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出版者:Holden Day

作者:John L. Kelley

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1970-06

价格:USD 18.95

装帧:Textbook Binding

isbn号码:9780816246540

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小学数学
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好的，这是一份关于一本名为《Elementary Mathematics for Teachers》的书籍的详细简介，该简介力求内容详实、专业，避免任何可能暴露其为人工智能生成的痕迹。 --- 《代数与几何的基石：面向未来教育者的数学思维》 内容简介 本书《代数与几何的基石：面向未来教育者的数学思维》（Foundations of Algebra and Geometry: Mathematical Thinking for Future Educators）旨在为小学及初中阶段的数学教师（或有志于此的教育工作者）提供一个扎实、深入且富有洞察力的数学知识基础。它并非仅仅是现有小学或初中教材内容的简单重复或重述，而是致力于重构教师对基础数学概念的理解深度，强调“为什么”（Why）而非仅仅“怎么做”（How）。 本书的核心理念在于，有效的数学教学源于教师对所教内容深层次的、结构性的理解。只有当教师能够从更高级别的数学视角审视基础概念时，他们才能真正预测学生可能在哪里遇到困难、设计出更具启发性的问题，并提供超越机械运算的解释。 全书结构严谨，共分为六个主要部分，辅以大量的实例分析、历史背景介绍和教学反思模块。 第一部分：数的本质与结构（The Nature and Structure of Number） 本部分深入探讨了我们日常使用的数系的构建过程。 1. 从自然数到整数的飞跃： 不仅讨论加减法的封闭性，更重要的是从集合论的角度审视自然数的皮亚诺公理基础。探讨如何通过笛卡尔乘积和等价关系严谨地构造出整数集 $mathbb{Z}$，并证明这些构造满足我们对“负数”的直观理解。 2. 有理数与稠密性： 重点分析有理数集 $mathbb{Q}$ 的定义，而非仅仅是分数形式。详细阐述有理数集是稠密的，并将其与后续的实数集进行对比，为理解测量和连续性打下基础。 3. 运算的代数结构： 引入群（Group）、环（Ring）、域（Field）等初步代数结构的概念，但完全聚焦于数集。例如，分析加法在整数上构成阿贝尔群，乘法在非零整数上构成独异点（Monoid）。这帮助教师理解运算规则的内在逻辑，而非仅仅是记忆运算律。 第二部分：基础代数概念的重塑（Reshaping Foundational Algebraic Concepts） 本部分将代数视为一种语言和一种思维方式，而非一组解方程的技巧。 1. 变量的意义： 探讨变量（Variable）的演变历史，从古巴比伦的待定数到欧拉符号。区分“代数表达式中的占位符”、“未知数（Unknown）”和“函数中的自变量（Independent Variable）”这三种核心用途，并讨论如何在小学高年级引入“保持不变的量”这一早期代数思想。 2. 等式的本质： 深入探讨“等号”的真正含义——代表相等关系，而非“计算结果”。基于关系代数，分析等式是如何通过保持平衡（如天平模型）来指导等价变换的。 3. 多项式与函数初步： 考察多项式运算背后的分配律的强大威力。引入线性函数和二次函数作为描述现实世界关系的工具，侧重于理解斜率和截距的几何和动态含义。 第三部分：量化空间：从度量到坐标（Quantifying Space: From Measure to Coordinates） 此部分聚焦于几何学的逻辑基础和度量系统。 1. 欧几里得几何的公理基础： 简要回顾欧几里得五大公设，特别是平行公设的重要性。教师将学习如何通过反证法来理解这些基础假设的地位，为后续理解非欧几何的可能打下铺垫（尽管本书不深入非欧几何）。 2. 度量与面积/体积的严谨性： 探讨面积和体积的定义是如何从基本的“铺砖”概念，通过极限思想（黎曼和的直观前身）过渡到精确的积分思维。特别关注如何严谨地证明矩形面积公式，并扩展到不规则图形的分解与重组。 3. 笛卡尔坐标系： 深入分析笛卡尔坐标系如何作为桥梁，将抽象的代数运算（如距离公式、斜率计算）与直观的几何图形联系起来。重点讨论两点间距离公式的推导，其本质上是对勾股定理的代数表达。 第四部分：比率、比例与函数思想的萌芽（Ratios, Proportions, and the Seeds of Functions） 本部分是连接算术与初等分析的关键环节。 1. 比率与比例的深刻含义： 区分“比”（Ratio）和“分数”（Fraction）。探讨比例推理在解决复杂问题中的应用，例如单位率、复合比率（速率）。 2. 恒定变化率（线性关系）： 将比例关系提升到函数的高度。详细分析“正比关系”的图像特征，强调其本质是穿过原点的直线，并讨论如何通过图表分析来识别和建模比例变化。 3. 百分比的商业与统计视角： 从复利、增长率的角度审视百分比，超越简单的“求部分”计算，侧重于理解增长的乘性而非加性。 第五部分：数论的趣味与严谨性（The Fun and Rigor of Number Theory） 本部分旨在激发教师对数学内在美感的兴趣，同时展示基础数论在密码学和计算机科学中的实际应用。 1. 整除性与同余关系： 深入研究最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的欧几里得算法，理解其递归结构。引入同余关系（Modular Arithmetic）作为一种“时钟算术”，展示它如何简化复杂的整数问题，并解释其在日历计算中的应用。 2. 素数的奥秘： 讨论素数的分布、欧几里得的素数无穷性证明，以及唯一因子分解定理的中心地位。这有助于教师向学生传达数学中“基本构件”的概念。 第六部分：教学中的数学思维转化（Translating Mathematical Thinking into Teaching Practice） 本部分侧重于实践应用和元认知。 1. 概念的层次化： 分析如何将本教材中介绍的“高阶理解”转化为适合不同发展阶段学生的教学活动。例如，如何用“区域模型”或“数轴模型”来解释分数乘法，避免仅仅依赖于记忆规则。 2. 错误分析的数学视角： 探讨常见的学生错误（如将 $5x+3y$ 误认为是某种运算，或对负数乘法的混淆）背后的数学原理。错误往往源于对代数结构理解的偏差，教师应能从代数结构层面诊断问题。 3. 从具体到抽象的路径设计： 结合认知心理学，设计从具体操作（Manipulatives）到视觉表征，再到符号表示的完整教学序列，确保教师能引导学生完成概念的内化过程。 本书特色： 强调证明的直觉： 侧重于启发性证明和逻辑推理的构建，而非纯粹的符号操作。 历史与语境结合： 每个重要概念都配有简短的数学史介绍，帮助理解知识的演进。 面向课堂的挑战： 每章末尾提供“教学思维练习”，要求读者从一个教学场景出发，反向推导所需具备的数学知识深度。 《代数与几何的基石》旨在将数学教师从“内容传递者”提升为“概念架构师”，确保他们不仅知道“教什么”，更深刻理解“为什么这样教是最好的”。

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翻阅这本书的过程，就像是重新进行了一次智力上的“打磨”。我特别欣赏作者在处理代数和几何的衔接部分所展现出的那种匠心独到。很多教材总是把它们割裂开来，让读者觉得这是两套完全不相关的知识体系。但这本书巧妙地运用了坐标系的概念，将几何直观性与代数运算的严谨性完美地融合在了一起，展示了数学工具之间强大的互通性。我记得有一章专门讨论了“度量”的概念，它不仅限于长度、面积和体积的计算，还延伸到了对函数变化的理解上，这种跨领域的联系拓展了我的思路。读起来并不轻松，需要时不时停下来，拿起纸笔演算一番，但每一次的“卡壳”最终都会带来豁然开朗的体验。这绝不是一本可以囫囵吞枣的书籍，它要求读者保持一种积极的、批判性的阅读状态。对于那些想从根本上理解小学数学教育背后的逻辑的人来说，这本书提供了一个非常坚实的基础框架。

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我特别留意了书中对“误区”的讨论，这部分内容简直是教科书级别的精彩。作者没有避讳小学数学教学中常见的陷阱和学生容易产生的认知偏差，而是系统地分析了这些偏差产生的原因，并给出了结构性的解决方案。举例来说，关于“零”的理解，以及负数的引入过程，书中详细描绘了学生认知发展中可能遇到的认知冲突点，并提供了循序渐进的引导策略。这体现了作者深厚的教育实践经验，他不仅仅是一个数学家，更是一个深谙如何“教”数学的专家。这本书的论述风格稳健而不失活力，它既有学术的严谨，又不乏对教育现场的关怀。对于任何一个致力于提升自己教学技艺的老师而言，这本书无疑是一份极具参考价值的工具书，它提供的不仅仅是知识，更是一种深刻的教学哲学。

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这本书的封面设计挺朴素的，那种感觉就是直奔主题，没有太多花哨的装饰。我本来是带着点审视的态度去翻阅的，毕竟名字里带着“小学数学”这几个字，总感觉会是那种陈旧的、只停留在课本知识层面的东西。然而，当我真正沉浸进去后，才发现它的深度远超我的预期。它并非只是简单地罗列公式和例题，而是试图构建一种更宏观的视角来看待初等数学的结构。作者在讲解基础概念时，并没有跳过那些看似“理所当然”的步骤，而是深入挖掘了为什么这些概念是这样定义的，它们是如何一步步演化成我们今天所熟悉的样子的。这种对数学思想和发展脉络的强调，对于我这种需要向更年轻一代传授知识的人来说，无疑是非常宝贵的财富。它迫使我重新审视自己过去对数学的理解，不再满足于“会做题”的层面，而是开始思考“为什么是这样算”。尤其是关于数系的建立那一部分，作者的处理方式非常清晰有力，将抽象的理论具象化，使得复杂的概念变得易于理解和消化，这在很多同类教材中是难以见到的精妙之处。

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这本书的价值体现在它对“通用性”的追求上。我发现，即使是我在大学阶段接触到的某些高阶数学分支，其最初的萌芽和基本原理，都能在这本书的讲述中找到清晰的溯源。它并没有局限于某个特定国家的教学大纲，而是采纳了一种更加普世的、基于数学本质的论述方式。例如，它在讨论图形的对称性时，涉及到的变换理论的直观理解，远远超过了传统小学数学教材所要求的范畴。这让我意识到，我们今天教授给孩子的那些简单知识点，背后蕴含着多么深刻而优雅的数学结构。这本书就像是一把钥匙，打开了通往更广阔数学世界的大门，让你在讲解最基础的加减乘除时，心中也能感受到背后那宏大的数学宇宙的脉动。这对于提升教学的自信心和专业深度是不可替代的。

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我不得不提一下这本书的排版和逻辑组织，这直接影响了阅读体验。坦白说，一开始我有点担心内容过于学术化会导致阅读障碍，但作者似乎深谙教育心理学。章节的过渡非常自然，每引入一个新概念，都会先回顾前置知识点，并且总会附带一些历史背景的小插曲，这极大地缓解了阅读的枯燥感。比如，在讲解分数与小数的转换时，作者没有直接给出算法，而是先回顾了人类历史上不同文明是如何处理不完整量的，这种叙事性的处理方式让学习过程充满了探索的乐趣。更重要的是，书中对“证明”的引入把握得恰到好处，它不是高深的逻辑推导，而是鼓励读者从直觉出发，逐步走向严谨，培养一种“为什么可以这么做”的求证精神。这对于培养未来的教育工作者来说，比单纯记住几个定理重要得多，它塑造的是一种科学的思维习惯。

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