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出版者:Taylor & Francis

作者:Lipson, David A. (EDT)/ van Beek, Edwin J. R. (EDT)/ Beek, Edwin J. R. Van (EDT)

出品人:

页数:672

译者:

出版时间:2005-5

价格:$ 282.44

装帧:HRD

isbn号码:9780824754273

丛书系列:

图书标签:

• 肺功能
• 肺部影像
• 医学影像
• 影像学
• 呼吸系统
• 临床医学
• 诊断学
• 肺疾病
• 功能性影像
• 胸部影像

《空间几何与拓扑学基础》 书籍简介 本书旨在为读者提供坚实的数学基础，特别是聚焦于现代物理学、工程学以及计算机科学中至关重要的空间几何与拓扑学领域。全书结构严谨，内容涵盖了从经典欧几里得几何到抽象拓扑空间的演变脉络，力求在严谨性与直观性之间取得完美的平衡。我们相信，对于任何希望深入理解现代科学理论的个体而言，掌握这些基础概念是不可或缺的第一步。 第一部分：欧几里得空间与微分几何的入门 本书伊始，我们将重温并深化对三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 的理解。不同于高中阶段的直观几何，我们将使用向量代数和线性代数工具来系统地描述点、线、面，并引入更高级的几何对象——流形（Manifolds）的概念。 第一章：向量空间与坐标系 本章将详细阐述向量空间的基本定义、基（Basis）与维度（Dimension）。重点讨论如何通过不同的坐标变换（如旋转和平移）来描述空间中的几何实体，并引入张量（Tensors）作为描述物理量在坐标系变换下不变性的数学工具。我们将详细分析度量张量（Metric Tensor）的重要性，它是所有距离和角度测量的基础。 第二章：曲线与曲面的微分几何 这是本书几何部分的核心内容。我们将引入曲线的自然参数化、挠率（Torsion）和曲率（Curvature）等内蕴性质。对于曲面，本书将深入探讨第一、第二基本形式，以及关键的曲率概念——高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的证明及其物理意义将被详尽阐述，它揭示了曲面内禀几何的深刻本质。本章还将初步探讨法丛（Normal Bundles）和切丛（Tangent Bundles）的概念，为后续拓扑学的讨论埋下伏笔。 第三章：黎曼几何的初步接触 在掌握了曲面几何后，我们将迈向更高维度的黎曼几何。本章着重介绍黎曼流形的概念，即带有度量张量的微分流形。我们将定义协变导数（Covariant Derivative）和黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）。通过对测地线（Geodesics）方程的求解，读者将理解在弯曲空间中“最短路径”的精确数学描述。爱因斯坦的引力场方程在本质上是黎曼几何的应用，本章的理论储备将为理解这一联系提供坚实的基础。 第二部分：代数拓扑学的核心概念 在几何部分为读者构建了“形状的度量”之后，本书的第二部分将转向拓扑学的核心：研究空间在连续形变下保持不变的性质。拓扑学关注的是“洞”的数量和“连接性”，而非精确的距离或角度。 第四章：拓扑空间与连续性 本章建立拓扑学的形式基础。从点集拓扑开始，严格定义开集、闭集、邻域和连续函数。我们将考察商拓扑（Quotient Topology）的构造，这在物理学中用于处理具有周期性边界条件的系统至关重要。紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）作为拓扑空间最重要的两个性质，将得到详尽的分析和应用。 第五章：同伦论：研究“洞”的代数工具 同伦（Homotopy）是研究空间形变的核心工具。本章将定义路径以及路径的同伦等价。我们将系统地介绍基本群（Fundamental Group），也称为第一同伦群 $pi_1(X)$。通过计算一些经典空间的（如圆周 $S^1$、环面 $T^2$ 等）基本群，读者将直观理解基本群如何编码了空间中“不可收缩循环”的信息。布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed-Point Theorem）的简洁证明将展示同伦论在不动点理论中的威力。 第六章：同调论：更高阶的“洞” 虽然基本群功能强大，但其代数结构（非阿贝尔群）使得计算十分复杂。同调论（Homology Theory）应运而生，它提供了一种更易于计算的代数不变量——同调群 $H_n(X)$。本章将从链复形（Chain Complexes）和边界算子（Boundary Operators）出发，逐步构造出奇异同调群（Singular Homology Group）。我们将详细探讨Mayer-Vietoris序列的构造与应用，这是计算复杂拓扑空间同调群的强大技术。同调论的关键洞察在于，它能区分出不同维度的“洞”。例如，三维球体没有二维“空腔”，而环面则有一个二维“空腔”。 第七章：欧拉示性数与应用 欧拉示性数 $chi(X)$ 是连接几何与拓扑的一个深刻不变量。本章将展示如何使用链复形的迹来计算欧拉示性数，并利用庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）来证明向量场在紧致流形上必然存在零点（即奇点）的结论。我们将探讨欧拉示性数在组合几何（如多面体的面、边、顶点计数）中的经典应用。 第三部分：流形与纤维丛 最后一部分将整合前两部分的知识，将微分几何的工具应用于拓扑流形上，引入现代几何分析的核心框架——纤维丛理论。 第八章：流形上的张量分析与向量场 本章回到微分几何的范畴，但现在我们工作的对象是拓扑流形 $M$ 上的光滑函数和向量场。我们将定义张量场和微分形式（Differential Forms）。德拉姆上同调（de Rham Cohomology）——一个依赖于微分形式的拓扑不变量——将被引入，并证明其与奇异同调群的同构关系（即德拉姆定理）。这将优雅地统一微分几何与代数拓扑的语言。 第九章：纤维丛基础 纤维丛（Fiber Bundles）是描述物理场和规范理论的关键结构。本章将定义纤维丛、总空间、基空间以及纤维。我们将详细分析向量丛，特别是切丛（Tangent Bundle）和余切丛（Cotangent Bundle）。连接（Connection）的概念将被引入，它允许我们在纤维之间进行“平行移动”，这是广义相对论和规范场论中描述力场的数学基础。 总结 《空间几何与拓扑学基础》致力于提供一个全面、深入且相互关联的数学视角，使读者能够掌握从精确度量到抽象形变性质的数学工具集。本书的读者在完成学习后，将具备阅读高等物理学（如广义相对论、量子场论）和先进计算机图形学、数据分析文献所需的坚实数学素养。全书的论证路径清晰，从具体到抽象，从局部到整体，构建了一个自洽的理论体系。 --- 本书适合的读者群体： 数学、物理学、理论计算机科学专业的高年级本科生和研究生。 对现代几何与拓扑学有浓厚兴趣，并具备扎实微积分和线性代数基础的工程师和研究人员。 希望系统性地重温或弥补自己在微分几何和代数拓扑领域知识空白的专业人士。

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