Universal Algebra and Lattice Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Comer, Stephen D.

出品人:

页数:382

译者:

出版时间:1985-10-25

价格:USD 46.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540156918

丛书系列:

图书标签:

• Universal Algebra
• Lattice Theory
• Abstract Algebra
• Mathematical Logic
• Set Theory
• Algebraic Structures
• Order Theory
• Mathematical Foundations
• Pure Mathematics
• Algebra

抽象代数与集合论的交汇：探寻结构的普遍性与逻辑的优雅 本书并非是一部包罗万象的代数或格论教科书，其核心在于揭示数学结构背后隐藏的普遍规律，并勾勒出抽象代数与格论这两大看似独立领域之间深刻而迷人的联系。它将带领读者超越具体运算和集合的束缚，深入理解代数系统和序结构所共有的本质属性，以及这些属性如何塑造它们的内部逻辑与外部表现。 第一部分：代数系统的通用语言——代数结构的概念与性质 本部分将奠定理解抽象代数的基础，通过聚焦代数结构中的基本构件，展现其强大而普适的表述能力。我们将从最基本的代数结构——代数（algebras）——出发，这是一种由一个集合以及在该集合上定义的若干运算组成的数学实体。例如，我们熟知的群（groups）、环（rings）、域（fields）都是代数的特例。然而，本书并不局限于这些具体的例子，而是着眼于代数所共有的“骨架”： 载体集（underlying set）与运算（operations）： 任何代数都离不开一个用于承载元素的集合，以及作用于这些元素的函数型运算。我们将探讨不同数量和元数的运算如何定义不同的代数类型，以及运算的结合律、交换律等性质的重要性。 公理（axioms）的力量： 代数的定义往往通过一组公理来刻画。这些公理并非随意的规定，而是抽象提炼出来的、能够准确捕捉某一类代数系统共性特征的必要条件。我们将深入分析不同公理系统的含义，以及它们如何决定代数的行为模式。例如，群的公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）定义了一个非常规范的运算结构，而半群（semigroups）则省略了单位元和逆元的公理，展现了更宽松的运算框架。 同态（homomorphisms）与同构（isomorphisms）： 连接不同代数系统的重要桥梁是同态映射。同态保持了代数结构中的运算关系，使得我们可以在不同代数之间进行有意义的比较。而同构则是一种特殊的同态，它表明两个代数在结构上是完全等价的，只是元素的“标记”可能不同。我们将通过详实的例子，说明同态和同构如何帮助我们理解代数系统的分类和简化。 子代数（subalgebras）与代数同态像（homomorphic images）： 在一个代数内部，总可以找到一些“局部”的代数结构，它们被称为子代数。子代数继承了原代数的运算和性质，但范围更小。另一方面，代数同态像则是在通过同态映射“压缩”原代数后得到的新的代数。理解子代数和同态像是把握代数系统内部和外部联系的关键。 自由代数（free algebras）： 自由代数是代数结构中最“纯粹”的形式，它们仅由一组生成元（generators）和定义关系（relations）构成，而不受其他任何非平凡公理的约束。自由代数的重要性在于，任何一个代数都可以通过自由代数进行“表示”，这为研究一般代数提供了强大的工具。 第二部分：秩序的逻辑——格论的抽象视角 格论，作为研究偏序集合（partially ordered sets）的理论，以其优雅的抽象性和深刻的逻辑性，揭示了对象之间“大于”或“小于”关系所蕴含的丰富信息。本部分将引领读者进入格的世界，感受序结构的美妙： 偏序集（partially ordered sets）与全序集（totally ordered sets）： 偏序集中的元素之间存在一种“部分”的比较关系，即并非任意两个元素都可以直接比较大小。与之相对，全序集中的任意两个元素都可以直接比较。我们将从偏序集出发，探讨其基本定义、传递性、反对称性等性质，并引入链（chains）和反链（antichains）等概念。 格（lattices）： 格是具有特殊结构的一类偏序集，其核心在于任意两个元素都存在唯一确定的最小上界（join，也称为并集）和最大下界（meet，也称为交集）。我们将详细介绍格的定义，并探讨各种类型的格，如分配格（distributive lattices）、模格（modular lattices）等，分析它们的性质以及它们在逻辑、计算机科学等领域的应用。 有界格（bounded lattices）、上（下）模格（upper/lower semilattices）： 有界格包含了最大元（top element）和最小元（bottom element），这为格的研究提供了更多的便利。上模格和下模格则分别只要求存在join和meet。我们将分析这些不同定义的格之间的关系，以及它们如何影响格的代数性质。 格同态（lattice homomorphisms）与同构（isomorphisms）： 类似于代数结构，格之间同样可以通过格同态来建立联系。格同态不仅保持了元素的序关系，还保留了join和meet运算。格同构则意味着两个格在序结构上是完全一致的。 子格（sublattices）与格同态像（lattice homomorphic images）： 与代数类似，格中也存在子格和格同态像的概念。子格是保持格结构性质的子集，而格同态像则是通过格同态映射得到的新的格。 第三部分：交汇之处——抽象代数与格论的深度融合 本部分的精华所在，在于展现抽象代数与格论并非孤立的数学分支，而是存在着深刻而富有成果的相互联系。我们将深入探讨这种联系如何在理论层面和应用层面体现出来： 格的代数视角： 实际上，任何一个格都可以被视为一种特殊的代数结构。我们可以定义join和meet为二元运算，并赋予它们一系列公理（如幂等性、交换律、结合律、吸收律）。本书将详细阐述这种从序结构到代数结构的转化过程，并分析由此产生的代数性质，例如分配格对应于布尔代数（Boolean algebras）的某种推广，模格则与某些特殊的环和模结构相关。 代数结构中的格： 反过来，在许多代数结构中，我们都可以自然地找到格的结构。例如，一个群的子群（subgroups）在包含关系下构成一个格；一个环的理想（ideals）也构成一个格。我们将探讨这些“代数格”的性质，以及它们如何反映原代数系统的结构特点。例如，一个群的子群格的性质可以揭示该群的某些重要属性，如可解性。 模格与近模格（near-modular lattices）： 模格在代数中扮演着重要角色，例如在研究模（modules）和环的理想格时。我们将深入探讨模格的性质，以及它们与近模格之间的关系。近模格是一种比模格更一般的结构，但仍然保留了部分模格的重要性质，并在某些代数结构中出现。 布尔代数与逻辑： 布尔代数是分配格的一个重要特例，它与数理逻辑有着极为密切的联系。本书将探讨布尔代数的基本性质，以及它们如何成为描述命题逻辑的语言。通过布尔代数的视角，我们可以更深入地理解逻辑推理的本质。 抽象代数与格论在计算机科学中的应用： 尽管本书的重点在于理论探索，但我们也会适时提及抽象代数与格论在计算机科学中的广泛应用。例如，在程序语义学中，格论为解释程序的行为提供了数学框架；在类型论中，格结构用于组织类型信息；在形式验证和逻辑电路设计中，布尔代数和更一般的代数结构都发挥着关键作用。 本书的写作风格将力求清晰、严谨，并辅以大量的例证。我们不会预设读者在代数或格论方面拥有深厚的背景，而是从基础概念出发，逐步深入。通过对抽象代数和格论的通用语言和核心思想的深入剖析，以及对它们之间深刻联系的细致梳理，本书旨在为读者提供一个理解数学结构普遍性与逻辑优雅性的全新视角，开启探索抽象数学世界的迷人旅程。

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