Contact Manifolds in Riemannian Geometry (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:D. E. Blair

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:1976-05-06

价格:USD 26.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540076261

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

Riemannian geometry
Contact manifolds
Differential geometry
Topology
Manifolds
Mathematics
Lecture notes
Geometric analysis
Symplectic geometry
Global analysis

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具体描述

接触流形与黎曼几何的深度探索这本书深入探讨了接触流形这一现代微分几何中的核心概念，并将其置于黎曼几何的广阔框架下进行考察。接触流形是一类特殊的奇特流形，其上定义了一个高度结构化的“接触形式”，这种结构在物理学、拓扑学以及几何学的多个分支中都扮演着至关重要的角色。本书旨在为读者提供一个全面而细致的视角，去理解接触流形的基本性质、丰富的几何结构以及它们与黎曼几何之间深刻的联系。核心概念与结构全书伊始，作者便清晰地界定了接触流形的定义，即一个光滑流形上存在一个可处处非零的 1-形式 $eta$，使得在 $eta$ 的零核处定义了一个 $(2n-1)$ 维的分布 $D$，并且满足一个关键的“非退化”条件。这个分布 $D$ 构成了流形上的“切线子空间”，在接触几何中扮演着类似于黎曼几何中切空间的角色。本书将详细阐述这一基本定义的内在含义，以及如何从这个定义出发，构建起接触流形上的一系列基本几何对象。接触结构的内在几何性质，例如由接触形式诱导的 Reeb 向量场，以及与之相关的完备性、紧致性等概念，将得到详尽的分析。Reeb 向量场在接触流形上扮演着核心角色，它不仅定义了接触流形上的“流”，也为理解其全局性质提供了重要的工具。本书将深入研究 Reeb 向量场的性质，包括其与接触形式的相互作用，以及在不同类型的接触流形上的行为。黎曼几何的视角本书的一个显著特点是将黎曼几何的强大工具应用于接触流形的研究。作者将引入在接触流形上定义黎曼度量的概念，并探讨由此产生的几何结构。一个重要的方向是研究与接触结构相容的黎曼度量，即所谓的“Sasakian 度量”或更一般意义下的“平衡度量”。这些度量将接触流形的几何与经典的黎曼几何紧密联系起来，使得我们可以运用黎曼度量来理解接触流形的曲率、测地线以及其他重要的几何不变量。我们将详细介绍如何利用黎曼度量来计算接触流形的各种曲率张量，包括 Riccci 曲率、数量曲率等，并考察这些曲率与接触结构之间的关系。例如，Sasakian 流形与许多重要的黎曼几何对象（如爱因斯坦流形）有着紧密的联系，本书将对此进行深入的阐述。此外，本书还会探讨由黎曼度量诱导的接触流形上的测地线，以及它们在研究流形全局性质中的作用。重要结构与分类接触流形家族包含了许多重要的子类，本书将重点介绍其中的一些。例如，Sasakian 流形作为一类特殊的接触流形，其上存在一个与接触结构相容的特殊度量，使其具有丰富的几何性质，并与凯勒几何有着深刻的联系。本书将详细阐述 Sasakian 流形的定义、性质以及它们在微分几何中的地位。此外，准-Sasakian 流形作为 Sasakian 流形的一个更一般的推广，也将在本书中被提及。它们的结构虽然不如 Sasakian 流形那样严格，但也拥有一些有趣的几何特性。与拓扑学和分析的联系接触几何不仅仅局限于纯粹的几何范畴，它与拓扑学和分析学也存在着深刻的联系。本书将触及一些与接触流形相关的拓扑不变量，以及如何利用接触结构的分析性质来研究流形的拓扑。例如，接触流形上的Weinstein 同调和Floer 同调等同调理论，为理解接触流形的拓扑结构提供了新的视角，尽管本书的侧重点在几何，但也会对其进行适度的介绍，以揭示其更广阔的应用前景。研究方法与展望本书的叙述将以严谨的数学推导为基础，辅以大量的例子和图示，以帮助读者理解抽象的几何概念。作者将引导读者一步步掌握计算、证明和分析接触流形几何的各种方法。对于初学者而言，本书提供了一个坚实的基础，使其能够理解接触几何的核心思想。而对于已经熟悉黎曼几何的读者，本书将打开一扇通往更广阔、更具挑战性的接触几何世界的大门，并展示如何利用已有的知识体系来探索新的研究领域。本书最后将展望接触几何在理论物理（如弦理论、量子场论）和几何分析等前沿领域的潜在应用，激发读者进一步深入研究的兴趣。总而言之，这本书是一份关于接触流形及其与黎曼几何相互作用的详尽指南。它系统地介绍了接触流形的基本概念、关键结构，并强调了黎曼几何在理解和分析这些结构中的重要作用。通过对 Sasakian 流形等重要子类的深入探讨，以及对相关拓扑和分析联系的初步介绍，本书为读者提供了一个全面而深入的接触几何研究视角。