Number Theory (Crm Proceedings & Lecture Notes, V. 36) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:

出品人:

页数:303

译者:

出版时间:2004-06

价格:USD 104.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821833315

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 代数数论
• 算术几何
• 丢番图方程
• 模形式
• 椭圆曲线
• L-函数
• zeta函数
• 同余
• 素数分布

现代数学的基石：数论的广阔天地 数论，作为纯数学中最古老、最迷人的分支之一，其核心在于对整数及其性质的深入探索。它不仅是数学美学的集中体现，更是连接代数、分析、几何乃至密码学等多个领域的桥梁。本卷旨在呈现当代数论研究的前沿进展与经典理论的深刻洞察，为读者构建一个全面、深入且富有启发性的数论知识体系。 本书内容涵盖了数论的多个核心领域，从基础的解析数论到高度抽象的代数数论，再到与几何和物理紧密相关的算术几何。我们着重探讨了那些推动该领域发展的关键性概念和待解决的重大难题，力求在保持严谨性的同时，展现数论思想的创造性与活力。 第一部分：解析数论的深度挖掘 解析数论利用复分析和实分析的工具来研究整数的分布规律，是理解数论问题的强大引擎。 1. 黎曼 Zeta 函数与素数分布： 本部分详尽阐述了黎曼 Zeta 函数 $zeta(s)$ 的性质，包括其欧拉乘积公式、函数方程以及在复平面上的解析延拓。我们深入讨论了其零点的分布，特别是黎曼猜想——这一被誉为“数学中最重要未解问题”的陈述。通过对这些零点分布的研究，我们揭示了素数在自然数序列中出现的规律性与随机性之间的精妙平衡。内容涵盖了利用狄利克雷 L-函数研究算术级数中素数分布的狄利克雷定理，以及对高精度素数计数函数 $pi(x)$ 的渐近估计。 2. 狄利克雷级数与自守形式： 狄利克雷级数是解析数论的另一个核心工具。我们将探讨狄利克雷级数与算术函数的深刻联系，特别是通过对这些级数在临界线附近的性质进行分析，来获取关于模形式的算术信息。自守形式（Modular Forms）作为联系数论、表示论和微分几何的纽带，占据了重要篇幅。我们介绍了模判别式 $Delta(z)$、模形式的拉马努金猜想（现已证明）及其 $L$-函数，展示了这些函数如何编码了代数对象（如椭圆曲线）的深层算术特征。 3. 筛法原理的应用： 筛法是处理有限集合中元素性质的经典技术，尤其适用于处理涉及素数计数的组合性问题。本书详细介绍了埃拉托斯特尼筛法、布伦筛法以及更强大的梅林变换筛法。通过这些方法，我们得以攻克如“哥德巴赫猜想的弱形式”（几乎所有奇数都是三个素数之和）等经典难题，并提供了对“大素数”存在性的有效估计。 第二部分：代数数论的结构之美 代数数论将代数结构（如域、环和理想）引入数论问题，极大地提升了解决问题的能力，尤其在处理丢番图方程时展现出无可比拟的优势。 1. 代数数域与环论： 本部分从基础的域扩张开始，系统地介绍了代数整数的概念。我们深入探讨了数域 $K$ 上的整数环 $mathcal{O}_K$ 的结构，特别是如何通过判别式、基本单位组和理想类的概念来刻画这些环。班迪克斯-韦伯定理（Basis for the ring of integers）的证明及其在单位计算中的应用是本节的重点。 2. 代数数域中的类域理论： 类域理论是连接伽罗瓦群与代数数域结构的核心桥梁。本书详细讲解了局部类域论（对 $mathbb{Q}_p$ 的分析）和全局类域论（对 $mathbb{Q}$ 的分析）。我们阐释了著名的哥穆朗定理（Artin Reciprocity Law），该定理用相对伽罗瓦群的结构来描述了扩张的局部性质，是现代代数数论的奠基石之一。此外，还讨论了希尔伯特符号和费罗贝尼乌斯元（Frobenius element）在分解群中的作用。 3. 费马大定理的代数方法： 通过将费马方程 $x^n + y^n = z^n$ 与特定领域的单位群和理想的唯一分解联系起来，本书展示了代数数论如何有效地处理看似单纯的指数方程。虽然藤田证明主要依赖椭圆曲线和模形式，但我们在此回顾了库默尔对指数 $p < 37$ 时的成功证明，该证明深刻依赖于分圆域中的单位结构和正则素数概念。 第三部分：算术几何的交汇与应用 算术几何是代数几何与代数数论的融合，它使用几何学的语言来研究整数点和有理点。 1. 椭圆曲线： 椭圆曲线 $E: y^2 = x^3 + Ax + B$ 是数论研究的中心对象。我们详细分析了它们的代数结构，包括群律的定义、有理点集 $E(mathbb{Q})$ 的结构（莫代尔-韦伊定理）。该定理指出，椭圆曲线上的有理点构成一个有限生成阿贝尔群，其结构由秩（Rank）和挠点（Torsion Points）决定。我们探讨了如何利用局部 Hasse 不变式来确定挠点，并简要介绍了计算秩的布赫曼尔法。 2. $ ext{Mordell-Weil}$ 猜想与 $ ext{Birch and Swinnerton-Dyer (BSD)}$ 猜想： BSD 猜想是继黎曼猜想之后最重要的未解问题之一，它将椭圆曲线的算术不变量（如秩）与解析不变量（如 $L$-函数在 $s=1$ 处的行为）联系起来。本书深入剖析了该猜想的意义，并展示了在特定情况（如复流形上定义的曲线）下，猜想已被证明的部分结果。 3. $ ext{Diophantine}$ 方程与 $ ext{Faltings}$ 定理： 对于高亏格的曲线（如更一般的代数曲线），研究其有理点变得极其困难。法尔廷斯定理（原 $ ext{Mordell}$ 猜想）指出，任何亏格 $g > 1$ 的代数曲线最多只有有限个有理点。本书解释了如何将这些曲线嵌入到高维代数簇中，并利用代数簇的维度、布里尔数（Picard 群）和伽罗瓦上同调等工具来证明这一深刻的几何限制。 结论：未尽的探索 本书旨在为读者提供一个坚实的数论知识框架，不仅涵盖了经典成果，也聚焦了现代研究的挑战。数论的魅力在于其问题的表述往往简洁明了，但其背后的证明却需要集合代数、分析乃至拓扑学的尖端工具。从 $ ext{Goldbach}$ 猜想到 $ ext{ABC}$ 猜想，数论领域依然充满了待解决的宏伟目标，等待着新一代数学家的智慧与洞察。本书所涵盖的理论，正是攀登这些高峰所必备的坚实阶梯。

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