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出版者:Springer

作者:D. Husemoller

出品人:

页数:101

译者:

出版时间:1992-12-22

价格:GBP 14.99

装帧:Paperback

isbn号码:9783540546672

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数拓扑
• 循环同调
• 同调代数
• 非交换几何
• 范畴论
• 数学
• 高等代数
• 谱序列
• K理论
• 代数三角

《代数拓扑中的同调理论：从基础到前沿》 导言：深邃的几何与代数的交融 本书旨在为读者提供一个全面而深入的代数拓扑中同调理论的导览。我们聚焦于那些在现代数学物理和纯数学研究中扮演核心角色的理论工具。不同于侧重于特定分支（如循环同调或矩阵代数）的经典著作，本书采取一种广阔的视野，旨在构建一个统一的理论框架，探究不同同调理论之间的内在联系和互补性。我们将从最基础的拓扑空间的概念出发，逐步攀升至高深的范畴论视角，为读者铺设一条从直观几何洞察到严谨代数构造的完整路径。 第一部分：拓扑基础与奇异同调的复兴 本部分奠定后续所有理论的基础。我们首先详细回顾拓扑空间的定义、连续映射及其同胚性质，强调拓扑不变量的概念，这是同调理论的终极目标。随后，我们将深入探讨奇异同调群（Singular Homology Groups）。这一经典理论的介绍将不仅仅停留在对链复形、边界算子和同调构造的机械性复述上。相反，我们将着重分析奇异同调的构造是如何依赖于对“洞”的精确度量，以及这些群如何对空间的连通性、环绕数和高维结构提供代数化的描述。 我们将详细推导同调的五大基本性质：拓扑不变量性、同伦不变性（通过小胞分解和Mayer-Vietoris序列的精细分析）、相对同调群的引入、精确性、以及维数公理。特别是，Mayer-Vietoris序列的推导将被视为连接局部信息与整体结构的关键工具，我们将用大量的实例（如球面的悬挂、环面和射影平面的计算）来展示其强大的计算能力。 第二部分：更精细的结构：纤维化、谱序列与截面 在掌握了奇异同调的基础上，我们转向那些能提供更丰富代数信息的理论。第二部分的核心议题是如何从基础的拓扑数据中提取出关于纤维丛、截面和谱结构的信息。 谱序列 (Spectral Sequences) 的引入是本部分的一大亮点。我们将从一个高层次的视角介绍谱序列作为一种强大的计算工具，它允许我们将一个复杂的双复形或过滤复形的同调群，通过一系列微分逐步逼近目标同调群。我们将详细分析Serre谱序列在纤维丛（$F o E o B$）中的应用，展示如何通过已知底空间 $B$ 和纤维 $F$ 的同调信息，计算出整体空间 $E$ 的同调。这一分析将深刻揭示同调群在纤维化空间中的“张量积行为”的复杂性。 紧接着，我们将探讨上同调理论（Cohomology Theories）。上同调与奇异同调在对偶性上的关系将通过通用系数定理（Universal Coefficient Theorem）进行严谨的代数阐释。我们随后介绍Künneth公式，用以计算两个拓扑空间乘积空间的同调或上同调群，并分析张量积与Tor函子在其中扮演的角色。 第三部分：范畴论的视角与广义同调理论 现代代数拓扑的统一性很大程度上归功于范畴论的应用。本部分将理论提升至一个更抽象、更统一的层次。我们将介绍函子（Functors）和自然变换的概念，并将其应用于同调理论的本质理解上。 我们详细阐述阿贝尔范畴（Abelian Categories）和同调代数的基本概念，特别是内射解（Injective Resolutions）和射影解（Projective Resolutions）。这为定义更广义的同调理论（例如对特定函子定义的导出函子）提供了必要的代数基础。 本书将花费大量篇幅介绍上同调理论的公理化方法，特别是Eilenberg-Steenrod公理系统。通过考察如何从这些公理系统中导出奇异同调，以及哪些公理在某些理论中被（有意地）违反时会产生新的、强大的工具（例如，如何从舍弃维数公理中产生奇异上同调，以及舍弃泰勒级数性质产生流形上的德拉姆上同调），读者将领悟到同调理论的内在灵活性。 第四部分：德拉姆上同调与微分几何的桥梁 本部分致力于展示代数拓扑工具如何无缝地过渡到微分几何和分析领域。我们将详细构建德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。从微分形式、楔积和外导数的定义出发，我们建立起德拉姆链复形。 德拉姆定理（de Rham's Theorem）将被作为核心论点，严谨地证明拓扑空间上的奇异上同调群与流形上的德拉姆上同调群在自然同构意义上是等价的。我们将利用对流形上的开复盖和Mayer-Vietoris序列的推广来完成这一证明的关键步骤。 最后，我们将简要探讨霍奇理论（Hodge Theory）的初步概念，说明在具有特殊结构的流形（如凯勒流形）上，德拉姆上同调如何分解成代数意义上更易于处理的子空间，从而展示了代数拓扑与复分析和几何分析的深刻联系。 结语：展望未竟的领域 本书的结论部分将回顾我们所构建的统一框架，并展望当前研究的前沿领域，包括层上同调（Sheaf Cohomology）在代数几何中的作用，以及高阶同调理论在非交换几何中的潜在应用。 本书适合于代数拓扑、微分几何或相关领域的研究生和研究人员。读者应具备扎实的抽象代数（群论、环论）和基础拓扑学的知识。通过本书的学习，读者将不仅掌握计算特定空间同调群的技巧，更重要的是，获得理解不同同调理论之间深层联系和内在统一性的哲学视野。

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这本书的名字《Lectures on Cyclic Homology》本身就勾起了我浓厚的兴趣。我一直认为，学习数学最有趣的部分就是能够跟随一位优秀的“引导者”，一步步深入到抽象的数学世界。这本书的“讲座”形式，让我预感到作者将以一种循序渐进、由浅入深的方式来介绍循环同调这一复杂的理论。我希望能从最基本的定义出发，逐步构建起完整的理论框架。我尤其期待书中能够提供一些关于“循环”这个概念的直观解释，以及它在同调代数中的独特性。循环同调似乎与我们熟悉的同调理论有着微妙的联系，但又包含着更丰富的结构。我希望书中能够清晰地阐明这种联系与区别，并且深入探讨循环同调在解决一些经典数学问题中的强大威力。如果书中能够包含一些历史背景的介绍，或者不同学派对循环同调的贡献，那将更是一大亮点，能够帮助我从更宏观的视角理解这个数学分支的发展脉络。

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从我拿到这本《Lectures on Cyclic Homology》的那一刻起，我就被它严谨的排版和清晰的章节结构所吸引。每一页都散发着一种不容置疑的学术气息，仿佛是一扇通往全新数学领域的门扉。我对循环同调的了解还比较初步，主要是从一些基础的代数拓扑和李群的理论中窥见其应用的冰山一角。因此，我非常渴望能够通过这本书，系统地学习其核心概念，理解其在代数几何、微分几何乃至理论物理等领域中的重要作用。我特别关注书中是否会涉及一些经典的例子和应用，例如K-理论的连接，或者在某些特定代数结构下的计算。一个好的数学教材，不仅应该教会读者“是什么”，更应该教会读者“为什么”以及“如何应用”。我希望这本书能够在这几个方面都做得出色，让我在阅读过程中，能够不断地产生“原来如此”的惊叹，并且能够将所学知识融会贯通，为我日后的研究提供坚实的基础。

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对于《Lectures on Cyclic Homology》这本书，我最大的期待是它能够帮助我理解“循环”在代数结构中的普遍性和重要性。我一直觉得，数学中的许多深刻洞见都来自于对重复、周期性以及自指性结构的洞察。循环同调这个概念，似乎正是对这种数学直觉的一种形式化和系统化。我希望作者能够在讲解理论的同时，也融入一些关于数学思想的探讨，例如，为什么我们需要引入“循环”的概念来处理某些代数问题？它又如何能够揭示出更深层次的数学规律？我期待这本书能够提供一些不同于我以往接触过的数学概念的视角，让我能够以一种全新的方式去理解代数同调理论。如果书中能够包含一些关于构造性证明的例子，或者对一些关键定理的证明思路进行详细剖析，那将对我学习理解这类复杂理论非常有帮助。

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坦白说，我一直对那些能够连接不同数学分支的理论充满敬畏。《Lectures on Cyclic Homology》这个书名，就让我联想到这种跨领域的深度探索。我听说循环同调在代数K-理论、微分同调理论，甚至在某些非交换几何的构造中扮演着关键角色。我期待这本书能够清晰地揭示这些联系，让我在阅读过程中，不仅能够掌握循环同调本身的理论，更能理解它如何作为一个强有力的工具，去解决其他数学领域中的难题。我希望作者能够不仅仅停留在理论的表述，而是能够提供一些精心挑选的例子，展示循环同调在解决具体问题时的巧妙之处。一个好的数学讲义，应该能够激发读者的好奇心，让他们在学习新概念的同时，也能思考其更广阔的应用前景。我希望这本书能够成为这样一本令人受益匪浅的著作。

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这本书的封面设计就足够吸引人，一种深邃的蓝色背景，搭配着抽象但充满数学美感的螺旋图形，仿佛预示着我们将要踏入一个充满奇妙结构的领域。我一直对同调代数中的一些高级概念感到好奇，而“循环同调”这个词本身就带着一种神秘的光环，似乎隐藏着某种循环往复的深刻规律。我期待这本书能够用清晰易懂的方式，甚至是带着一些哲学性的思考，来阐述这些抽象的数学思想。毕竟，数学不仅仅是符号和公式的堆砌，更是对世界本质的一种理解方式。我希望作者能够在复杂的定义和定理之间，穿插一些启发性的讲解，帮助我们建立起直观的认识，而不是仅仅停留在形式逻辑的层面。这本书的名字也暗示着一种“讲座”的形式，这让我联想到大学里那些引人入胜的数学报告，教授们在黑板前挥洒自如，将深奥的理论娓娓道来。我希望这本书能够带来类似的阅读体验，仿佛置身于一场智慧的盛宴，既能学习到前沿的数学知识，又能感受到数学家们探索未知世界的激情。

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可能是最为简明最容易入手的循环同调参考书，正文内容还不到100页。

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