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出版者:PPC

作者:Henry M and Raymond S Lo. Ho

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1988

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9789627058045

丛书系列:

图书标签:

• Maths
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深入解析非欧几何、拓扑学与抽象代数的核心概念 本书旨在为读者提供一个严谨而富有洞察力的数学探索之旅，聚焦于纯数学中几个至关重要且相互关联的分支：非欧几何、拓扑学基础，以及抽象代数的关键结构。本书的叙述风格力求清晰、精确，同时兼顾数学美感与逻辑的严密性，适合具有微积分和线性代数坚实基础的本科高年级学生、研究生以及对现代数学核心理论感兴趣的专业人士。 第一部分：黎曼几何的开端——非欧几何的维度与弯曲 本部分将彻底颠覆欧几里得几何的直观世界，引导读者进入空间几何学的更广阔领域。我们将从历史背景出发，探讨高斯对曲面的深刻见解，特别是“内在几何”的概念，强调测地线和曲率是空间本身的属性，而非嵌入空间的坐标系所决定的。 第一章：从平面到曲面——度量的重建 我们将详细考察流形的概念，定义光滑流形上的黎曼度量张量 $g$。重点分析如何使用度量张量来定义内积、长度、角度和体积元素。随后，深入研究测地线方程（即测地线如何满足的二次微分方程），并讨论测地线的唯一性和局部最小长度性质。关键在于理解 第二基本形式 如何量化曲面与外部空间的关系，而 第一基本形式 如何定义内在几何。 第二章：高斯曲率与绝妙定理 (Theorema Egregium) 这是本部分的核心。我们将严格证明高斯绝妙定理，阐明高斯曲率 $K$ 仅依赖于度量张量的分量及其一阶、二阶偏导数，从而确认曲率是内在的。通过对曲率的计算实例，我们将对比欧几里得平面 ($K=0$)、球面 ($K>0$) 和双曲抛物面（鞍形）($K<0$) 的内在几何差异。我们将计算特定曲面上的高斯曲率，例如圆柱面、环面和旋转曲面。 第三章：测地线曲率与全曲率 我们将介绍 Gauss-Bonnet 定理的曲面形式，该定理将微分几何的局部概念（曲率）与拓扑学的全局概念（拓扑不变量）联系起来。具体而言，我们将分析一个光滑闭曲面 $M$ 上的积分曲率： $$iint_M K , dA = 2pi chi(M)$$ 其中 $chi(M)$ 是该曲面的欧拉示性数。通过计算常见曲面的欧拉示性数（如球体 $chi=2$，环面 $chi=0$），读者将直观地理解曲率在确定空间拓扑结构中的决定性作用。我们还将探讨更高维流形上的黎曼曲率张量 $R_{mu u ho}^{sigma}$，介绍里奇张量和里奇标量，为爱因斯坦场方程的背景知识打下基础。 --- 第二部分：空间的连续性与形变——拓扑学的基本结构 本部分将从度量的束缚中解放出来，专注于空间的内在连通性和连续形变下的不变量。拓扑学将作为研究“橡皮膜几何”的工具。 第四章：拓扑空间与连续映射的本质 我们从严格定义拓扑空间 $(X, mathcal{T})$ 开始，讨论开集、闭集、邻域、聚点和闭包的概念。重点区分拓扑学与度量空间的区别。随后，我们将深入研究连续映射的拓扑定义（原像下开集的保持性），并考察同胚（homeomorphism）作为拓扑等价的严格标准。通过对连续函数在紧集上的性质、连通空间的性质的探讨，理解拓扑空间可以被“拉伸”或“压缩”，但不能被“撕裂”或“粘合”。 第五章：连通性、紧致性与分离公理 我们将对比 路径连通性 与 （路径）连通性 的区别。路径连通性强的空间，如 $mathbb{R}^n$，使得任意两点间存在连续路径。紧致性被定义为“任意开覆盖存在有限子覆盖”，我们将证明在 $mathbb{R}^n$ 中，闭有界集是紧致的（Heine-Borel 定理）。此外，我们将介绍分离公理（如 $T_1, T_2$ 豪斯多夫空间），强调豪斯多夫性是确保拓扑空间中点可以被区分的关键性质。 第六章：同伦论导论——洞的计数 拓扑学中最强大的不变量之一是 基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们将定义环路、等价环路的概念，并通过 Fonctore 结构建立基本群的代数定义。我们将计算简单连通空间（如 $mathbb{R}^2$ 移除一点）的基本群，证明 $pi_1(mathbb{S}^1) cong mathbb{Z}$。这一结果将直观地展示基本群如何编码空间中“洞”的数量。后续将简要介绍更高阶的同伦群以及奇异同调论的初步概念，着重于这些工具如何提供更精细的拓扑分类。 --- 第三部分：结构与对称性——抽象代数的深层结构 本部分将从研究函数和多项式的对称性，逐步过渡到对一般代数结构的抽象研究，建立起群论、环论和域论的坚实框架。 第七章：群论的核心——对称性的形式化 我们将从置换群（如 $S_n$）开始，引出群的严格定义（封闭性、结合律、单位元、逆元）。重点分析子群、陪集和拉格朗日定理的推论。我们将深入探讨正规子群的概念，这是定义商群（Factor Group）的先决条件。通过对循环群、二面体群和基本有限群的分析，理解群作用（Group Action）在几何和组合学中的应用。 第八章：同态、同构与结构定理 本章侧重于群之间的结构保持映射——同态。我们将阐述第一同构定理，即 $G/ ext{ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$，这是一个关于结构分解的强大工具。我们还将讨论 Sylow 定理，该定理为有限群的子群结构提供了有力的计数工具，尤其在分析非阿贝尔群的构造时极为重要。 第九章：环与域——代数运算的扩展 我们将从群的单操作结构过渡到具有两个运算（加法和乘法）的环结构。重点讨论交换环、整环和域（Field）的定义。我们将深入研究理想（Ideals）的概念，类比于群中的正规子群，并定义商环。在域论部分，我们将考察域的扩张（Field Extensions），并引入 伽罗瓦理论 (Galois Theory) 的基础概念——如何通过研究多项式根的域扩张的自同构群，来解决古典几何作图问题（如化圆为方、三等分角）的不可解性。我们还将讨论域上向量空间的概念，为更高阶的代数结构做好铺垫。 本书通过这种结构化的方式，确保读者在掌握非欧几何的度量工具后，能够顺利转向拓扑学研究空间的形变不变性，最终通过抽象代数建立起描述这些几何结构背后对称性的精确语言。每一个章节都建立在对前一章节概念的深入理解之上，旨在构建一个统一、连贯的纯数学知识体系。

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对于我这样一个长期沉浸在相对“应用”领域的学习者来说，这本书的出现无疑是一道曙光。我常常感到，虽然我能熟练运用许多数学工具解决实际问题，但对于这些工具背后更纯粹、更深刻的数学原理却了解甚少。我希望这本书能够像一位经验丰富的向导，带领我穿越那些令人眼花缭乱的符号和定义，直达纯粹数学的核心。我尤其对书中是否会探讨一些“非经典”的数学结构感兴趣，例如那些在离散数学、组合学中涌现出的、与我日常接触的连续性概念截然不同的数学对象。我猜想，它可能会深入讲解一些看似“无用”却逻辑自洽的理论，而这些理论恰恰是支撑整个数学大厦的基石。我渴望通过这本书，能够建立起对数学更全面的认知，理解数学世界的广阔与深邃，而不仅仅是停留在其工具性的层面。

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这本书就像是一块等待被开垦的肥沃土壤，我迫不及待地想看到它能孕育出多少新奇的数学思想。我一直对那些在基础数学之上构建的“附加”概念深感着迷，它们往往能揭示出数学更深层次的优雅和力量。想象一下，那些在代数、分析、拓扑学等核心领域之外，那些更加抽象、更加精妙的理论，它们如何相互连接，如何构建起更宏伟的数学大厦。我尤其好奇书中是否会触及到一些我从未深入了解过的分支，比如范畴论的更高级应用，或者数论中那些令人惊叹的未解之谜的最新进展。对我而言，纯粹数学的魅力在于其纯粹的逻辑性和抽象性，它不依赖于任何具体的现实世界应用，却能以前所未有的方式拓展人类的思维边界。我期待这本书能够提供一条清晰的路径，引导我深入探索这些未知的数学领域，让我能够更好地理解那些在学术论文中时常闪现的、却又令人望而却步的深奥概念。那种“啊，原来是这样！”的顿悟时刻，是我阅读纯粹数学书籍时最享受的体验。

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这本书仿佛是通往数学未知领域的一扇窗户，让我得以窥探那些隐藏在基础学科之上的奇妙景象。我一直对那些看似“多余”的数学概念抱有浓厚的兴趣，因为我知道，正是这些“附加”的部分，才让数学的体系如此丰富和博大。我希望书中能够详细介绍一些我从未深入了解过的数学领域，比如那些关于无限的哲学思辨，或者在某些抽象空间中建立起来的全新数学结构。我期待能够通过这本书，更深刻地理解数学的逻辑严谨性以及其内在的美学价值，领略到那些超越实用性的、纯粹的智慧的光辉。

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我一直对数学的“边界”和“延伸”充满好奇。这本书的名称就暗示着它将带领读者超越那些最基础、最常见的数学概念，去探索那些更加广阔、更加精深的领域。我希望书中能够深入探讨一些我在本科阶段未能接触到的数学分支，例如现代代数中的某些高级主题，或者实分析和复分析之间那些微妙而重要的联系。我尤其对书中是否会涉及一些与计算机科学、物理学等领域交叉的纯粹数学概念感到兴奋，因为这些交叉领域往往能催生出最前沿的数学研究。我渴望这本书能够以一种循序渐进的方式，引导我理解那些最抽象的数学思想，并且能够激发起我对数学更深层次的探索欲望。

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我的学习轨迹让我对数学的“额外”部分一直抱有强烈的求知欲。我经常在阅读一些进阶课程的材料时，遇到一些我无法完全理解的、超出基础范围的定义和定理。这本书，正是我一直在寻找的那个“附加”的宝藏。我非常期待它能够详细阐述那些我只听说过、却从未真正掌握的数学概念，比如黎曼几何的某些高级分支，或者代数拓扑中的一些关键思想。我希望书中能够用清晰的语言和严谨的逻辑，将这些抽象的理论变得易于理解，并且能够提供一些 illustrative examples，让我能够更好地把握其精髓。对我来说，纯粹数学的吸引力在于其自身的美感和逻辑的完备性，它是一门构建在精确定义和推理之上的艺术。我期望这本书能够让我欣赏到这种艺术的更高境界。

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