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《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》简介：为了适应“计算物理一科学与工程计算一高性能计算”发展的需要，《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》专门为在计算机(尤其是超高速大型计算机)上大规模数值求解抛物型方程各种类型的适定问题而写。《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》将在解决实际问题计算过程中可能涉及到的各类问题尽可能地加以叙述，但主要是围绕典型方程所采用的有限差分方法的格式和技巧展开的。力求简明扼要，通俗易懂，学了能用。《抛物型方程定解问题的有限差分数值计算》共分10章，包括：抛物型方程定解问题的提出、有限差分方法的基础知识、求稳定性条件的方法、抛物型方程的差分格式、非线性抛物型方程、高于二阶的抛物型方程和抛物型方程组、退化抛物型方程、抛物型方程有限差分的并行计算、数值计算中的若干问题以及数值计算的实际应用之例。
线性代数在现代工程与科学中的应用 本书深入探讨了线性代数的核心概念及其在当代科学、工程、数据分析、以及机器学习等前沿领域的广泛应用。它旨在为读者提供坚实的理论基础，并展示如何运用这些工具解决复杂的实际问题。全书内容组织严谨，逻辑清晰，力求在理论深度与实践应用之间取得完美的平衡。 第一部分：基础理论的构建 本书伊始，我们首先系统性地回顾了线性代数的基石——向量空间和线性变换。我们不仅详细阐述了线性无关性、基和维数的概念，还通过大量的几何直观和抽象定义，帮助读者建立起对向量空间本质的深刻理解。特别是对于有限维和无限维空间的处理，为后续学习泛函分析和偏微分方程的数值方法奠定了基础。 矩阵代数与初等变换： 矩阵被视为线性变换的表示，我们详尽地讲解了矩阵的乘法、逆矩阵、行列式的性质及其计算方法。重点突出了高斯消元法（行阶梯形）在求解线性方程组中的核心作用，并讨论了其在计算稳定性和效率方面的考量。初等矩阵的引入，使得理解矩阵分解（如LU分解）的过程更加直观。 特征值问题的理论核心： 特征值与特征向量是理解线性系统动态行为的关键。本书系统地介绍了相似变换、对角化理论，并深入探讨了特征值问题的几何意义和物理意义。对于实对称矩阵，我们详细推导和证明了谱定理，这对于理解傅里叶分析和主成分分析至关重要。对于非对称矩阵，则引入了若尔当标准形，以处理更一般的情况。 正交性与最小二乘法： 正交性是几何直观与代数运算的完美结合点。我们详细讨论了内积空间、正交基和施密特正交化过程。在此基础上，本书将最小二乘法提升到核心地位，它不仅是求解超定线性系统的标准方法，更是理解数据拟合、回归分析和投影理论的基石。正交分解（如QR分解）的算法实现及其数值稳定性也被深入分析。 第二部分：矩阵分解与数值稳定性 矩阵分解是现代计算数学的灵魂。本书将大量的篇幅用于介绍和比较几种最重要的矩阵分解技术，着重分析它们在数值计算中的稳定性和效率。 LU分解与Cholesky分解： LU分解作为求解大规模线性系统的基础算法，其计算步骤和对零主元处理的策略被细致描述。对于正定对称矩阵，Cholesky分解因其计算速度快、仅需存储一半系数而得到特殊关注。我们讨论了这些分解在误差分析中的作用。 QR分解的应用： QR分解，基于Gram-Schmidt过程或Householder反射、Givens旋转等正交变换，被视为求解最小二乘问题和特征值问题的首选方法。本书详细对比了不同计算QR分解方法的优劣，特别是Householder方法在数值稳定性方面的优越性。 奇异值分解（SVD）： SVD被誉为“矩阵的终极分解”。我们不仅给出了SVD的精确定义及其与特征值问题的关系，更重要的是，本书强调了SVD在数据科学中的核心地位：秩逼近（低秩近似）、数据压缩、主成分分析（PCA）的精确计算，以及伪逆（Moore-Penrose Inverse）的定义和应用。 第三部分：迭代方法与大规模系统求解 对于维度极高或矩阵结构特殊的方程组，直接求解方法（如LU分解）在时间和内存上变得不可行。因此，本书引入了求解大规模稀疏线性系统的迭代方法。 经典迭代法： 我们详细介绍了雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代，并着重分析了它们的收敛条件和速率。通过分析迭代矩阵的谱半径，读者可以清晰地理解这些方法的局限性。 高级迭代求解器： 为了应对更具挑战性的问题，本书重点讲解了基于 Krylov 子空间的方法。共轭梯度法（CG）被专门拿出来详述，因为它在求解对称正定系统中的效率极高。同时，我们也介绍了双共轭梯度法（BiCG）和广义最小残量法（GMRES）在处理非对称系统中的关键思想和收敛特性。预处理技术（Preconditioning）作为加速迭代收敛的有效手段，也被作为重要的章节进行了深入探讨。 第四部分：线性代数在应用中的桥梁 最后一部分，本书将理论与实际应用紧密结合，展示线性代数在当代科学技术中的不可替代性。 优化问题的线性代数基础： 我们探讨了线性规划问题的几何解释，以及单纯形法中涉及的基可行解和方向向量的线性代数结构。对于二次规划问题，我们分析了Hessian矩阵的性质及其与牛顿法收敛性的关系。 图论与网络分析： 通过拉普拉斯矩阵和邻接矩阵，本书展示了如何使用线性代数的工具来分析复杂网络结构。例如，PageRank算法的迭代求解，本质上就是特征值问题的应用。 多元统计分析与降维： 我们将主成分分析（PCA）的计算过程，完全建立在协方差矩阵的特征分解或数据矩阵的SVD之上，清晰地展示了如何通过线性变换来捕获数据中的最大方差方向，实现有效降维。 反馈控制系统： 在状态空间表示法中，系统的稳定性直接与状态矩阵的特征值位置相关联。本书解释了如何利用矩阵指数和系统矩阵的对角化来分析系统的瞬态响应和长期行为。 本书旨在提供一个全面、深入且与时俱进的线性代数学习体验，使读者不仅掌握“如何计算”，更理解“为何如此计算”，为他们未来在数值分析、计算科学及数据驱动的领域中深造打下坚实的基础。理论推导严谨，例题丰富，对数值计算的稳定性有充分的关注。
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