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出版者:Princeton University Press

作者:Predrag Cvitanovic

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2008-07-01

价格:USD 39.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780691118369

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好的，以下是一本名为《Group Theory》的书籍简介，内容将完全围绕群论本身的数学概念、历史发展和应用展开，不涉及任何关于生成过程或人工智能的描述。 --- 《群论导引：从代数结构到对称性的探索》 内容概要 本书是一部全面而深入的群论教材，旨在为读者提供坚实的抽象代数基础，并引导他们探索群论这一数学分支的核心概念、结构及其在现代科学中的广泛应用。全书结构严谨，逻辑清晰，从最基本的集合论和二元运算概念出发，逐步构建起群、子群、陪集、同态等核心理论框架。我们力求在保持数学严谨性的同时，通过精心挑选的例题和应用场景，使得复杂的抽象概念得以可视化和直观化。 本书不仅覆盖了群论的基础理论，更深入探讨了有限群的结构理论（如西洛夫定理）和无限群的性质，特别关注了置换群、循环群、阿贝尔群等经典群类型的具体研究。此外，本书还将群论与拓扑学、几何学、密码学等领域的交叉点作为重点，展示了群论作为描述“对称性”和“不变性”的强大工具的普适性。 核心章节概述 第一部分：基础构建与抽象代数 第1章：代数结构的基础 本章首先回顾了必要的集合论预备知识，并引出代数结构的关键要素：二元运算。我们严格定义了群（Group）的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元（恒等元）的存在性以及逆元（反元素）的存在性。通过大量的具体例子——例如整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$、非零有理数乘法群 $(mathbb{Q}^, imes)$、以及矩阵群——来巩固读者对抽象定义的理解。我们还将介绍半群（Semigroup）和独异点（Monoid），以便更清晰地界定群的独特性。 第2章：子群与陪集 本章侧重于研究群的内部结构。我们定义了子群（Subgroup）的概念，并探讨了子群的判定准则。随后，引入陪集（Coset）的概念，这是理解商群结构的关键桥梁。深入分析左陪集与右陪集的区别与联系，并以此为基础，详细阐述了拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其在确定有限群阶数方面的强大应用。 第3章：正规子群与商群 正规子群是群论中进行“结构分解”的核心工具。本章明确区分了普通子群与正规子群（Normal Subgroup），并讨论了其等价判别条件。在此基础上，我们构建了商群（Quotient Group）或称因子群，这是将抽象代数从具体群操作提升到结构同构分析的重要一步。 第4章：群同态与同构 本章讨论了群之间“结构保持的映射”。我们定义了群同态（Group Homomorphism）和群同构（Group Isomorphism），并研究了它们的性质，如核（Kernel）和像（Image）的结构。著名的第一同构定理（First Isomorphism Theorem）将被作为本章的理论高峰，它深刻揭示了群、正规子群和商群之间的内在联系。 第二部分：特定群的深入分析 第5章：置换群 置换群是研究有限群的最直观且重要的实例。本章详细介绍了置换（Permutation）的概念，将其表示为循环（Cycles）和乘积。我们研究了对称群 $S_n$ 的性质，讨论了对换（Transposition）、奇偶性（Parity），并定义了交错群 $A_n$（Alternating Group）。本章将大量使用置换群的实例来阐释共轭类和中心的概念。 第6章：循环群与有限阿贝尔群 循环群因其结构简单而成为理想的研究对象。我们证明了任意循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。随后，我们将重点放在有限阿贝尔群（Finite Abelian Groups）的结构上。有限阿贝尔群的基本定理（Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups）将被作为核心内容详细解析，它表明任何有限阿贝尔群都可以唯一地分解为其初等因子群的直积。 第7章：生成元与直积 本章讨论了如何通过较小的群的组合来构造更大的群，特别是直积（Direct Product）和半直积（Semidirect Product）的构建方法。这为理解复杂群的分解提供了强大的代数工具。 第三部分：有限群结构理论与应用 第8章：西洛夫定理 这是有限群理论的基石。本章系统地介绍西洛夫子群（Sylow Subgroups）的存在性、数量和共轭关系。西洛夫第一、第二和第三定理将被严格证明，并展示如何利用这些定理来确定特定阶数的群的结构，例如证明阶数为 $p^2$ 的群是阿贝尔群。 第9章：群作用 群作用是连接抽象群与具体集合之间关系的强大概念。我们定义了群在集合上的作用，并引入了轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。轨道-稳定子定理在此处作为核心工具被详细论证，它在计数问题（如Burnside引理的预备）中显示出巨大的威力。 第10章：群论的应用前沿 本章将理论与实际应用相结合。我们将探讨群论在几何学中的应用，例如欧几里得空间中的对称性；在物理学中的应用，如晶体结构和量子力学中的守恒定律；以及在密码学中的应用，特别是在基于有限域和离散对数问题的加密方案中的作用。我们还将简要介绍无限群中的重要概念，例如自由群和群的表示论的初步概念。 学习目标 本书面向数学、物理学、化学、计算机科学等专业的高年级本科生和研究生。完成本书的学习后，读者将能够： 1. 熟练掌握群、子群、同态、同构等基本概念的定义和判定。 2. 理解和运用拉格朗日定理、同构定理和西洛夫定理来分析有限群的结构。 3. 能够将抽象的群论概念应用于解决具体的对称性问题和计数问题。 4. 为进一步学习环论、域论、拓扑群或表示论等高级代数课程打下坚实的基础。 全书配备了大量的习题，难度由易到难分布，旨在通过实践加深对群论逻辑结构的理解和掌握。

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这本书的排版和图示设计，实在值得称赞，它们极大地缓解了阅读抽象数学时可能产生的视觉疲劳。不同于许多传统教材那种密密麻麻的文字和公式堆砌，《群论》在关键概念的引入处，往往会插入精心制作的图表或结构示意图。例如，在讨论群的生成元和关系时，作者会用非常清晰的图示来描绘自由群的概念，这比单纯的文字描述要高效得多。此外，书中对一些复杂群的表示，比如矩阵群的例子，也处理得十分到位。它们不仅展示了群元的具体乘法运算，还辅以注释说明这些操作在几何变换中的实际意义，使得原本纯粹的代数运算具有了生动的几何内涵。这种设计体现了作者深厚的教学经验：他们知道抽象思维的建立需要具象化的支撑。即便是像交换子群或导群这样相对抽象的概念，作者也通过对矩阵群的特定例子进行计算，将这些概念的“行为”可视化。对于那些更偏向视觉学习的读者来说，这本书无疑提供了一个低门槛、高回报的阅读体验，让学习过程本身变成了一种享受，而不是一场艰苦的拉锯战。

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这本《**群论**》读起来就像是作者在向你娓娓道来一个宏大而又精妙的数学世界。它的叙述方式非常注重直观性和启发性，完全没有那种冷冰冰的公理化定义堆砌感。初次接触这个领域的人，可能会觉得抽象代数本身就是一座难以逾越的高山，但作者巧妙地找到了切入点——从对称性的物理直观入手，慢慢引导读者领悟到群的概念是如何自然而然地产生的。书中对各种经典群例子的剖析，比如对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 的讨论，不仅详尽细致，更重要的是，它总能将这些例子与实际可感的几何操作联系起来，让你不是在“背诵”定理，而是在“感受”群的结构如何决定了事物的排列组合方式。特别是对于初等群论中的核心概念，如子群、陪集和同态，作者的处理方式简直是教科书级别的典范：清晰的定义之后，总会跟随着大量不同层次的例子，从非常简单的 $C_4$ 到稍微复杂一些的矩阵群，确保读者能够扎实地构建起对这些基本工具的理解。即便是那些看起来很枯燥的证明，也被作者拆解成了逻辑清晰的小步骤，读起来毫无晦涩之感，仿佛有人在你耳边耐心梳理着每一步的必要性。对于任何想要真正掌握群论基础，而不是仅仅通过考试的自学者而言，这本书提供了一个极其友好的学习路径。

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这本书在习题设置上的用心程度，是其最令人称道的一点。很多代数教材的习题要么过于简单，要么直接跳到无人能解的难题，让人感到挫败。然而，《群论》的习题集是经过精心设计的“学习工具箱”。习题被明确地分为几个层次：基础概念巩固、定理证明的细节填充、以及应用与探索性问题。巩固性的题目确保你不会对基本运算产生误解；而证明题往往会引导你一步步完成教科书中可能略过的关键逻辑跳跃，让你真正拥有掌握定理的能力，而不是依赖记忆。更棒的是，书中包含了大量涉及具体计算和构造的“探索性”问题，这些题目往往需要你结合书中的多个知识点进行综合运用，比如让你去构造一个特定阶数但具有某种特殊性质的群。这些题目不会让你感到茫然，因为它们往往会给出一些提示或背景知识的链接，鼓励你主动去“创造”数学。这种实践驱动的学习模式，极大地提升了读者的主动性和解决问题的能力，真正做到了将“学习”转化为“做数学”的过程。

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我个人认为，这本书在理论的覆盖面上做到了极佳的平衡——它既有足够的深度去满足进阶学习者的需求，又保持了足够的广度来为初学者勾勒出代数世界的全貌。除了标准群论内容，它还巧妙地引入了一些更广阔的主题作为拓展或注释。比如，在讨论有限阿贝尔群的结构定理时，书中没有止步于定理本身，而是简要探讨了模（Module）的概念是如何在更一般的环论背景下推广这个结构。这种前瞻性的视野，让读者在学习基础的同时，也能隐约感受到代数结构理论的宏伟蓝图。另外，书中对非交换群中元素共轭类的分析，以及与群作用（Group Action）的结合，处理得非常精妙。通过 Pólya 计数定理的实例展示，读者能清晰地看到群论如何跨界到组合数学领域，解决实际的计数问题。这种跨学科的联结，是判断一本优秀数学教材的重要标准。它向我们展示了群论并非一个孤立的理论体系，而是连接代数、几何、拓扑乃至物理学的核心枢纽。对于那些希望将数学知识应用于实际研究或工程领域的读者，这种“赋能”式的写作风格，会让人感到物超所值。

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我得说，这本书在深度挖掘群论的结构性质方面，表现出了惊人的洞察力和严谨性。它可不是那种只停留在“什么是群”的表面功夫的书籍。一旦跨过基础的门槛，作者立刻转向了群论的“骨架”——子群结构、正规子群、商群的构建，以及重头戏——第一同构定理的威力展示。这本书的精彩之处在于，它并没有把这些定理当作孤立的工具来介绍，而是将它们编织成一张巨大的网，展示了它们之间如何相互印证，共同揭示了有限群的内在联系。尤其是对 Sylow 定理的讲解部分，简直是令人拍案叫绝。作者没有选择直接堆砌证明的技巧，而是先从一些具体的、但难以处理的群入手，展示出为什么需要 Sylow 定理这样的强有力工具，然后再给出层层递进的证明。这种“先立问题，后给答案”的叙事结构，极大地增强了读者的求知欲和理解的深度。读完这部分，你会清楚地明白，Sylow 定理不仅仅是关于“存在性”的断言，更是关于群的阶数如何决定其子结构的关键所在。对于想要深入研究代数结构，为更高阶的表示论或几何理论做准备的读者，这本书的这部分内容绝对是无法绕开的基石。

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