Geometria diferencial de curvas y superficies/ Differential Geometry of the Superficial Curves (Span pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Alianza Editorial Sa

作者:Manfredo P. Do Carmo

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2007-06-30

价格:USD 80.95

装帧:Paperback

isbn号码:9788420681351

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 微分几何
• 曲线
• 曲面
• 西班牙语
• 数学
• 高等数学
• 几何
• 表面
• 教材

现代拓扑学基础：从流形到同调群 本书聚焦于现代数学分析与几何学的前沿领域——拓扑学，旨在为读者提供一个全面、严谨且富有洞察力的入门指南。 本书的构建基于一种循序渐进的教学理念，从最直观的几何直觉出发，逐步过渡到抽象、严密的代数结构，最终触及当代数学研究的核心工具。我们深知，拓扑学的魅力在于其能够揭示空间在连续形变下保持不变的本质属性，而实现这一目标的关键在于代数工具的应用。 第一部分：拓扑空间的构造与基本概念 (The Construction of Topological Spaces and Fundamental Concepts) 本部分作为全书的基石，致力于为读者打下坚实的拓扑学基础。我们不会急于引入复杂的代数结构，而是首先关注“空间”的定义本身。 第一章：度量空间与拓扑的引入 我们从熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，回顾度量空间的定义，以及由度量诱导出的开集、闭集和邻域的概念。随后，我们将拓扑学的核心思想——“拓扑结构”——进行正式的定义。一个集合上的拓扑是开集的集合族，它必须满足特定的公理（空集、全集、开集的交集与并集的性质）。我们详细探讨了如何从一个度量、一个基（Basis）或一个序关系来构造拓扑，并对比了不同构造方法所产生的拓扑空间的性质差异。 第二章：连续性与拓扑性质的保持 连续函数的定义是拓扑学的核心。我们严格定义了拓扑空间之间的连续映射，并展示了连续性在拓扑结构下如何保持不变。紧接着，我们引入了保持拓扑结构的重要概念：同胚（Homeomorphism）。我们将同胚视为拓扑等价的严格数学表达，并展示了如何利用不变性（如连通性、紧致性）来证明两个空间不是同胚的。 第三章：连通性与路径连通性 连通性是空间“为一个整体”的直观描述。我们区分了连通空间与路径连通空间，并分析了它们之间的关系。书中深入讨论了连通分支和路径连通分支的概念，并通过实例（如扇形集合、不规则子集）展示了非路径连通但路径连通的空间的例子。我们探讨了连续映射如何保持连通性，并引入了分离公理（Separation Axioms），特别是豪斯多夫性质（Hausdorff Property），强调了该性质在保证“点可以被分离”方面的重要性。 第四章：紧致性（Compactness） 紧致性被誉为拓扑学中最深刻的概念之一。我们首先从有限开覆盖的定义出发，详细阐述了 Heine-Borel 定理（在有限维欧氏空间中）的意义，并将其推广到一般的拓扑空间。我们证明了紧致集的闭子集仍然是紧致的，紧致集的连续像仍然是紧致的。此外，我们还探讨了紧致性在分析学中的应用，例如极值定理。 第二部分：构造代数不变量——基本群与覆盖空间 (Constructing Algebraic Invariants: Fundamental Group and Covering Spaces) 本部分将视角从空间本身转移到其“代数影子”，即通过构造群论工具来区分拓扑空间。 第五章：基本群（The Fundamental Group） 基本群是拓扑学中第一个真正强大的代数不变量。我们首先定义了道路（Paths）和道路类的概念，随后引入了“基于一点的道路群” $pi_1(X, x_0)$。本书详细分析了群运算（道路的连接）的定义及其性质。我们证明了 $pi_1(X, x_0)$ 的结构与基点 $x_0$ 的选择无关，即它仅依赖于空间 $X$ 的同伦类。 通过大量实例（如圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$、圆环 $T^2$），我们计算并解释了这些空间的代数结构，特别是 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的深刻意义。我们还讨论了商空间（Quotient Spaces）的基本群计算，并引入了同伦等价的概念。 第六章：覆盖空间与单连通性 覆盖空间理论是理解基本群的关键。我们首先定义了纤维丛（Fiber Bundle）的概念，并严格定义了覆盖映射（Covering Map）。我们重点分析了简单连通空间（基本群为零的空间）的特性，并引入了“提升（Lifting）”的概念，即在基空间中定义一条道路，如何在覆盖空间中找到与之对应的唯一路径。 第七章：布劳尔不动点定理与霍普夫定理 在掌握了基本群后，我们将首次应用它来证明分析几何中的经典定理。我们利用 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的性质，严格证明了著名的 Brouwer 不动点定理（在二维情况下）。我们还探讨了全纯映射（Holomorphic Mappings）和霍普夫定理（Hopf's Theorem）的拓扑推论，展示了如何使用代数工具来限制复分析中的可能性。 第三部分：同调群的引入：更精细的代数结构 (Introduction to Homology Theory: Finer Algebraic Structures) 为了解决基本群难以计算的许多空间（如高维球面 $S^n, n>1$），本书引入了链复形和同调理论。 第八章：链复形与边界算子 我们从组合拓扑的角度出发，定义了单纯形（Simplices，包括 0-单纯形、1-单纯形、2-单纯形等）的概念。随后，我们构建了链群 $C_n(X)$，这是一个自由阿贝尔群，其生成元是 $n$-单纯形。在此基础上，我们定义了边界算子 $partial_n$，并证明了其关键性质：$partial_n circ partial_{n+1} = 0$，即“边界的边界是零”。 第九章：同调群的定义与几何意义 基于前一章的结果，我们定义了同调群 $H_n(X)$ 为“循环群”（Cycles，核 $ ext{Ker}(partial_n)$）模去“边界群”（Boundaries，像 $ ext{Im}(partial_{n+1})$）。我们详细解释了 $H_0(X)$ 与连通分支的关系，$H_1(X)$ 与基本群的关系（即 Hurewicz 定理的初步讨论）。 第十章：迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence） 这是计算复杂空间同调群的最有力工具之一。我们介绍了如何通过对空间进行分解 $X = A cup B$，构造出一个长正合序列，将 $H_n(X)$、 $H_n(A)$、$H_n(B)$ 和 $H_n(A cap B)$ 联系起来。通过计算著名的球面 $S^n$ 和环面 $T^2$ 的同调群，读者将直观理解该序列的强大威力。 结论：拓扑学的展望 本书的最后一部分简要概述了微分拓扑学和代数拓扑学中更高级的主题，例如纤维丛上的上同调理论（De Rham Cochain Complex）和流形（Manifolds）的结构，为有志于继续深造的读者指明方向。 本书特色： 严谨性与直观性的平衡： 确保所有定义和证明的严密性，同时辅以大量的几何实例和可视化解释。 代数工具的聚焦： 强调基本群和同调群作为区分拓扑空间的代数语言的核心地位。 案例驱动： 大量使用圆周、球面、环面等经典案例进行计算，帮助读者掌握计算技巧。 本书适合数学系本科高年级学生以及对几何学和抽象代数有浓厚兴趣的研究人员阅读。阅读本书前，建议读者具备群论和基础线性代数知识。

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阅读体验上，这本书简直是为那些渴望深入挖掘理论根基的读者量身定做的。它避开了许多入门教材中那种过于简化的、为了“快速上手”而牺牲深度的处理方式。相反，作者仿佛是一位经验丰富的老教授，他知道哪些细节是必须在第一遍学习时就建立起来的坚实地基。关于黎曼曲率张量的引入，处理得极其细致入微，从联络的定义到协变导数的构建，每一步都经过了精心的打磨。我发现自己常常停下来，不是因为不理解，而是因为被作者对数学美感的精准把握所吸引。书中的排版和符号运用也体现了极高的专业水准，虽然是西班牙文版本，但数学符号的通用性使得阅读障碍几乎不存在，只是偶尔需要查阅一些术语的精确中文对译，但这完全是知识获取过程中的微小代价。这本书的难点在于其内在的连贯性，一旦你跟上了作者的节奏，你会发现整个微分几何的知识体系如同一个宏伟的建筑，结构完整，逻辑自洽。它不是那种可以随意翻阅的工具书，而是一部需要时间去沉浸、去消化的学术著作，非常适合作为一门高级课程的指定教材，能够确保所有学生都站在同一个高水平的起点上。

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这本书的整体氛围是严肃而充满探索精神的，它不是那种轻松愉快的“下午茶读物”，而更像是探险家手中标记着未知领域的古老地图。作者在讨论曲面的整体性问题时，比如高斯绝妙定理的更广阔的意义，以及曲率如何决定一个流形的基本结构时，文字中流露出一种近乎诗意的敬畏感。虽然书中涵盖了大量的经典内容，但其结构安排却充满了现代的组织性，章节间的过渡极为平滑，使得看似庞大的知识体系变得井然有序。我注意到，作者对“测地曲率”的定义和应用有着特别的侧重，这在我阅读过的其他教材中是不多见的深度，它强调了曲线内在的运动规律，而非仅仅依赖于外部嵌入空间。这本书的难度绝对不是为了炫技，而是源于它对所研究对象的复杂性本身所必须付出的精确性。对于任何希望将微分几何作为自己研究工具的人来说，这本书提供了一个无可替代的、坚实且优雅的起点，它教会你如何思考几何，而不仅仅是如何计算几何。它的价值，在于它为你打开了一扇通往纯粹几何世界的大门。

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这本关于微分几何的书籍简直是一场思维的盛宴，它以一种极其严谨而又充满洞察力的方式，将读者带入了曲线与曲面的奇妙世界。作者在开篇就设定了一个相当高的基调，毫不含糊地深入探讨了基础概念，比如测地线、曲率以及它们在欧几里得空间中的直观体现。我特别欣赏作者在引入抽象概念时所展现出的耐心和清晰度，他并没有急于求成，而是通过一系列精心构造的例子，确保读者能够真正理解这些概念背后的几何意义。例如，在讨论第二基本形式时，作者的推导过程逻辑缜密，每一步的假设和结论都交代得清清楚楚，这对于初学者来说无疑是一剂强心针。更难能可贵的是，本书不仅仅停留在理论的堆砌上，它巧妙地穿插了历史背景和实际应用的小插曲，使得原本可能枯燥的数学推导过程变得生动起来，仿佛能看到高斯、黎曼等巨匠在历史长河中探索真理的身影。虽然某些章节对于非数学专业背景的读者来说可能需要反复研读，但这种挑战性恰恰是衡量一本优秀教材的标准之一，它迫使你调动起所有的逻辑和直觉去与之抗衡，最终收获的理解是深刻而持久的。这本书无疑是数学系高年级学生和研究生手中不可或缺的利器，它不仅教授了知识，更培养了严谨的数学思维方式。

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对于一个已经有一定微积分和线性代数基础的读者来说，这本书的价值在于它提供了一种“去神秘化”的途径。它没有将微分几何视为一种高不可攀的艺术，而是将其还原为一套基于严密定义的、可操作的数学工具。作者在处理曲面参数化时的自由度和约束条件时，展现了极高的驾驭能力，他清晰地解释了为什么某些参数选择在计算特定几何量时会带来不必要的复杂性，并引导读者自然地转向更自然的坐标系，比如主曲率坐标。这不仅仅是技巧的传授，更是思维方式的塑造。书中对于曲面上的张量运算的阐述尤其精彩，它将抽象的张量符号与具体的微分算子紧密结合，使得张量不再是空洞的指标游戏，而是具有明确物理或几何意义的实体。这本书的习题部分设计得非常巧妙，大部分习题都不是简单的计算验证，而是要求读者对某一理论点进行深入的推导或构造反例，这极大地锻炼了读者的“几何直觉”。可以说，读完这本书，你对“空间如何弯曲”的理解将会发生质的飞跃，它不再是二维平面的延伸，而是充满了内在联系的复杂结构。

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这本书的叙事风格极其内敛而富有张力，它很少使用花哨的语言来吸引眼球，而是依靠纯粹的逻辑力量来征服读者。在我看来，这更像是一部数学哲学著作的早期草稿，而非一本单纯的教科书。作者对等距变换群和李群在曲面分类中的作用进行了精妙的论述，这一点在许多同类书籍中往往是一笔带过或者放在附录中的内容，但在这里，它被提升到了核心地位，展示了几何结构内在的对称性之美。特别值得称赞的是，作者在介绍Willmore泛函和曲面弯曲的能量最小化问题时，展示了纯粹的微分几何如何无缝连接到变分法和物理学的前沿。这种跨学科的视角极大地拓宽了本书的适用范围，它不再仅仅是数学系的专属，对于理论物理学家或几何分析方向的研究者来说，这本书提供了坚实而优雅的数学基础。虽然我个人对某些拓扑学的预备知识感到稍有吃力，但作者在脚注中给出的参考书目非常到位，为进一步的深入学习指明了方向，体现了作者的责任心和对读者学习路径的充分考量。

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