Schaum's Outline of Complex Variables, 2ed (Schaum's Outline Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Spiegel, Murray R./ Lipschutz, Seymour/ Schiller, John J.

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2009-6

价格:$ 22.54

装帧:

isbn号码:9780071615693

丛书系列:

图书标签:

• Mathematics
• Complex Variables
• Schaum's Outline
• Mathematics
• Engineering Mathematics
• Complex Analysis
• Higher Education
• Textbook
• Study Guide
• Schaum's Series
• 2nd Edition

《复变函数（第二版）》（Schaum's Outline Series） 课程概述： 这本《复变函数（第二版）》是 Schaum's Outline 系列中的一本，旨在为学习复变函数理论的学生提供一套清晰、简洁且内容详实的学习指南。本书涵盖了复变函数分析的核心概念、定理和方法，并辅以大量的例题和习题，帮助读者深入理解并熟练掌握该领域的基本知识。复变函数作为高等数学的重要分支，在物理学、工程学、信号处理、流体力学等众多学科中都有着广泛的应用，学习复变函数对于提升理论分析能力和解决实际问题至关重要。 核心主题与内容解析： 本书的结构设计遵循了复变函数理论的逻辑发展顺序，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的主题。 复数与复平面 (Complex Numbers and the Complex Plane): 复数的定义与运算: 本部分首先介绍了复数的代数表示法 ($a+bi$)，包括复数的加法、减法、乘法和除法。强调了复数的几何意义，即将其视为复平面上的一个点或一个向量。 复数的几何解释: 详细阐述了复数的模长 ($|z|$) 和辐角 ($arg(z)$)，以及复数运算在几何上的对应关系，如平移、旋转和伸缩。 共轭复数: 介绍了复共轭的概念及其性质，以及它在代数运算和几何表示中的作用。 极坐标表示法: 讲解了复数的极坐标表示法 ($r(cos heta + i sin heta)$ 或 $re^{i heta}$)，以及如何进行乘除运算，特别是对高次幂和根的计算。 欧拉公式: 引入欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + i sin heta$，这是连接指数函数和三角函数的重要桥梁，在后续的理论发展中起着关键作用。 复数的幂和根: 深入探讨了复数的整数次幂和分数次幂的计算，特别是复数的 $n$ 次根的求解，理解其多值性。 复变函数与解析函数 (Complex Functions and Analytic Functions): 复变函数的定义: 定义了复变函数 $w = f(z)$，即将复数 $z$ 映射到复数 $w$ 的函数。将其分解为实部和虚部 $u(x,y) + iv(x,y)$，这是分析复变函数性质的基础。 复变函数的极限与连续性: 仿照实变函数，定义了复变函数的极限和连续性，强调了在复平面上的收敛性。 复变函数的导数: 引入复变函数的可导性概念。这要求在复平面上进行极限运算，其定义形式与实变函数相似，但要求在任意方向上极限都存在且相等。 柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann Equations): 这是判断一个复变函数是否可导的关键条件。本书详细推导了柯西-黎曼方程 ($frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y}$ 且 $frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}$)，并说明了其充要性。 解析函数 (Analytic Function) / 全纯函数 (Holomorphic Function): 定义了在某个区域内处处可导的函数称为解析函数（或全纯函数）。解析函数是复变函数理论的核心研究对象，它们具有许多优良的性质。 调和函数 (Harmonic Functions): 介绍了与解析函数密切相关的调和函数。如果 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是解析函数 $f(z) = u+iv$ 的实部和虚部，那么 $u$ 和 $v$ 都满足拉普拉斯方程 ($ abla^2 u = frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0$)，被称为调和函数。本书会讲解如何找到给定调和函数的共轭调和函数，从而构造出解析函数。 复变函数积分 (Complex Integration): 沿曲线的积分: 定义了复变函数沿复平面上曲线的积分，将积分从实变函数的一维积分推广到二维。 格林公式在复变积分中的应用: 介绍了格林公式如何与复变积分联系起来，为后续的柯西积分定理奠定基础。 柯西-黎曼方程与积分: 进一步展示了柯西-黎曼方程在判断函数积分值与路径无关性方面的作用。 柯西积分定理 (Cauchy's Integral Theorem): 这是复变函数理论中的一个基石定理。它指出，如果函数 $f(z)$ 在一个单连通区域内解析，那么在该区域内任意闭合曲线上的积分都为零。本书将详细证明这一重要定理。 柯西积分公式 (Cauchy's Integral Formula): 在柯西积分定理的基础上，导出了柯西积分公式，它允许我们通过一个闭合曲线上的积分来计算函数在曲线内部某一点的值。这个公式是计算高阶导数的关键。 级数表示法 (Series Representations): 泰勒级数 (Taylor Series): 讲解了如何将解析函数在某一点展开成无穷级数，即泰勒级数。这使得我们可以用多项式来近似解析函数。 洛朗级数 (Laurent Series): 推广了泰勒级数，使得函数不一定需要在整个展开区域内解析。洛朗级数包含正负幂项，能够描述在奇点附近的函数行为。 收敛性: 讨论了复变级数（泰勒级数和洛朗级数）的收敛性，以及收敛域的确定。 留数与留数定理 (Residues and the Residue Theorem): 奇点 (Singularities): 讨论了复变函数在某些点上不可导的现象，即奇点，包括可去奇点、极点和本性奇点。 留数 (Residue): 定义了函数在奇点处的留数，它是在洛朗展开式中 $(z-z_0)^{-1}$ 项的系数。留数是计算复变函数积分的一个强大工具。 留数定理 (Residue Theorem): 这是一个极其重要的定理，它将函数沿闭合曲线的积分与曲线内所有奇点的留数联系起来。本书将详细推导和应用留数定理。 计算定积分: 留数定理在计算实变函数中的各种定积分（包括无穷积分、带三角函数的积分等）方面具有强大的能力，本书将提供大量的实例展示其应用。 保形映射 (Conformal Mapping): 映射的定义: 介绍复变函数如何将一个区域映射到另一个区域。 保形映射的性质: 定义了保形映射，即在映射点处保持角度大小和方向的映射。解析函数在不使导数为零的点上通常是保形映射。 重要保形映射: 介绍了一些重要的保形映射，如线性变换 $w = az+b$、反演变换 $w = 1/z$、Möbius 变换（分数线性变换）$w = frac{az+b}{cz+d}$ 等，并分析它们对区域形状的改变。 应用: 讨论了保形映射在解决偏微分方程（如拉普拉斯方程）边界值问题中的应用，尤其是在流体力学和电场理论等领域。 学习方法与本书特色： 本书作为 Schaum's Outline 系列的一员，其核心优势在于： 清晰的讲解: 以最简洁明了的语言解释复杂的概念。 大量的例题: 每一个概念和定理都配有精心设计的例题，从易到难，逐步引导读者掌握解题技巧。 丰富的习题: 提供大量的练习题，涵盖了从基本概念巩固到综合应用等各个层面，帮助读者检验学习效果并加深理解。 章节总结: 每章结尾都附有重点回顾，帮助读者梳理知识脉络。 注重应用: 虽然是理论基础的书籍，但本书始终不忘复变函数在实际问题中的应用，让读者理解学习的价值。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 1. 深刻理解复数的性质及其在复平面上的几何意义。 2. 掌握复变函数的概念，特别是解析函数的定义和判定方法。 3. 熟练运用柯西-黎曼方程来分析函数的解析性。 4. 理解并应用柯西积分定理和柯西积分公式。 5. 掌握泰勒级数和洛朗级数的展开与收敛性分析。 6. 灵活运用留数定理计算复变函数积分及相关定积分。 7. 了解保形映射的基本概念及其在解决边界值问题中的应用。 8. 培养严谨的数学思维和解决复杂数学问题的能力。 本书适合高等院校数学、物理、工程类专业的本科生和研究生作为教材或参考书，也适合需要复习和深化复变函数知识的专业人士。

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本书拯救了我一整个学期，given我有这么一个喜欢做积分的教授

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