Contemporary Abstract Algebra/Answer Key pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:D C Heath & Co

作者:Joseph A. Gallian

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1990-06

价格:USD 2.67

装帧:Paperback

isbn号码:9780669194982

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《当代抽象代数》学习指南：掌握现代代数核心概念的全面解析 引言 代数，作为数学的基石之一，其抽象层面的探索构成了现代数学的广阔图景。《当代抽象代数》以其深入浅出的叙述和严谨的数学逻辑，为读者构建了一座通往抽象代数核心概念的坚实桥梁。本书旨在不仅传授代数结构（群、环、域）的定义和基本性质，更着重于培养读者运用这些工具解决实际问题的能力，并理解它们在更广泛数学领域中的地位。 本书的结构设计体现了循序渐进的教学理念。它从读者相对熟悉的初等代数概念出发，逐步引向对对称性、同态、商结构等更深层次抽象概念的理解。不同于某些过于理论化或过于侧重计算的教材，本书在平衡理论深度与教学实用性方面做得尤为出色。它以清晰的论证和丰富的实例，确保即便是初次接触抽象代数的学习者也能稳步前进。 第一部分：群论的基石——对称性与结构 本书的开篇聚焦于群论 (Group Theory)，这是抽象代数中最基础且应用最广泛的领域。群的概念，源于对对称性（例如几何变换、置换）的数学描述，被赋予了四条简洁而强大的公理：封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性。 对称性的初步探索：作者首先通过对有限群的详细分析，引入了阶 (Order) 的概念，并深入讨论了循环群 (Cyclic Groups)。循环群是理解所有群结构的基础，任何群的子群结构都可以通过与循环群的比较来理解。 子群与陪集：理解一个群的内部结构，必须探究其子群 (Subgroups)。本书详尽地阐述了子群的判定定理，并引入了陪集 (Cosets) 的概念。陪集是理解拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem) 的关键前奏，该定理以简洁的方式限定了有限群子群的阶数，是群论中最为重要的定理之一。 同态与同构：抽象代数的威力在于其能够揭示不同结构之间的深层联系。群同态 (Group Homomorphisms) 描述了保持群运算的映射，而群同构 (Group Isomorphisms) 则表明两个群在本质上是相同的。本书对核 (Kernel) 和像 (Image) 的讨论，为后续理解更抽象的结构提供了必要的工具。 正规子群与商群：商群的构造，即商群 (Quotient Groups) 或因子群，是群论中最具洞察力的概念之一。它允许我们将一个群“模去”一个特定的结构（正规子群），从而获得一个结构更简单但保留了关键信息的代数对象。对正规子群的定义和判定被置于核心地位，并辅以第一同构定理 (First Isomorphism Theorem)，该定理将同态、核与商群联系起来，是理解代数结构分解的关键。 生成元与有限群的应用：本书随后转向更具体的应用，探讨了生成元 (Generators) 的概念，并对有限阿贝尔群的结构进行了深入分析。对于非阿贝尔群，则通过对二面体群 ($D_n$) 和对称群 ($S_n$) 等经典群的剖析，展示了抽象理论在具体对象上的实现。 第二部分：环论——广义算术的框架 在掌握了群论之后，本书自然地过渡到了环论 (Ring Theory)。环是同时具备加法和乘法运算的代数结构，它提供了对整数、多项式乃至矩阵等算术系统的抽象封装。 环的定义与基本性质：从最基本的定义出发，本书探讨了交换环、单位环、整环 (Integral Domains) 和域 (Fields) 之间的关系。域，特别是有理数域 ($mathbb{Q}$)、实数域 ($mathbb{R}$) 和复数域 ($mathbb{C}$)，是代数研究的终极目标之一，理解它们作为特殊环的性质至关重要。 子环与理想：类似于群中的子群，环中的子环 (Subrings) 描述了环的内部结构。更具代数深度的概念是理想 (Ideals)。理想在环论中的作用类似于正规子群在群论中的作用，是构造商环 (Quotient Rings) 的基础。本书细致地解释了主理想、素理想和极大理想的区分及其重要性。 环同态与同构定理：环的同态和同构的概念与群论中的概念相互呼应，但必须同时保持对加法和乘法的结构。环的同构定理，特别是第一同构定理，再次出现，强调了代数结构分解的普适性。 多项式环：多项式环 ($ ext{R}[x]$) 是环论中最重要的实例之一，尤其当 $ ext{R}$ 是一个域时。本书详细讨论了多项式环上的除法算法、最大公约数以及唯一分解整环 (UFDs) 的概念。对 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）的研究，为伽罗瓦理论等高等主题奠定了基础。 第三部分：域论的拓展与应用 本书的第三部分将焦点集中在域论 (Field Theory)，这是对代数结构进行分类和求解方程组的关键所在。 域的扩张：域论的核心是域扩张 (Field Extensions)。通过将一个域 $F$ 扩展到一个包含 $F$ 的更大域 $E$（记作 $E/F$），我们可以研究新域中元素的性质。代数扩张 (Algebraic Extensions) 与超越扩张 (Transcendental Extensions) 的区分是本章的重点。 代数元与极小多项式：代数元 (Algebraic Elements) 是指某个多项式的根的元素。本书详细介绍了如何构造极小多项式 (Minimal Polynomial)，该多项式是定义扩张次数和扩张性质的核心工具。 构造性几何与不可约性：域扩张理论直接回答了古希腊三大几何作图难题（倍立方、三等分角、化圆为方）的不可解性。通过引入不可约多项式 (Irreducible Polynomials) 和伽罗瓦理论 (Galois Theory) 的基本思想，本书展示了代数如何精确地界定“可构造性”的极限。 结论：抽象代数的宏大视野 《当代抽象代数》不仅是一本描述代数结构的教科书，更是一部展示数学统一性的著作。从群论的对称性、到环论的算术拓展、再到域论的方程求解极限，本书将看似分离的数学分支有机地编织在一起。它要求读者投入精力进行严谨的逻辑推理，但作为回报，读者将获得一套强大的、能够深入解析数学世界本质的思维工具。本书的价值在于，它提供的知识框架不仅服务于代数本身的深入研究，更是通往拓扑学、代数几何、甚至理论物理学等前沿领域不可或缺的理论基础。

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我用过好几本代数教材，但这本书在“连贯性”和“完整性”上给我的印象最为深刻。它不像有些书籍那样，知识点东拼西凑，缺乏内在的逻辑线索。阅读这本书时，我有一种强烈的被“带着走”的感觉，仿佛作者事先已经规划好了一条最优的知识传输路径。章节间的过渡极其自然，你会发现，今天学到的结论，往往是昨天某个看似不相关的定理的直接推论。这种高度的内在一致性，极大地增强了阅读的沉浸感。而且，书中提供的习题设计也极具匠心，它们不是简单的重复计算，而是真正考验你对概念理解程度的“小挑战”。有些习题的设置甚至比课本正文更有启发性，它们是检验自己是否真正掌握了当前章节核心思想的试金石。这本书的价值不在于你翻了多少页，而在于你思考了多少个“为什么”。

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这本书的封面设计简直是视觉盛宴，那种大胆的几何图形和色彩碰撞，一下子就把你拉进了抽象代数的奇妙世界。我拿起它的时候，首先感受到的就是那种沉甸甸的质感，感觉里面装载了太多值得探索的知识。内页的排版布局也相当人性化，公式和定理之间的留白处理得恰到好处，读起来一点也不觉得拥挤和压抑。特别是那些复杂的证明过程，作者似乎非常善于将枯燥的数学语言转化为清晰易懂的逻辑链条，即便是初学者也能找到循序渐进的路径。我个人非常欣赏书中对抽象概念的具象化解读，比如在阐述群论的结构时，作者会巧妙地引用一些生活中的例子作为类比，这极大地降低了理解门槛。整本书拿在手里，就好像握着一把通往更高维度数学思维的钥匙，让人忍不住想立刻翻开扉页，一探究竟。它不仅仅是一本教材，更像是一件精心打磨的艺术品，放在书架上都显得格调不凡。

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这本书的整体风格透露着一种冷静而强大的学术气质，但绝不是高高在上的说教。它更像是一位经验丰富的导师，用最精确的语言，为你拆解那些看似无法穿透的数学迷雾。我尤其喜欢它对“对称性”这一核心思想在不同代数结构中体现的讨论。这种宏观视角，使得原本分散的群、环、域等概念，在我脑海中开始形成一个有机的整体。它成功地将初等代数中的直觉，提升并抽象化到了更广阔的领域。这本书不是让你应付考试的工具书，它是培养你数学“语感”和“直觉”的基石。读完后，我感觉自己看待数学问题的角度都变得更加开阔和深刻了，不再满足于表面的运算，而是开始追问其背后的根本原理。这是一部值得反复研读、常读常新的经典之作。

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读这本书的体验，简直像经历了一场精心编排的思维探险。我特别喜欢它在引入新概念时的那种严谨又不失启发性的引导方式。它不是直接抛出定义，而是先构建一个需要解决的问题背景，让你带着好奇心去发现“为什么需要这个工具”，这种“问题驱动”的学习模式，远比死记硬背来得有效得多。例如，在讲解环论的核心思想时，作者花了大量的篇幅去铺垫，从整数环的特性到多项式环的构建，每一步都走得踏实而有力，让人感觉每一步的推导都是水到渠成的必然结果。我发现自己常常在思考一个定理的证明时，会不自觉地停下来，去回味前面某个不起眼的引理是如何在这里发挥关键作用的。这种“结构感”的培养，才是真正的高级数学教育。它教会的不仅是“是什么”，更是“为什么是这样”。对于那些真正想深入理解代数核心思想的读者来说，这本书无疑提供了无与伦比的深度和广度。

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这本书的难度曲线设置得非常精妙，体现了作者深厚的教学功底。它不是那种让你一上来就望而却步的“天书”，反而是步步为营，稳扎稳打。初期的章节，语言相对平易近人，主要目的是建立读者对基本代数结构（如集合、映射）的直观感受。但随着深入，你会明显感觉到挑战性的提升，比如在伽罗瓦理论的阐述部分，你会需要付出更多的专注力和时间。然而，即便是最艰深的章节，作者也总能提供恰到好处的例子来锚定抽象的概念。我特别欣赏它对“反例”的重视，很多时候，一个好的反例比一千个正例更能帮助我们理解定义的边界和局限性。这本书的价值在于，它迫使你从二维的计算思维跃升到三维的结构思维，让你开始关注那些隐藏在数字和符号背后的深刻联系。对于正在准备专业考试或者希望进行更深入研究的数学爱好者而言，这本书的份量无可替代。

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