实分析中的反例 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:汪 林

出品人:

页数:515页

译者:

出版时间:1989

价格:4.55

装帧:

isbn号码:9787040000061

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《实分析中的反例》 这是一本旨在为数学爱好者、尤其是学习和研究实分析的学子们提供丰富素材的工具书。全书围绕实分析的各个核心概念，系统地呈现了大量精心构造的反例。我们深知，在严谨的数学推理中，理解一个概念的边界和局限性与掌握其正面定义同等重要。反例正是揭示这些边界、加深理解的利器。 本书的编写宗旨在于，通过具体的、形式化的反例，引导读者跳出直观的思维定势，认识到许多看似显而易见的性质在某些特殊情况下并不成立。这不仅有助于巩固对基础理论的理解，更能培养读者批判性思维和严谨的数学论证能力。 内容概述： 本书的结构紧密围绕实分析的经典脉络展开，涵盖了从集合论基础到测度论、勒贝格积分、函数空间等几乎所有核心主题。 第一部分：实数系的性质与序列、级数 实数系的完备性： 我们将展示一系列反例，说明不满足戴德金完备性或阿基米德性质的“数系”会带来怎样的理论上的混乱，以及为何实数系的完备性如此关键。 序列与级数： 针对收敛、发散、一致收敛等概念，本书提供了大量的序列和级数反例。例如，如何构造一个在每一点都收敛但其导数序列不一致收敛的函数序列；如何构造一个处处连续但处处不可导的函数。这些反例能帮助读者深入理解收敛的精妙之处，特别是区分逐点收敛与一致收敛的巨大差异。 函数的连续性与可导性： 除了处处连续但处处不可导的函数，我们还会探讨具有奇特连续性行为（如狄利克雷函数）或可导性行为（如不可导点集合的性质）的函数。这些反例将深刻揭示连续性和可导性在局部和全局上的复杂性。 第二部分：集合论基础与测度 可测集与不可测集： 这是实分析中一个极其重要的领域。本书将详细介绍勒贝格不可测集的存在性，并给出构造这类集合的经典方法。理解不可测集的存在，对于把握测度论的本质至关重要，也直接关联到函数的积分性质。 测度与测度空间： 我们将展示各种“病态”的测度，例如一些具有奇怪性质的测度（如非sigma-有限测度）在理论中的表现。通过这些例子，读者能更清晰地理解测度的基本性质（如可列可加性、单调性）的重要性，以及它们在定义积分和概率时所起的作用。 容度与维数： 本书也会触及一些更高级的概念，如豪斯多夫容度，并通过构造一些具有非整数维度的几何对象，展示其在度量几何中的应用和反直觉的特性。 第三部分：勒贝格积分 积分的可交换性： 积分与极限、微分的交换是许多分析定理的核心。本书将提供反例，说明在什么条件下这些交换是成立的，以及何时会失效。例如，积分号下取极限的各个定理（勒贝格控制收敛定理、单调收敛定理、Fatou引理），我们将通过反例来印证其条件的必要性。 积分与微分的交换： 针对微分算子与积分算子之间的交换问题，我们将构造复杂的函数，展示积分号下求导的困难之处，以及如何通过满足某些正则性条件来保障交换的成立。 Lp空间： 我们将探讨Lp空间的完备性，以及它们在泛函分析中的地位。通过构造一些“恰好”不属于某个Lp空间的函数，来体会Lp空间的几何特性和代数结构。 第四部分：傅里叶级数与泛函分析初步 傅里叶级数的收敛性： 傅里叶级数是一个充满反例的领域。我们将展示在不同条件下（如函数的积分可积性、平方可积性），傅里叶级数在不同意义下的收敛情况，特别是其一致收敛的困难性。例如，处处收敛但非一致收敛，甚至处处不收敛的傅里叶级数。 函数空间的性质： 本书将进一步探索各种函数空间的性质，如巴拿赫空间、希尔伯特空间的结构。通过构造具有特殊性质的函数，来理解这些空间的拓扑和代数特性，例如，不连续的线性泛函的存在。 本书的特点： 系统的反例梳理： 我们力求做到系统性，将反例按照实分析的主题章节进行组织，便于读者对照学习。 严谨的数学表述： 每一个反例都经过严谨的数学定义和证明，确保其准确性和可靠性。 深刻的解读与启发： 除了给出反例本身，本书还会对每个反例进行深入的解读，阐释其背后的数学思想，以及它对我们理解相关概念有何启发。 引导性思考： 在许多章节，我们会提出引导性的问题，鼓励读者自己去尝试构造反例，从而锻炼独立解决问题的能力。 本书的读者对象： 高等院校数学专业本科生和研究生。 从事数学教学和研究的教师和学者。 对实分析有浓厚兴趣，希望深入理解其精妙之处的自学者。 《实分析中的反例》不仅仅是一本罗列例子的书，它更是一扇窗，透过它，我们可以窥见实分析这座宏伟大厦深处那些隐藏的、意想不到的精妙之处。我们希望本书能成为您在实分析学习道路上的得力助手，帮助您更加深刻、全面地掌握这门迷人而严谨的学科。

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这本书的书名其实非常引人注目，我当初抱着“想看看那些经典理论在哪些边缘地带会失效”的好奇心翻开了它。坦白说，初衷是想找到一些刁钻的、能让我对现有知识体系产生颠覆性认识的例子。我印象最深的是关于测度论里那些“不那么友好”的集合构造，作者似乎特别热衷于展示那些在拓扑学里看似正常，但在勒贝格积分的框架下却显得格格不入的病态现象。比如，关于不可测集的构造，书中不仅仅是简单罗列了维塔利集这类教科书级别的例子，而是深入探讨了不同选择公理（比如依赖选择函数）对测度存在性的影响。我记得有一章花了大量篇幅讨论了博雷尔 $sigma$ 代数和勒贝格 $sigma$ 代数之间的微妙关系，通过一个精心设计的序列收敛问题，展示了函数极限和积分交换顺序时可能出现的陷阱。这部分内容要求读者必须对 $sigma$-有限性、完备性等概念有非常扎实的理解，否则很容易被那些看似微小的条件差异带入歧途。这本书的难度是实实在在的，它不是那种用来“快速入门”的教材，更像是为那些已经掌握了基础实分析，准备向更高阶泛函分析迈进的研究者准备的“反面教材”。

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读完这本书，我最大的感受是，作者对于“反例”的选取有着一种近乎偏执的系统性。它不像那种零散收集疑难杂症的随笔集，而更像是一部结构严谨的“故障排除手册”。我特别欣赏作者对“一致性”和“局部收敛”主题的处理。在傅立叶分析的部分，我原以为会看到大量关于狄利克雷核或吉布斯现象的讨论，但出乎意料的是，重点放在了那些几乎处处收敛，但在某些特定点上却完全“崩溃”的例子上。这迫使我重新审视了Dirichlet判别法和Abel判别法在无限区间上的适用边界。例如，书中构造了一个序列，它在几乎所有点上都收敛到一个光滑函数，但在一个特定的不可微点上却出现了震荡，这个例子完美地解释了为什么我们必须小心翼翼地处理点态收敛和一致收敛的区别，尤其是在处理微分算子时。这本书的价值在于，它没有满足于说“这是个反例”，而是细致地剖析了产生这个反例的根本结构性原因，让你在未来构建自己理论时，能够主动避开这些“陷阱”。

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这本书的叙事风格非常“冷峻”，几乎没有多余的修饰，一切都以数学语言为核心。对于一个习惯了带有幽默感或启发性比喻的教材的读者来说，这无疑是一种挑战。我记得在讨论Baire范畴定理的应用时，作者展示了如何利用它来证明连续函数空间中可微函数是稠密的，但这部分后续立刻紧接着一个反例，说明为什么在更广阔的空间中，这个结论会失效。这个对比手法非常高明。它不光是告诉你“这个定理有局限”，而是通过并置正例和反例，让你直观地感受到定理成立的“边界条件”究竟是什么。我个人认为，这本书最适合作为研究生阶段的第二本或第三本参考书。它要求读者不仅要会做题，更要懂得“质疑”定理。有些反例的构造过程极其繁复，涉及到大量的拓扑学工具，比如远离点、完备化等，但一旦理解了那个核心的“为什么”，你对实分析的理解会上升到一个全新的维度——不再是接受教科书上的定义和结论，而是开始主动探索这些结论的极限。

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这本书的阅读体验是**反直觉**的。它不是让你去背诵定理，而是让你去体验数学家在构建理论时所经历的挫折与顿悟。我记得在讨论良性函数（Well-behaved functions）的范畴时，作者似乎故意选择了一些那些在经典分析中被视为“良性”的函数类，然后通过构造一个异常复杂的序列，证明了它们在某些积分运算下会表现出极端的“病态”。这让我对“良性”这个词的含义产生了深刻的怀疑。作者似乎在不断地问：“你真的确定你理解了你所定义的每一个术语的全部含义吗？”这种持续的诘问，使得阅读过程充满了智力上的挑战和兴奋感。我不会向一个初学者推荐它，因为它很可能会打击学习的积极性；但对于一个渴望突破舒适区的进阶学习者来说，这本书简直是一剂强心针。它教你如何谦卑地面对数学的复杂性，教会你真正的严谨不是在于遵守规则，而是在于彻底理解规则之所以存在的原因。读完后，我感觉自己对分析的理解更加厚重，也更加灵活了。

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如果说传统教科书是教你如何搭好一座坚固的大桥，那么这本书就是告诉你，在什么风速、什么地基条件下，这座桥会瞬间垮塌。我尤其想提一下它在鞅论部分的反例处理。鞅的定义本身就充满了条件和约束，而作者则巧妙地利用了Martingale收敛定理（尤其是Doob的下上鞅收敛定理）的局限性。书中展示了一个序列，它似乎满足了所有必需的上鞅条件，但由于其状态空间过于庞大且不满足某些必要的测度假设，最终导致了不可避免的失败。这个例子让我深思了“有限性”和“可分离性”在随机过程中的真正重量。它不是说鞅论不好，而是揭示了在应用这些强大工具时，如果前提条件被略微破坏，后果可能是灾难性的。这本书的精妙之处在于，它让你感受到了数学结构的美感，同时也让你对这种美感背后的脆弱性保持敬畏。每一次读到新的反例，都像是在进行一次高风险的实验，成功理解了它，就等于成功地避开了一次理论上的“爆炸”。

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反例对抽象概念理解的帮助真的很大.

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