IN STEP MATHS TEXTBOOK 6B EM1/2 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9789814208963

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探索《数学前沿：高等代数与拓扑学基础》 本书聚焦于严谨的数学理论构建与深入的逻辑推理，旨在为有志于在数学、物理、计算机科学等领域深造的读者打下坚实的理论基础。全书内容围绕现代数学的两个核心支柱——高等代数与基础拓扑学——展开，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾概念的清晰阐述与实例的有效支撑。 --- 第一部分：高等代数：结构与映射的艺术 (Algebraic Structures and Mappings) 本部分彻底超越初级代数范畴，深入探究抽象代数的核心概念。我们将从集合论的基本公理出发，逐步构建和分析代数结构，理解数字系统背后的深层规律。 第一章：群论基础与对称性 (Foundations of Group Theory and Symmetry) 本章是进入抽象代数的门户。我们首先定义群（Group）、子群（Subgroup）、陪集（Coset）和商群（Quotient Group）。重点探讨有限群的性质，如拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其推论，这些是理解群结构复杂度的关键。 核心概念深化： 循环群（Cyclic Groups）、正规子群（Normal Subgroups）与同态（Homomorphisms）的概念被细致剖析。我们不仅定义这些概念，更注重其在物理学（如晶体对称性）和密码学中的实际应用。 实例分析： 对二面体群（Dihedral Groups, $D_n$）和对称群（Symmetric Groups, $S_n$）进行详尽的结构分解，展示如何通过生成元和关系来描述复杂的对称操作。 同构与分类： 探讨群同构（Isomorphism）的意义，引入Cayley定理，初步建立有限群的分类思想。 第二章：环论与域的构造 (Ring Theory and Field Constructions) 从群的单一运算推广到两个运算的结构——环（Ring）。本章侧重于理解代数运算的兼容性与限制。 基本结构： 域（Field）、整环（Integral Domain）、主理想整环（Principal Ideal Domains, PID）和唯一因子域（Unique Factorization Domains, UFD）的层次结构被清晰界定。 理想与模： 深入研究理想（Ideals）、极大理想（Maximal Ideals）与素理想（Prime Ideals），以及它们与模（Module）概念的联系。 域扩张： 建立有限域（Finite Fields）的构造，探讨伽罗瓦理论（Galois Theory）的先决条件——域扩张（Field Extensions）。理解如何通过添加根来构造新的域，这是解决多项式方程的关键步骤。 第三章：线性代数的高级视角：模与张量 (Advanced Linear Algebra: Modules and Tensors) 本章将初级线性代数中的向量空间提升到更一般的模（Module）框架下，并引入多线性代数的核心工具——张量。 模的理论： 将向量空间的概念推广到环上的模，重点讨论自由模（Free Modules）和挠结构（Torsion Structure）。理解为什么在一般环上，线性代数工具（如行列式、特征值）的表现需要更精细的处理。 张量积： 详细定义张量积（Tensor Product $otimes$），阐述其通用性质（Universal Property）。张量积是连接不同数学领域的桥梁，尤其在微分几何和量子力学中至关重要。 矩阵理论的深化： 不仅停留在求解方程，而是研究矩阵在不同基下的不变量，如Jordan标准型（Jordan Canonical Form）的唯一性和构造过程，为分析线性映射的本质提供工具。 --- 第二部分：基础拓扑学：空间与连续性的几何 (Foundations of Topology: Geometry of Space and Continuity) 拓扑学是对几何形状进行定性研究的分支，它关注那些在连续形变（拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。 第四章：点集拓扑学的基本框架 (The Framework of Point-Set Topology) 本章为后续的高等几何和分析学打下坚实的语言基础。 拓扑空间的定义： 从度量空间（Metric Spaces）出发，自然引出拓扑空间（Topological Spaces）的定义，即通过开集族来定义邻域和收敛性。 基本概念的重塑： 重新审视极限、连续函数、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）在更抽象空间中的含义。特别是对紧致性的定义（任意开复盖存在有限子复盖），及其在函数空间中的重要性。 连续映射的性质： 探讨连续映射如何保持拓扑性质。例如，连续映射将紧致集映为紧致集，将连通集映为连通集。 第五章：重要的拓扑空间类型与构造 (Important Topological Spaces and Constructions) 本章介绍几类在分析和几何中频繁出现的特定拓扑空间，并教授如何“组合”现有的拓扑空间来构造新的、更复杂的空间。 度量空间与完备性： 深入探讨完备度量空间（Complete Metric Spaces）的概念，以及巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）在分析中的应用，这是泛函分析的基石。 商拓扑： 详细讲解商空间（Quotient Space）的构造，这是构建几何物体（如环面、射影空间）的核心技术。理解商拓扑如何“粘合”集合的不同部分以形成新的结构。 乘积空间与函数空间： 定义乘积拓扑（Product Topology）和子空间拓扑（Subspace Topology）。引入一些特殊的函数空间（如连续函数空间 $C(X)$）的拓扑结构，为学习泛函分析做准备。 第六章：初步的代数拓扑：同伦与基本群 (Introduction to Algebraic Topology: Homotopy and Fundamental Group) 本章是连接代数与拓扑学的关键一环，通过代数工具来区分不同的拓扑空间。 同伦概念： 定义路径（Paths）和路径同伦（Path Homotopy），这是研究空间“洞”和“环路”的基础工具。 基本群： 严格定义基本群（Fundamental Group, $pi_1(X)$），展示如何利用群论的工具（如群同态）来分析空间的拓扑结构。例如，证明圆周$S^1$的基本群是 $mathbb{Z}$，而圆盘内部的基本群是平凡群。 应用举例： 简要介绍基本群在证明布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed-Point Theorem）中的经典应用，展示代数结构如何提供强大的拓扑区分能力。 --- 总结与展望： 本书的编写风格注重逻辑的严密推导和概念的精确界定。它假设读者已经具备扎实的微积分和初等线性代数知识，并期望读者能够习惯于处理抽象定义和逻辑证明。通过对群、环、域的深入挖掘，读者将掌握现代数学的“语言”；而通过对拓扑空间的系统学习，读者将建立起对连续性和几何形态的直观而严谨的理解。全书旨在培养读者从具体问题抽象出数学模型，并使用抽象工具解决问题的能力，为未来在数学理论或应用领域的探索奠定不可动摇的理论基石。

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说实话，作为家长，我一直对孩子的数学学习感到有些担忧，数学的抽象性和逻辑性，有时候真的让孩子望而却步。但自从接触到这本书，我的担忧大大缓解了。它的语言风格非常亲切，没有太多生涩难懂的专业术语，即便是我这个数学基础比较薄弱的人，也能大致理解其中讲解的思路。最让我惊喜的是，它在每个知识点后面都配有不同难度的练习题，从简单的巩固，到需要运用思维的拓展，能够满足不同层次孩子的需求。孩子做错题的时候，书后提供的详细解析，就像一位耐心的老师，一步一步地指导他找到错误的原因，而不是简单地给出一个答案。这种“授之以渔”的教学方式，让孩子在解题过程中，不仅巩固了知识，更学会了如何思考和分析问题。我看到孩子不再害怕数学，甚至开始享受解题的过程，脸上洋溢着成功的喜悦。这本书真的不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的良师益友，陪伴孩子在数学的道路上稳步前行，我由衷地为它点赞。

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这本书的封面设计就足够吸引人，一种很稳重又不失活力的色彩搭配，让人一眼就能感受到这是一本踏实可靠的学习助手。打开第一页，那种清晰排版的字体和合理留白，立刻消除了我对厚重数学书籍的刻板印象。编排的逻辑性特别强，我能感觉到作者在设计目录和章节划分时，是真正站在学生角度思考的。知识点的引入不是突兀的，而是循序渐进，从基础概念的讲解，到例题的演示，再到最后的练习题，环环相扣，就像一场精心编排的探险旅程，每一步都让你有所收获，也为下一步打下坚实的基础。我尤其喜欢它在讲解抽象概念时，所使用的生动比喻和图示，那些精美的插画不仅仅是为了美观，而是真正帮助我理解那些原本可能让我头疼的数学原理。即使是那些我曾经觉得非常困难的题目，在这本书的引导下，我也能找到解题的思路和方法，那种豁然开朗的感觉，真的非常美妙。我期待着在接下来的学习中，能通过这本书，解锁更多的数学奥秘，建立起对数学的信心和兴趣。

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我是一名正在备考的初中生，时间紧任务重，所以我对教材的要求非常高：既要内容全面，又要重点突出，还要方便复习。这本书恰好满足了我的所有期望。它的内容涵盖了初中数学的核心知识点，条理清晰，逻辑严谨，我不需要花费太多时间去梳理和筛选信息。我特别喜欢它在每个章节末尾设置的“知识点梳理”和“错题分析”板块。知识点梳理能够帮助我快速回顾本章的要点，查漏补缺；而错题分析则非常实用，它列举了学生在学习过程中容易出错的地方，并提供了详细的解答思路，这对我来说简直是备考神器，能够有效地避免重复犯错。此外，书中穿插的各种数学史小故事和生活中的数学应用，也让学习过程变得更加生动有趣，不再枯燥乏味。我甚至会主动去翻看那些故事，了解数学的魅力和发展历程。有了这本书，我感觉备考之路更加顺畅，信心也倍增。

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我曾经以为数学就是死记硬背公式和定理，直到我开始使用这本书，我才发现数学原来可以如此有趣和富有逻辑。它不仅仅是枯燥的数字和符号的堆砌，更是一种思维方式的训练。书中的例题设计非常巧妙，往往能够从不同的角度去解释同一个概念，让我能够更深入地理解其本质。即使遇到一些比较复杂的题目，书中的解题步骤也非常详细，让我能够一步一步跟着学，不会感到迷茫。我尤其欣赏它在讲解数学概念时，所引入的丰富的实际应用场景，让我意识到数学并非是脱离现实的学科，而是与我们的生活息息相关。例如，在讲解几何图形时，书中就展示了建筑设计、艺术创作等多个领域的应用，这极大地激发了我对数学的兴趣，让我看到了数学在现实世界中的价值。这本书让我开始真正地“理解”数学，而不是仅仅“记忆”数学。

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这本书的装帧质量相当不错，纸张厚实，印刷清晰，即使经常翻阅，也不会轻易损坏。内容编排上，它很注重知识的连贯性和递进性，从浅入深，一步步引导读者掌握数学知识。我认为最值得称赞的是其练习题的设计。它不是简单地重复知识点，而是设计了多种类型的题目，包括选择题、填空题、解答题，以及一些需要较高逻辑思维能力的综合题。这种题型多样化，能够有效地锻炼我的解题能力和应变能力。对于一些较难的题目，书后提供了详细的解题过程和思路分析，让我能够清晰地了解每一步的逻辑推导，从中学习解题技巧。这种严谨的学习方式，不仅帮助我巩固了课堂上学到的知识，更培养了我独立思考和解决问题的能力。我感觉通过这本书的学习，我的数学基础变得更加扎实，解题的准确率也有了显著提升。

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