网络、分子结构、交通流）本质上是图。我们探讨了谱图理论在数据分析中的应用，包括图拉普拉斯算子的性质，以及如何设计图卷积网络（GCNs）来捕捉节点间的非欧几里得关系。重点在于如何将复杂的拓扑信息转化为可计算的特征向量或特征图。 第三部分：优化理论的现代应用与可解释性 现代科学计算几乎都归结为某种形式的优化问题。本部分超越了基础的梯度下降，深入研究了在大规模、非凸优化场景下的前沿技术。 大规模非凸优化算法： 针对深度学习模型训练等任务，我们详细分析了自适应学习率方法（如Adam、RMSprop）的收敛性分析，并探讨了二阶方法的实用化，例如K-FAC和L-BFGS在高精度需求的场景中的应用。关键在于理解这些方法的正则化效应与泛化能力之间的权衡。 凸优化在逆问题中的桥梁作用： 逆问题（如图像重建、地球物理反演）往往具有病态性。本书探讨了如何利用全变分（TV）正则化等技术，将不适定问题转化为可解的凸优化框架。重点在于理解这些正则化项如何编码了我们对解的先验知识（例如稀疏性或平滑性）。 模型的可信赖性与因果推断： 随着模型复杂度的增加，确保其决策过程的透明度至关重要。本部分讨论了后Hoc可解释性方法（如SHAP值、LIME）背后的数学原理，以及如何设计对抗性样本来测试模型的鲁棒性边界。此外，我们触及了如何利用结构化方程模型和Do-Calculus来区分相关性与因果关系，这是构建真正智能系统的关键一步。 本书的独特之处在于它将这些前沿技术视为一个相互关联的生态系统，强调不同数学工具之间的融合与互补。读者将获得一个关于如何利用计算、数据和先进数学工具箱来解决尚未被完美解决的科学难题的全面战略视角。本书面向那些需要将最先进的计算策略应用于复杂系统建模、大规模数据分析或前沿科学发现的工程师、研究人员和高阶学生。

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阅读体验上，我感受到了明显的波动。在涉及到概率论和随机过程的应用章节时，作者的笔触突然变得流畅起来，仿佛一下子从冰冷的公式世界走进了生动的随机模拟现场。这部分内容，我给予高度评价，因为它成功地将复杂的随机微分方程与实际的金融建模联系起来，提供了一套清晰的求解思路和直观的解释。然而，这种高光时刻并没有贯穿全书。在处理偏微分方程在物理建模中的应用时，我又回到了那种高密度的数学符号堆砌中。这种风格上的不一致，使得读者很难保持持续的投入感。就好像作者在某些章节是经验丰富的导师，在另一些章节却变成了严苛的考官。我不得不频繁地停下来，查阅其他教材来补全那些在本书中被一带而过的物理背景知识，这极大地拖慢了我的学习进度。一本优秀的教材应该在不同主题间保持相对一致的叙事节奏和深度引导，而这本书在这方面显得有些捉襟见肘。

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从整体的结构和内容覆盖面上看，这本书像是一部为数学专业学生精心准备的、旨在加深对经典数学分支理解的深度课程资料。它在深度上无疑是令人印象深刻的，许多基础概念的讨论都挖掘到了相当细致的层次。然而，作为一本面向更广泛工程或科学应用领域读者的“应用”导论，它在“连接性”上存在明显的短板。书中的例子和习题，虽然在数学上是严谨的，但往往缺乏足够的现实驱动力。读者可能需要花费大量的精力去“重新构造”一个实际场景，才能将书中学到的数学技巧真正地“应用”起来。这要求读者本身已经拥有相当强的跨学科思维能力，否则，这本书很容易沦为一本漂亮的、但难以激活的理论宝库。它更像是对已建立数学理论在特定领域应用的考察，而非一个引导读者探索未知应用领域的探险指南。

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这本书的排版和内容组织，坦白说，给我一种非常“硬核”的感觉，就像是直接从某个顶尖研究机构的内部讲义中抽取出的一般，精确到令人敬畏，却也因此显得有些缺乏人情味。我特别关注了其中关于优化理论的应用部分，期望能看到一些与实际工程问题紧密结合的案例分析，比如资源分配或路径规划中的非线性挑战。结果发现，虽然理论推导一丝不苟，但在“应用”的阐释上，文字的笔触明显收紧了。它更倾向于展示“为什么”这个数学模型是正确的，而不是“如何”将现实世界的问题成功地映射到这个模型上。这种侧重于理论严谨性的做法，虽然保证了内容的学术价值，却牺牲了它作为一本“应用”手册的实用性。我希望看到更多图示来辅助理解复杂的迭代过程，或者至少是更贴近工业界标准的术语，而不是一套自洽但略显封闭的符号系统。对于那些追求快速解决实际问题的读者来说，这本书可能更像是一本高阶参考手册，而不是一本可以随时翻阅的“工具箱”。

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翻开这本号称“应用数学模块”的书，我原本是抱着一种既期待又略带忐忑的心情。毕竟，“应用”这个词在数学领域往往意味着枯燥的公式推导和脱离实际的抽象概念。然而，我的预感很快就被这本书的某些特质所打破，尽管我必须坦诚，它在某些方面确实未能完全满足一个急于将理论转化为实践的读者的需求。书中的开篇章节，似乎试图构建一个宏大的数学应用图景，但其叙述方式却显得有些过于学院派。讲解过程中，那种急于展示数学工具的完备性，而略微忽略了读者如何将这些工具“拿起并使用”的过程，让我在初次接触时感到一丝迷茫。更让我感到遗憾的是，对于一些关键概念的引入，作者似乎默认了读者已经具备了相当深厚的背景知识，这对于那些希望通过这本书作为桥梁，从基础知识迈向更深层次应用的研究者来说，无疑是一个不小的门槛。我花费了比预期更多的时间去消化那些看似流畅，实则蕴含了大量未言明假设的段落。总的来说，它提供了一个框架，但框架的搭建过程略显生硬，缺乏一种引导性的温柔。

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如果以一本面向广大学生的入门或进阶教材的标准来衡量，这本书的“应用”成分似乎被过分稀释了。我带着对“应用数学”的期待，期望看到对现代计算方法、数值分析在解决真实世界难题中的作用有更深入的探讨。例如，在讨论数值稳定性或算法效率时，期望能看到一些与现代计算平台（如GPU加速或并行计算）相关的讨论，哪怕只是一个概念性的介绍。但全书的重心似乎牢牢钉在了解析解和理论模型的建构上，对于“如何高效地计算出”那个解的步骤着墨不多。这让我感觉自己掌握的更像是一套精美的理论蓝图，而不是一套可以投入生产的工程图纸。对于渴望将数学知识应用于数据科学、机器学习或高级工程分析的读者来说，这本书提供了一个坚实的理论基础，但通往现代应用前沿的最后几步，却需要读者自己去摸索和补充大量的计算科学知识。

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