具体描述
《线性代数》是依据高等学校经济管理类本科数学基础课程的教学基本要求，在总结线性代数课程教学改革成果，吸收国内外同类教材的优点，结合我国高等教育发展趋势的基础上编写而成。《线性代数》在为学生提供必要的基础知识和基本技能的同时，优化构建教学内容与课程体系，注重课程的思想性和结构特征，突出数学应用和建模能力的培养，力求实现理论教学与实际应用、知识传授与能力培养的统一。
全书内容包括矩阵、线性方程组、向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型、线性代数应用与模型。《线性代数》结构严谨，逻辑清晰，叙述清楚，注重应用，例题典型，习题丰富，内容组织上力求做到自然直观，通俗易懂，教与学结合，易教易学。《线性代数》还配有辅导用书《线性代数辅导教程》、《线性代数习题全解》、电子教案、线性代数网络课程等立体化教学资源。需要教学课件的老师，请发邮件到math@crup．cn索取。
《线性代数》适合于高等学校经济类和管理类各专业学生使用，也可供理工科学生和科技工作者阅读参考。
线性代数：数学的基石与应用的桥梁 引言 在现代科学技术飞速发展的浪潮中，数学作为一门基础学科，其重要性不言而喻。而在数学的众多分支中，线性代数以其独特的视角和强大的工具，在物理、工程、计算机科学、经济学、统计学乃至社会科学等领域展现出不可替代的价值。它不仅为我们理解和描述世界提供了一种优雅而有力的语言，更是解决无数实际问题不可或缺的数学利器。本书《线性代数》旨在带领读者深入探索这个引人入胜的数学领域，从最基础的概念出发，逐步构建起对线性代数理论的深刻理解，并最终领略其在各个应用领域中的强大威力。 第一章：向量与空间——构建基石 本章将为我们揭开线性代数的神秘面纱，从最直观的“向量”概念入手。我们将理解向量不仅仅是箭头，更是能够进行加法和标量乘法运算的数学对象。我们将学习如何在二维和三维空间中表示向量，以及向量的模长、方向和点积等基本性质。点积的应用将引导我们理解向量之间的夹角和正交性，这是后续理解线性相关、基底等核心概念的重要铺垫。 在此基础上，我们将引入“向量空间”这一抽象但至关重要的概念。我们将学习向量空间所必须满足的公理，并认识到多项式、函数甚至矩阵都可以构成向量空间。这意味着我们可以在更广阔的数学框架下，统一地研究不同性质的对象。紧接着，我们将探讨向量空间的“维度”，理解线性无关组和生成集如何决定一个空间的“大小”和“范围”。“基底”和“坐标”的概念将使我们能够以一种标准化的方式来描述和操作向量空间中的元素，如同为每个空间建立了一个“坐标系”。 第二章：矩阵——变换的语言 矩阵，作为线性代数的核心工具之一，将在本章中大放异彩。我们将学习矩阵的定义、分类（如方阵、对称矩阵、对角矩阵等）以及各种运算，包括矩阵的加法、标量乘法和复杂的矩阵乘法。矩阵乘法的定义看似繁琐，但其背后蕴含着强大的“线性变换”的含义，我们将详细解析这一点。 本章的重头戏将是“矩阵与线性方程组”的联系。我们将学习如何将一组线性方程组表示成矩阵方程 $Ax=b$，并引入“增广矩阵”的概念，为求解方程组提供统一的框架。高斯消元法和高斯-约旦消元法将成为我们求解线性方程组的利器，它们通过一系列初等行变换，将增广矩阵化简，从而揭示方程组解的存在性与唯一性。我们将深入理解“自由变量”、“主元”和“秩”等概念，它们直接决定了方程组解空间的性质。 第三章：行列式——洞察矩阵的内在属性 行列式，作为与方阵紧密相关的数量，将赋予我们一种全新的视角来审视矩阵。本章将从二阶和三阶矩阵的行列式计算入手，逐步推广到n阶行列式的定义。我们将学习行列式的各种计算性质，例如行变换、列变换对行列式值的影响，以及如何利用代数余子式和拉普拉斯展开来简化计算。 行列式的核心意义在于它能够揭示矩阵的“可逆性”和“线性变换的面积/体积缩放因子”。我们将学习“伴随矩阵”和“逆矩阵”的概念，并理解行列式是否为零是判断矩阵是否可逆的关键。逆矩阵的应用将使我们能够直接求解形如 $Ax=b$ 的方程组，进一步丰富了我们求解线性方程组的方法。此外，行列式在几何上代表着线性变换在向量方向上所产生的面积（二维）或体积（三维）的缩放比例，这一几何直观理解对于掌握线性代数至关重要。 第四章：向量空间与子空间——结构的深入 在第一章对向量空间有了初步认识后，本章将对其结构进行更深入的探讨。我们将进一步理解“子空间”的概念，它是向量空间中的一个“迷你”向量空间，同样满足向量空间的公理。我们将学习如何判断一个集合是否为向量空间或子空间，并认识到由一组向量生成的“生成子空间”以及由线性无关向量构成的“线性无关子空间”。 本章的关键概念将是“基”和“维数”的推广。我们将学习如何找到一个向量空间的一组基，并理解任何向量在这个基下的表示是唯一的。维数将成为描述向量空间“大小”的最本质的度量。我们将深入理解“零空间”和“列空间”这两个重要的子空间，以及它们与矩阵秩的关系。这两个子空间的性质直接决定了线性方程组解空间的结构。 第五章：特征值与特征向量——洞察变换的本质 本章将把我们带入线性代数的核心应用领域，探讨“特征值”与“特征向量”。我们将理解特征值和特征向量是如何描述线性变换作用在特定方向上的“拉伸”或“压缩”效应，而这些方向恰好保持不变。我们将学习如何通过求解特征方程 $det(A-lambda I) = 0$ 来计算矩阵的特征值，并进一步通过 $(A-lambda I)v = 0$ 来求解对应的特征向量。 特征值和特征向量的计算虽然是本章的重点，但其真正的价值在于它们所揭示的内在规律。我们将学习“对角化”的概念，即寻找一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP$ 为一个对角矩阵。对角化不仅极大地简化了矩阵的计算（例如高次幂的计算），更揭示了矩阵所代表的线性变换可以被分解为一系列简单的缩放变换。本章还将触及“谱定理”等更高级的概念，它们在各种应用中具有深远的影响。 第六章：内积空间——度量与几何的融合 在本章中，我们将引入“内积”的概念，它为向量空间增加了“长度”和“角度”的度量。我们将学习内积的性质，以及如何通过内积定义向量的模长和两向量之间的夹角。这将使我们能够将线性代数的抽象概念与我们熟悉的欧几里得几何联系起来。 “正交性”将是内积空间中的一个重要主题。我们将学习如何构造“正交基”和“标准正交基”，并理解它们在简化计算和理论分析中的巨大优势。格拉姆-施密特正交化方法将是我们构造正交基的有力工具。此外，本章还将探讨“正交矩阵”及其性质，以及“最小二乘法”在拟合数据中的应用，这是一种在不精确测量或数据不完整时寻找最佳近似解的强大方法。 第七章：线性变换——映射的动态视角 本章将从“线性变换”的角度，再次审视矩阵的本质。我们将理解矩阵如何代表一个从一个向量空间到另一个向量空间的映射，且该映射保持向量的加法和标量乘法运算。我们将学习如何构造和表示线性变换，以及如何计算线性变换的核（零空间）和像（列空间）。 本章的重点将是“矩阵表示”的改变。我们将理解在不同的基下，同一个线性变换可能会有不同的矩阵表示。通过“相似变换”，我们可以将一个线性变换的矩阵转换为更容易分析的形式，这与第五章的对角化概念紧密相连。本章也将探讨线性变换在几何上的各种表现，如旋转、投影、剪切等，加深我们对线性代数在几何中的应用的理解。 结论 《线性代数》是一门既有深度又有广度的学科。它不仅仅是抽象的数学理论，更是连接理论与实践的坚实桥梁。通过对本课程的学习，读者将能够掌握一套强大的数学工具，解决从简单的方程组到复杂的科学工程问题。本书的编写力求循序渐进，从基本概念到高级理论，层层递进，并穿插丰富的例题和练习，帮助读者巩固所学知识。我们相信，掌握了线性代数，您将能够以一种全新的、更深刻的视角来理解和分析这个世界。
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