Iterative Methods in Scientific Computing pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Golub, Gene 编

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:1997-04

价格:USD 71.95

装帧:Paperback

isbn号码:9789813083080

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 迭代法
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• 算法

《计算科学中的迭代方法》图书简介 一部面向现代科学与工程挑战的权威指南 在当今科学研究与工程实践的广阔领域中，无论是模拟复杂的物理现象、优化庞大的系统配置，还是处理海量数据背后的深层规律，求解数学模型所导出的方程组——尤其是那些维度极高、结构复杂的非线性系统或偏微分方程——都是不可或缺的核心步骤。本书《计算科学中的迭代方法》正是为应对这些核心挑战而精心编撰的权威性专著。它深入剖析了支撑现代数值计算的迭代算法的理论基础、设计原理、收敛性分析及其在实际应用中的高效实现策略。 本书的视角超越了对单一算法的简单介绍，而是致力于构建一个完整、连贯的迭代方法理论体系，强调算法之间的内在联系、适用场景的辨析，以及如何根据具体问题的特性来定制或改进方法。 --- 第一部分：基础理论与线性系统的迭代求解 本部分为后续所有高级主题奠定了坚实的数学基础，并专注于解决计算科学中最常见且最基础的问题——大型稀疏线性系统的求解。 第一章：数值计算的迭代范式与误差分析 本章首先确立了迭代方法的地位，阐明了为什么在处理大型问题时，直接法（如高斯消元法）因其计算复杂度（通常为$O(n^3)$）和内存需求而不再可行。我们详细介绍了迭代法的基本框架：初始猜测、残量计算、子空间迭代以及收敛判据的建立。重点放在误差的局部和全局收敛率的度量上，包括线性收敛、超线性收敛和二次收敛的数学定义及其对实际计算效率的影响。 第二章：经典迭代方法：稳定与局限 本章系统回顾了求解标准线性系统 $Ax=b$ 的经典迭代法。详细分析了雅可比（Jacobi）方法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法的代数结构、收敛条件（依赖于矩阵 $A$ 的性质，如对角优势性）以及其在现代并行计算环境中的局限性。我们深入探讨了这些方法为何在特定矩阵结构下仍然具有理论价值，并引入了松弛技术（Relaxation Techniques），如逐次超松弛（SOR）方法，分析了最优松弛因子 $omega$ 的选择如何显著加速收敛过程。 第三章：Krylov 子空间方法的核心理论 Krylov 子空间方法是现代大规模数值计算的基石。本章从理论上构建了 Krylov 子空间 $mathcal{K}_m(A, r_0) = ext{span}{r_0, Ar_0, A^2r_0, dots, A^{m-1}r_0}$ 的概念，并证明了任何最优迭代解都可以被构造为在当前 Krylov 子空间内最小化残差的近似解。 1. 极小化原理与 Arnoldi 迭代： 详细推导了 Arnoldi 迭代过程，该过程用于构造一个正交基来展开 Krylov 子空间。我们着重分析了上 Hessenberg 矩阵的生成，并解释了为什么该方法是求解非对称矩阵系统的通用基础。 2. Lanczos 迭代： 针对对称正定（SPD）矩阵，推导了 Lanczos 过程，该过程将 Arnoldi 过程简化为三对角矩阵的迭代，极大地降低了计算量并保证了基的正交性。 第四章：主流 Krylov 子空间求解器 基于 Arnoldi 和 Lanczos 过程，本章介绍了实际应用中最广泛的求解器： 共轭梯度法（CG）： 针对 SPD 系统，CG 法是最高效的迭代求解器之一。我们深入剖析了其利用共轭方向来保证残差向量正交性的机制，并证明了其在 $n$ 步内收敛的理论特性。 双共轭梯度法（BiCG）及其变体： 针对非对称系统，详细介绍了 BiCG 的构造及其对偶过程。重点分析了 BiCG 容易出现的不稳定的双正交性问题，并以此为动机，介绍了准最小残量法（QMR）和双共轭梯度稳定法（BiCGSTAB）——后者是目前求解非对称问题的首选标准迭代器之一。 --- 第二部分：预处理技术——提升迭代效率的艺术 本部分强调，无论迭代算法本身多么优越，若不对矩阵进行适当的预处理，其性能在大规模问题面前将是灾难性的。预处理的目的是通过相似变换，构造一个使得求解器收敛更快的系统。 第五章：预处理器的理论基础与分类 预处理器的核心思想是将原系统 $Ax=b$ 转化为一个等价的系统 $M^{-1}Ax = M^{-1}b$，其中 $M$ 是一个“好逆”矩阵，接近于 $A$ 但易于求解。本章明确了预处理器的分类：左预处理、右预处理和双预处理。收敛加速的数学解释集中在变换后矩阵 $ ilde{A} = M^{-1}A$ 的特征值分布上——目标是使特征值聚集，缩小谱半径。 第六章：代数预处理器（Algebraic Preconditioners） 这类预处理器仅依赖于矩阵 $A$ 的代数结构，不需要关于底层物理问题的先验知识。 1. 分块与稀疏因子分解： 详细分析了不完全 LU 分解（ILU）和不完全 Cholesky 分解（IC）的构造过程。重点讨论了如何通过控制因子 $L$ 和 $U$ 中非零元素的填充（Fill-in）量来平衡分解的精度与计算成本。 2. 填充控制策略： 深入探讨了 ILU(p) 级别，即限制分解中非零元素填充度为 $p$ 阶的策略，并分析了它对内存和计算时间的影响。 3. 代数重构技术： 介绍了代数多重网格（AMG）方法的思想，即如何根据代数连接性自动构建粗化算子，使其成为一种高度自适应的预处理器。 第七章：基于物理的预处理（针对偏微分方程） 本章探讨如何利用控制方程的物理背景来设计高效的预处理器，这在计算流体力学（CFD）和有限元分析中至关重要。 1. 块结构利用： 针对耦合系统（如 Navier-Stokes 方程中的速度-压力耦合），详细分析了Schur 补方法的迭代应用，以及如何通过预处理求解器来近似该补算子。 2. 谱逼近与多网格基础： 简要介绍粗化和加密算子的构建，强调了多尺度思想在加速低频误差消除中的作用。 --- 第三部分：非线性系统的迭代求解与高级主题 本书最后一部分将焦点从线性系统转移到更具挑战性的非线性问题，并探讨了现代计算中不可或缺的子空间方法。 第八章：非线性方程的迭代求解 本章关注于求解 $mathbf{F}(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 形式的非线性系统。 1. 牛顿法及其变体： 详细回顾了局部二次收敛的牛顿法，并重点分析了求解线性化系统 $J_k Delta x = -F(x_k)$ 的困难性（其中 $J_k$ 是雅可比矩阵）。 2. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 针对直接计算和存储雅可比矩阵的昂贵代价，详细推导了 BFGS 和 DFP 等秩一/秩二更新公式，这些方法通过利用历史信息来近似 $J^{-1}$，从而显著降低了每一步的计算成本，但保持了超线性收敛性。 3. Line Search 与信赖域方法： 讨论了如何通过适当的步长选择（Line Search）或限制搜索半径（Trust Region）来保证非线性迭代过程的全局收敛性，即使初始猜测远离精确解。 第九章：子空间方法与特征值问题的迭代求解 对于大型稀疏矩阵的特征值问题 $Ax = lambda x$，标准的 Krylov 方法需要扩展。 1. Rayleigh-Ritz 过程： 阐述了如何通过 Arnoldi/Lanczos 过程生成一个正交基，并在其张成的子空间内通过 Rayleigh-Ritz 投影来近似求解最大的（或最小的）特征值和特征向量。 2. 弹性子空间方法（Davidson/Subspace Iteration）： 讨论了当矩阵 $A$ 结构允许引入“转移算子”时，如何加速子空间迭代的收敛速度。 第十章：大规模迭代方法的并行化与软件实现考量 本章聚焦于将理论算法转化为高效的并行代码所必须面对的实际工程问题。 1. 通信与计算的平衡： 分析了 Krylov 迭代中关键操作（如矩阵向量乘法 SAXPY 和点积）的通信开销。重点讨论了矩阵的划分策略（行划分与列划分）以及如何设计混合精度算法来减少通信量。 2. 稀疏矩阵存储格式对性能的影响： 比较了 CSR、COO 等格式在不同硬件架构下对缓存命中率和访存模式的影响，解释了为什么相同的迭代算法在不同存储格式下性能差异巨大。 3. 健壮性与容错性： 讨论了在长时间运行或存在数值扰动时，如何通过残差重启动（Restarting）或内积的修正来维持迭代的有效性。 --- 目标读者与价值 本书是为研究生、博士后研究人员、高性能计算工程师以及数值分析领域的专业人士量身定制的。它不仅是深入理解当代数值计算引擎的理论手册，更是指导读者如何根据实际问题的复杂性，选择、组合和优化迭代算法的实践指南。通过对收敛分析的严格论证和对现代预处理技术的详尽介绍，读者将能够驾驭那些传统方法望而却步的、具有数百万甚至数十亿自由度的科学计算难题。本书所涵盖的知识体系，构成了现代计算科学领域解决大规模问题的核心工具箱。

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相较于其他同类书籍，这本书在对“计算资源”的敏感度上表现得尤为突出，这在当今数据爆炸的时代显得尤为重要。它没有沉溺于可以在任意精度下运行的理想化模型，而是始终将计算的成本——时间复杂度和空间复杂度——放在核心地位进行讨论。例如，作者在介绍迭代求解器时，会详细对比其迭代次数与矩阵规模的关系，并引入了预条件子的概念，清晰地展示了如何通过巧妙的预处理，在保证精度的前提下，将计算复杂度从指数级拉低到近乎线性的范围。这种对“效率”的执着追求，使得书中的内容具有极强的生命力和前瞻性。它不仅仅是教授如何解决问题，更是在传授一种“资源受限下的最优决策”的思维模式，这对于从事高性能计算和大型模拟的专业人士来说，简直是如获至宝，能有效指导我们在有限的CPU/GPU时间窗口内榨取出最大的科学价值。

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我在实际应用中，经常需要将书中的理论快速转化为可执行的代码，而这本书在算法描述的清晰度上，达到了一个令人赞叹的高度。它采取了一种“伪代码+详细注释”的混合表达方式，几乎可以做到直接翻译成任何主流编程语言的实现。与某些侧重理论而忽略工程实践的书籍不同，作者非常慷慨地分享了各种数值方法在面对“病态”问题时的鲁棒性处理技巧。例如，在处理矩阵特征值问题时，书中详细比较了Lanczos方法和Arnoldi方法的内存需求和收敛特性，并配有实际算例展示了如何根据问题的规模和结构进行取舍。这种高度的实用性，使得这本书从书架上的参考资料，一跃成为我工作台上的必备工具书。它不是简单地告诉你“怎么做”，而是告诉你“为什么这么做会更好”，这种对工程哲学的渗透，让人在编码时更加心中有数，避免了许多常见的数值陷阱。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，封面采用了一种沉稳的深蓝色调，搭配烫金的书名字体，散发着一种低调而内敛的专业气息。纸张的质感也非常上乘，厚实而略带纹理，拿在手中沉甸甸的，让人感受到作者对内容呈现的认真态度。内页的排版布局清晰明了，代码示例部分使用了等宽字体，区分度高，阅读起来非常舒适。作者在图表的绘制上也颇下功夫，无论是流程图还是数学模型示意图，都力求简洁直观，有效地帮助读者理解复杂的算法逻辑。我尤其欣赏它在细节处理上的用心，比如页眉页脚的设计，不仅提供了清晰的章节导航，还巧妙地融入了一些数学符号的小元素，使得整体阅读体验从枯燥的教科书转向了一种享受知识的过程。虽然这本书内容厚重，但良好的物理设计极大地减轻了长时间阅读带来的疲劳感。这本书不仅仅是知识的载体，更是一件精心打磨的工艺品，体现了出版方对学术著作应有品质的坚守。

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这本书的作者显然是一位在计算领域耕耘多年的专家，其视角之宏大，令人印象深刻。它并未将目光局限于单一的数值方法，而是将其置于整个科学计算生态系统中进行审视。章节之间的衔接处理得极其自然，前面对线性系统的讨论，无缝过渡到对偏微分方程的离散化处理，再到最后对大规模并行计算架构下的算法适应性分析。这种全景式的架构，使得读者能够构建起一个完整的知识地图，理解各个子领域之间的相互依赖关系。特别值得一提的是，书中对于“误差源”的探讨，区分得极其细致——既有截断误差的理论分析，也有浮点运算引入的舍入误差的量化评估，这种对误差的敬畏之心，是优秀计算科学家必备的素养，而本书对此进行了深入的灌输。读完之后，我感觉自己对“计算”二字的理解，不再停留在解方程的层面，而是扩展到了对整个求解过程的质量控制和性能优化。

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这本书的内容深度，简直是为那些渴望真正掌握科学计算核心原理的研究生和资深工程师量身定制的“硬通货”。它没有停留在对基本数值方法的简单罗列，而是深入挖掘了迭代过程背后的数学推导和稳定性分析。举例来说，它对非线性方程组求解中的牛顿法变体，不仅给出了经典的收敛性证明，还细致地探讨了预处理策略在大型稀疏系统中的实际效率影响，这部分内容是很多入门教材完全不会涉及的。作者的叙述风格严谨、逻辑链条环环相扣，每一个定理的引入都仿佛是水到渠成。我特别喜欢作者在讨论收敛速度时，会穿插一些历史背景和关键人物的贡献，这让冰冷的数学理论瞬间鲜活了起来，仿佛能听到前辈学者们在实验室里辩论的声音。对于想从“会用”上升到“能创”的读者而言，这本书提供的理论基础无疑是坚实且无可替代的基石。

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