Algebraic Function Fields and Codes (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Henning Stichtenoth

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2008-12-05

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540768777

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

数学
代数
Math
Algebraic Function Fields
Coding Theory
Finite Fields
Algebraic Geometry
Number Theory
Graduate Texts in Mathematics
Mathematics
Pure Mathematics
Algebra
Error-Correcting Codes

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具体描述

代数函数域与编码理论：理论基石与应用前景导论代数函数域，作为抽象代数与几何分析的交汇点，为我们提供了一个强大的框架来理解和构建编码理论。本书深入探讨了代数函数域的精妙结构，并在此基础上，揭示了其在现代信息论和密码学中扮演的关键角色。本书旨在为研究生和研究人员提供一个扎实的理论基础，让他们能够驾驭这个充满活力且快速发展的研究领域。第一部分：代数函数域的理论基础本书首先建立代数函数域的严谨数学框架。我们将从基本的定义和性质出发，逐步深入到更高级的概念。域与域扩张：我们将回顾有限域及其基本运算，这是构建代数函数域的基石。随后，我们将探讨域扩张的概念，理解如何从一个域扩展到另一个域，以及这个扩张的次数、可分性等重要属性。函数域的定义与构造：详细介绍代数函数域的正式定义，即由超越基和一个关于该基的代数扩张所构成的域。我们将讨论不同类型的函数域，例如常数域为有限域的函数域，以及其与代数曲线的紧密联系。代数曲线与函数域的对应：这是本书的一个核心主题。我们将建立代数函数域与代数曲线之间的同构关系。函数域的元素可以被看作是代数曲线上亚纯函数的域，而曲线的几何性质则体现在函数域的代数结构中。这一对应关系为理解抽象的代数对象提供了直观的几何视角。除子与线性系统：在函数域的理论中，除子扮演着至关重要的角色。我们将介绍除子的概念，它是一种形式和（formalsum）的代数对象，用于衡量函数在曲线上不同点上的“极点”和“零点”的行为。线性系统则是一组函数的集合，它们具有相同的除子。我们将探讨除子类群、学位、以及李曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）——一个极其强大的工具，它描述了特定次数的除子所对应的线性系统的维度。微分形式与导数：我们将引入函数域上的微分形式，它们是度量函数域曲率和几何特性的工具。函数域的导数也得到研究，这与微积分中的概念相呼应，并为理解函数域的局部性质提供了工具。奇点与几何性质：函数域的某些性质，如奇点，反映了代数曲线的几何退化。我们将探讨如何通过函数域的代数结构来识别和理解这些几何退化。第二部分：代数函数域在编码理论中的应用在奠定了坚实的理论基础后，本书将重点转向代数函数域在纠错码领域的应用。纠错码的基本概念：回顾纠错码的基本原理，包括码字、编码、解码、汉明距离、最小距离等。介绍线性码、重复码、奇偶校验码等基本码型。代数几何码（AG码）：这是代数函数域应用于编码理论中最著名也是最重要的成果之一。我们将详细介绍AG码的构造方法，其核心思想是利用函数域上的除子和线性系统来定义码字。码的构造：解释如何选择一个函数域、一个常数域、一组点（或一个除子）以及一个线性系统来构造AG码。码的参数：分析AG码的长度、维度和最小距离，并展示如何利用李曼-罗赫定理来精确计算这些参数。 AG码的优越性：探讨AG码相比于传统码（如 BCH 码）在某些方面（如最小距离）的优势，以及它们在高码率或高效率应用中的潜力。其他函数域相关码：除了AG码，我们还将介绍其他与函数域相关的码族，探讨它们各自的构造方法和性质。解码算法：尽管AG码理论上性能优越，但有效的解码算法是其实际应用的关键。我们将介绍一些基本的解码策略，并指出当前在解码AG码方面面临的挑战和研究方向。应用领域：阐述代数函数域编码理论在实际中的应用，例如：通信系统：用于提高数据传输的可靠性，抵抗噪声干扰。数据存储：保护存储在介质上的信息免受损坏。密码学：作为构造某些抗量子攻击的密码系统的基础。其他交叉学科：探讨在物理学、生物信息学等领域的潜在应用。结论本书不仅提供了代数函数域的严谨理论，更重要的是揭示了其作为现代编码理论基石的深远意义。通过对代数函数域的深入理解，研究人员和工程师能够设计出更高效、更可靠的纠错码，从而在信息科学的各个领域推动技术进步。本书为读者提供了一条探索数学之美与工程应用相结合的宝贵路径。