Geometric Transformations I (Number 8) (Bk. 1) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mathematical Association of America (MAA)

作者:I. M. Yaglom

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1962-06

价格:USD 29.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780883856086

丛书系列:

图书标签:

• 几何变换
• 数学
• 几何学
• 代数
• 坐标几何
• 变换群
• 射影几何
• 高等数学
• 拓扑学
• 数学教材

《仿射几何基础与应用》 内容提要： 本书聚焦于经典仿射几何的理论构建与其实际应用，旨在为读者提供一个严谨而清晰的几何学导论。全书分为七个核心章节，从最基础的仿射空间概念出发，逐步深入到仿射变换的代数结构、不变量分析，并最终探讨了仿射几何在计算机图形学、微分几何预备知识中的重要作用。本书尤其注重几何直觉与解析方法的结合，力求平衡理论的深度与应用的广度。 --- 第一章：仿射空间的基本概念与结构 本章奠定了全书的理论基础。首先，我们精确定义了仿射空间 $mathcal{A}$，将其视为一个由点集 $A$ 和其上的一个向量空间 $V$ （称为“方向空间”）构成的对，并强调了向量加法与点的位置向量的几何意义。重点阐述了仿射子空间的概念，包括仿射直线、仿射平面及其维数。 通过引入仿射坐标系（或称仿射基），我们将抽象的仿射空间映射到 $mathbb{R}^n$ 的向量空间结构上，这为后续的解析处理提供了必要的工具。我们详尽讨论了仿射基的选择与变换的协调性。此外，本章还介绍了仿射无关性的概念，精确界定了仿射集的线性依赖性，并利用行列式判别点集的仿射独立性。 第二章：仿射变换的定义与性质 仿射变换是连接几何与线性代数的桥梁。本章正式定义了仿射变换 $f: A o A'$，即满足 $f(mathbf{x}) - f(mathbf{y}) = L(mathbf{x} - mathbf{y})$ 的映射，其中 $L$ 是一个线性的端点映射（或称“方向映射”）。 我们深入探讨了仿射变换的代数表示。在选取了仿射基后，任何仿射变换都可以被表示为一个增广矩阵 $M = egin{pmatrix} L & mathbf{t} \ mathbf{0}^T & 1 end{pmatrix}$ 的作用，其中 $L$ 是 $V$ 上的线性变换矩阵，$mathbf{t}$ 是平移向量。本书详细推导了仿射变换矩阵的乘法法则，并分析了复合变换的性质。 本章的另一重点是可逆性：仿射变换是可逆的当且仅当其对应的线性映射 $L$ 是可逆的。我们分析了仿射同构的概念，即两个仿射空间之间的结构保持映射。 第三章：核心仿射变换的分解与分类 本章致力于将复杂的仿射变换分解为其基本组成部分。我们证明了任何仿射变换都可以唯一地分解为一个线性变换后接一个平移（或反之）。 随后，我们对仿射变换进行系统分类： 1. 平移（Translation）：当 $L$ 为恒等映射时。 2. 缩放与拉伸（Scaling and Stretching）：基于特征值分析。 3. 旋转（Rotation）：在更高维度中，旋转的概念需要更精细的定义，我们主要关注二维和三维的经典旋转。 4. 错切/剪切（Shear）：分析非对角化矩阵的作用。 通过分析线性部分 $L$ 的特征值和特征向量，读者可以直观地理解变换如何作用于空间中的方向和尺度。 第四章：仿射不变量与度量 在仿射几何中，某些几何量在仿射变换下保持不变，它们被称为仿射不变量。本章详述了这些关键不变量： 1. 共线性（Collinearity）：点集在一条直线上的关系。 2. 交比（Cross-Ratio）：对于共线的四点 ${A, B, C, D}$，其交比 $frac{AC/CB}{AD/DB}$ 在仿射变换下保持不变。这是本章最核心的代数不变量。 3. 平行性（Parallelism）：仿射变换保持平行线的平行性。 本章也明确区分了非仿射不变量，例如长度、角度和面积。我们展示了面积是如何在仿射变换下以行列式的绝对值作为比例因子变化的，即 $ ext{Area}(f(S)) = |det(L)| cdot ext{Area}(S)$，这为后续的微分几何和测度论打下基础。 第五章：中心投影与射影几何的衔接 虽然本书的主体是仿射几何，但为了更全面地理解变换的范畴，本章引入了中心投影（Central Projection）的概念，并将其作为仿射几何到射影几何的过渡。我们探讨了中心投影如何将平行线汇聚于一点（消失点），从而破坏了仿射不变量（如平行性）。 通过齐次坐标系，我们将仿射空间嵌入到射影空间中，这为理解透视变换提供了必要的框架。本章将仿射变换视为射影变换的特例，其中无穷远线或无穷远面被保持不动。 第六章：仿射流形与微分几何预备 本章将抽象的仿射概念应用于更高维度的空间，为深入学习微分几何做准备。我们引入了仿射流形（Affine Manifolds）的概念，即局部上看起来像欧几里得空间，但整体上不一定具有固定的平移同构的结构。 重点讨论了曲率（Curvature）的概念在仿射几何中的缺失，正是因为仿射空间缺乏内在的度量结构。我们介绍了仿射联络（Affine Connection）的初步思想，解释了如何通过引入联络来恢复“测地线”和“曲率”等概念，从而从仿射结构过渡到黎曼几何结构。 第七章：仿射变换在计算机图形学中的应用 本章是理论成果的具体展示。我们详细分析了三维计算机图形学中常用的模型变换、视图变换和投影变换的构成。 1. 变换管线（Transformation Pipeline）：使用齐次坐标表示的 $4 imes 4$ 仿射变换矩阵如何串联起来，实现物体从局部坐标系到屏幕坐标系的映射。 2. 刚体变换（Rigid Body Transformations）：作为特殊情况的仿射变换（正交矩阵 $L$），它们保持了距离和角度，是机器人学和3D建模的核心。 3. 图形优化：展示了如何通过矩阵分解（如LU分解或QR分解）来识别一个复合变换中包含的旋转、缩放和剪切部分，从而进行高效的渲染或物理模拟。 本书通过大量的例题和几何解释，确保读者能够熟练运用代数工具处理复杂的几何问题，并为后续的专业研究奠定坚实的分析基础。

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阅读体验上，这本书给我的感觉就像是在跟随一位经验极其丰富、讲解极其耐心的导师进行一对一辅导。最让我印象深刻的是它在处理“投影几何”那一章时所展现的深度和广度。许多同类书籍在讲到透视变换时往往一带而过，或者仅仅停留在二维平面上的简单推导，但《几何变换I》却花了大量的篇幅，结合具体的相机模型和场景设置，详细剖析了如何通过齐次坐标系来统一所有类型的仿射和透视变换。书中通过大量的例题和随堂练习，确保读者能够立即应用所学知识。这些练习题的设置非常巧妙，它们并非重复性的机械计算，而是设计成需要思考变换背后的几何直觉才能高效解决的问题。我花了一个下午的时间来解决其中一个关于“双对射”的习题，最终领悟到的不仅是数学技巧，更是对空间感知能力的极大提升。这本书要求读者投入时间和精力，但给予的回报是实实在在的理解，而不是表面的熟悉。

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这本书的语言风格非常具有学术气息，用词精确，逻辑链条严密得如同一个精密的钟表。我特别喜欢作者在引入新概念时所采用的“定义-引理-定理-证明”的标准结构，这对于习惯于严谨学术规范的读者来说，提供了极高的阅读效率和信息密度。然而，这种严谨性也意味着它对读者的预备知识有一定的要求；如果读者对线性代数中矩阵的特征值和特征向量没有深刻的理解，在初期的章节可能会感到吃力。但我认为，如果能克服初期的门槛，这本书会为你打开一个全新的几何视角。它强迫你从“点如何移动”转向“空间如何被拉伸和扭曲”，这种思维模式的转变是极其宝贵的。它不是那种读完就束之高阁的工具书，而是需要反复研读、在理解中不断产生新感悟的经典著作。

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这部《几何变换I（第8册）（第1卷）》的书籍，与其说是教科书，不如说是一部精妙的数学艺术品。它的装帧设计本身就透露出一种对几何美学的尊重，封面简洁却充满深意，仿佛在邀请读者进入一个纯粹的逻辑与视觉交织的世界。初翻开时，我立刻被它清晰的排版和大量的插图所吸引。这些插图并非简单的示意图，而是经过精心设计的视觉辅助工具，它们以一种近乎直观的方式，将抽象的矩阵运算和空间旋转概念具体化。作者在讲解基础的刚体运动、相似变换以及仿射变换时，并没有急于抛出复杂的公式，而是循序渐进地构建概念框架。特别是关于“不动点”和“变换矩阵”的引入部分，作者采用了历史发展与现代应用相结合的叙事手法，使得原本枯燥的代数描述变得富有生命力。我特别欣赏书中对“变换群”的介绍，它不仅仅停留在定义层面，而是深入探讨了这些群结构在三维建模和计算机图形学中的实际意义。这本书的难度适中，既能满足初学者对基本操作的掌握，也能为高阶研究者提供坚实的理论基础，让人在阅读过程中不断感受到数学思维的严谨与优雅。

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坦率地说，这本书在某些地方的习题设计略显挑战性，可能不适合那些仅仅想快速掌握基础操作的读者。但正是这种“挑战”，才使得读完此书后的成就感无可比拟。我提到过图形学应用，但书中对计算机视觉中“单应性矩阵”（Homography Matrix）的讲解也达到了专业水准。作者没有回避复杂的运算细节，而是通过矩阵分解和几何意义的剖析，将原本令人望而生畏的计算过程变得可以理解和控制。书中对变换的分解，例如将任意仿射变换分解为缩放、剪切、旋转和位移的组合，讲解得层次分明，逻辑清晰，这是我之前在其他教材中未曾见过的如此详尽的论述。这本书绝对是一部值得收藏的教材，它不仅教授了“如何做变换”，更重要的是阐释了“为什么这些变换是这样运作的”，真正体现了数学的深刻之美。

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从专业角度来看，这本书的理论深度和现代相关性是其最大的亮点。它成功地在纯粹的数学理论与现代应用领域之间架起了一座坚实的桥梁。例如，在讨论欧几里得空间中的旋转时，作者不仅详述了旋转矩阵的性质，还引入了四元数的概念，并清晰地解释了为什么四元数在处理连续旋转动画时能有效避免万向节锁（Gimbal Lock）问题。这种与前沿技术紧密结合的叙事方式，极大地激发了我对后续章节的探索欲。此外，书中对李群（Lie Groups）在连续变换中的初步介绍，虽然篇幅不长，但为有志于深入研究微分几何或机器人学的读者提供了一个完美的理论跳板。它不是一本简单的参考手册，而更像是一部为未来研究者量身定制的入门指南，每一步的推导都力求清晰无歧义，真正做到了为读者打下坚实的地基。

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