非线性泛函分析及其应用,第1卷,不动点定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:宰德勒

出品人:

页数:909

译者:

出版时间:2009-8

价格:99.00元

装帧:

isbn号码:9787510005190

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《非线性泛函分析及其应用（卷一）：不动点定理》 本书是“非线性泛函分析及其应用”系列的第一卷，专注于探讨泛函分析领域中一个极为重要且富有魅力的分支——不动点定理。不动点定理作为联系方程求解、优化问题、动力系统研究乃至许多其他数学和工程领域的关键桥梁，其理论深度与应用广度均不容忽视。本卷旨在系统地、深入浅出地介绍不动点定理的基本概念、核心理论、经典结果以及重要的推广形式，并辅以大量的应用实例，以期帮助读者构建扎实的理论基础，并掌握其解决实际问题的能力。 内容概览： 本卷的结构设计力求循序渐进，从基础理论出发，逐步深入到更高级的概念和技术。 第一部分：基础回顾与准备 集合与度量空间： 在进入泛函分析的抽象世界之前，我们首先回顾集合论的基本概念，并重点介绍度量空间及其重要的拓扑性质，如开集、闭集、收敛性、完备性、紧致性等。这些概念是理解后续泛函分析理论的基石。 赋范线性空间： 介绍赋范线性空间的概念，包括范数的性质，以及与之相关的完备性（巴拿赫空间）和紧致性。巴拿赫空间是许多不动点定理得以成立的重要框架。 连续性与紧致性： 复习连续映射和紧致集的定义与性质，尤其是在度量空间和赋范线性空间中的表现。理解这些概念对于把握不动点定理的条件至关重要。 第二部分：经典不动点定理 巴拿赫压缩映像原理（Banach Contraction Principle）： 作为不动点定理的开端，我们详细阐述巴拿赫压缩映像原理。它不仅是解决许多方程（如积分方程、微分方程）的最基本工具，而且其证明方法本身也具有启发性。我们将详细讨论其证明过程、存在唯一性结论，并探讨各种应用，包括数值计算中的迭代法。 不动点定理的推广与变体： 在巴拿赫压缩映像原理的基础上，我们将介绍一些重要的推广和变体，例如： Civin-Engle不动点定理： 讨论它如何放宽压缩条件，允许映象在某些子集上是压缩的。 Edelstein不动点定理： 介绍如何将压缩映射的条件放松到“近似压缩”的范畴。 Kannan不动点定理： 探讨其独特条件以及在特定类型映射中的应用。 布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed-Point Theorem）： 这是欧几里得空间中一个极其重要的定理，它断言在一个紧致、凸集上的连续自映射必定存在不动点。我们将深入分析其证明思路（通常涉及拓扑学的方法），并重点强调其在几何、经济学（如纳什均衡理论的某些证明）等领域的根本性意义。 利普希茨连续与局部压缩： 讨论更一般形式的映射，它们可能不是全局压缩，但在局部或满足特定条件时仍能保证不动点的存在。 第三部分：不动点定理的进阶理论 拓扑不动点理论： 这一部分将介绍不动点理论在拓扑学框架下的发展。 李-康托罗维奇不动点定理（Leray-Schauder Fixed-Point Theorem）： 这是非线性分析中最强大的工具之一，它适用于更广泛的映射，尤其是不必是压缩映射。我们将详细介绍其同伦（homotopy）思想，以及如何通过构造一系列逼近问题来证明不动点的存在。 度（Degree）理论： 介绍不动点理论中与度相关的概念，包括韦伊-布劳尔度（Wielandt-Brouwer degree）及其在判断不动点个数和性质上的作用。 球冠收缩定理（Ball Contraction Theorem）与Mönch不动点定理： 讨论这些定理如何处理非紧映射，通过引入“测度”（measure of non-compactness）来刻画映射的紧致性，从而在更一般的空间和映射类别中获得不动点定理。 第四部分：不动点定理的应用 常微分方程与偏微分方程： 演示如何利用不动点定理（特别是巴拿赫压缩映像原理和利普希茨条件）来证明初值问题、边值问题的解的存在唯一性。 积分方程： 详细分析Fredholm积分方程和Volterra积分方程如何转化为不动点问题，并应用不动点定理求解。 动态系统与稳定性分析： 探讨不动点在动力系统中的意义（平衡点），以及不动点定理如何用于分析系统的稳定性。 优化理论： 简要介绍不动点定理在某些优化算法（如投影梯度法）的收敛性分析中的作用。 博弈论： 讨论布劳威尔不动点定理在证明纳什均衡存在性中的理论价值。 其他应用领域： 简述不动点定理在其他学科（如控制理论、逼近论、概率论等）中的相关应用。 本书特色： 1. 理论严谨与逻辑清晰： 本书在保持数学严谨性的同时，力求逻辑清晰，每个定理的引入都有其数学背景和动机。 2. 由浅入深，循序渐进： 从度量空间和赋范线性空间的初步概念讲起，逐步过渡到抽象的拓扑不动点理论，确保读者能够逐步掌握。 3. 丰富的例题与习题： 每章都配有丰富的例题，生动地阐释抽象的理论概念，并提供不同难度层次的习题，帮助读者巩固所学知识。 4. 应用导向： 重点突出不动点定理在各个领域的应用，让读者深刻理解理论的实际价值，激发学习兴趣。 5. 语言精炼，避免冗余： 专注于核心概念和方法，力求用最简洁、最准确的语言进行阐述。 目标读者： 本书适合数学专业本科高年级学生、研究生，以及从事相关领域研究的科研人员和工程技术人员。对于希望深入理解非线性分析、学习求解各类方程和优化问题的读者而言，本书将是一份宝贵的参考资料。 通过本卷的学习，读者将不仅能够掌握不动点定理的核心理论，更能体会到它在解决复杂数学问题和工程挑战中的强大力量。

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关于不动点理论在特定分析中的应用部分，这本书的处理显得非常保守和理论化。它似乎有意避开了那些已经被成熟应用的领域，转而去探索一些更具边缘性和理论深度的扩张。比如，当提到关于非凸集上不动点存在性的讨论时，内容很快就转向了非常精妙的集合论基础，而非关注于如何通过更具构造性的方法来逼近这些不动点。对于那些期望这本书能提供一套解决实际非线性问题的“工具箱”的工程师或应用数学家来说，这本书无疑是令人失望的。它更像是一份对不动点理论本身进行精细雕琢的学术论文汇编，而不是一本面向广泛研究群体的综合性教材。你可能会学到关于某些高度专业化的拓扑度量下的不动点存在性证明，但你会发现这些证明的条件设置得极其苛刻，以至于在实际的数值模拟或物理建模中几乎无法被满足。这造成了一种强烈的认知失调：理论之美被极致展现，但其实用价值却被大大削弱了。

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这本《非线性泛函分析及其应用，第1卷，不动点定理》的书，说实话，对于初学者来说，简直就像是直接被扔进了深海里，完全没有一个循序渐进的过程。它似乎是默认读者已经对泛函分析的基础理论，比如巴拿赫空间、希尔伯特空间以及各种拓扑概念有着非常扎实的理解。书中的推导过程极其跳跃，很多关键步骤直接省略，好像作者认为这些都是不证自明的常识。举个例子，在引入一些复杂的度量空间性质时，前一页还在铺垫基础概念，下一页就直接开始证明一个涉及稠密性、完备性和紧致性的复杂不等式，中间的逻辑链条完全需要读者自己去补全。这种写法对于那些试图通过阅读教材来建立完整知识体系的人来说，无疑是巨大的挑战，搞不好就会在某个晦涩的角落里迷失方向，然后对整个非线性分析领域产生畏惧感。我感觉这本书更像是为那些已经拥有深厚背景、只需要一本参考手册来查阅特定定理的资深研究人员准备的。它缺乏足够的直观解释和应用案例来支撑那些抽象的理论结构，读起来枯燥且费力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号系统，坦率地说，非常具有“学院派”的特征，对习惯了现代出版规范的读者来说，阅读体验算不上友好。大量使用希腊字母和花体字母来区分不同的函数空间和算子，如果一次性出现超过四个不同类型的空间，大脑的负荷会瞬间飙升。更要命的是，书中对术语的定义和引用似乎是基于非常早期的文献，有些现代教材中已经标准化了的符号约定在这里却找不到对应的清晰标注。我花了不少时间去核对，这个上标“†”究竟代表着“连续性”还是“紧并集”的某种特殊限制，因为作者在不同的章节对同一符号赋予了略微不同的侧重点。对于依赖快速检索和清晰图表的现代读者而言，这种内嵌式的定义结构使得查找和回顾特定细节的效率极低。可以说，这是一本需要你沉下心来，用笔和纸进行大量笔记整理，才能勉强驾驭的“硬核”文本。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，如果用一个词来形容，那就是“去人性化”的。句子结构冗长且复杂，常常一个观点需要用一个包含多重从句的长句来表达完毕，这使得在理解句子主干时需要反复回溯。没有一句多余的“闲聊”，没有一个旨在激励读者的比喻，更别提任何历史背景的介绍，让你知道这些伟大的定理是如何在历史长河中被一步步孕育出来的。一切都是赤裸裸的逻辑陈述，仿佛作者是在向一个机器输出指令。我尝试寻找一些能够激发学习兴趣的切入点，比如某个定理背后是否有某个著名数学家在解决某个具体难题时的灵感闪现，但这些“人味”的元素在书中完全缺失。这种纯粹的逻辑流让人感到枯燥，它要求读者必须以一种近乎冥想的状态去消化信息，否则稍有分心，整个论证的脉络就会断裂。读完一章，需要的不是知识的积累，而是精神上的彻底休整。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，与其说是在学习，不如说是在进行一场智力上的拉锯战。它的行文风格极其严谨、甚至可以说是冷峻，每一个符号的引入都必须是精确无误的，不容许任何模糊地带。这种严谨性在纯数学领域是优点，但放在应用导向的教材中，就显得过于刻板了。我特别留意了关于各种不动点定理（如巴拿赫不动点定理、Schauder不动点定理等）的阐述部分，它们被包裹在厚厚的拓扑绝缘层之下。作者似乎更关注定理的普遍性和抽象结构，而不是它们在微分方程、变分法或者控制论中的实际操作价值。例如，书中对紧致性假设的讨论非常深入，但在如何构造一个满足这些条件的实际问题时，笔墨明显不足。结果就是，读者能够证明“存在性”，却很难想象这个存在性是如何在物理世界或工程问题中显现出来的。我希望看到更多将抽象数学语言“翻译”成实际问题的例子，但这本教材完全没有提供这种翻译服务，让人感觉理论和实践之间有一道难以逾越的鸿沟。

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看到连续性方法那章，为什么不正式讲Nash-Moser呢，拓扑度也看了，很强力

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