Elementary Algebra

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出版者:D C Heath & Co
作者:Elaine Hubbard
出品人:
页数:0
译者:
出版时间:1996-10
价格:USD 79.96
装帧:Hardcover
isbn号码:9780669426151
丛书系列:
图书标签:
  • 代数
  • 初等数学
  • 基础数学
  • 数学教材
  • 教育
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具体描述

好的,这是一本关于“高等数学基础与应用”的图书简介,其内容完全不涉及“Elementary Algebra”中的任何具体知识点。 --- 图书名称:高等数学基础与应用:从理论到实践的桥梁 作者: 华夏 数理研究团队 出版社: 启明教育出版社 出版年份: 2024年 页数: 850页(精装) --- 内容简介 《高等数学基础与应用:从理论到实践的桥梁》是一本专为工程技术、自然科学、经济管理等领域对数学有深入需求的学习者和专业人士设计的综合性教材与参考书。本书旨在系统、深入地介绍现代高等数学的核心概念、严谨的理论框架以及广泛的实际应用方法。全书结构清晰,逻辑严密,力求在保证数学严谨性的同时,突出其在解决现实世界复杂问题中的强大工具属性。 本书的编写基于对当代科学技术发展趋势的深刻洞察,重点关注微积分、线性代数、常微分方程以及初步的复变函数理论,这些是理解现代科学和工程学科的基石。我们避免了对初等代数(如基本方程求解、多项式运算等)的重复论述,而是直接切入更高层次的数学结构和分析工具。 全书共分为六大部分,三十章,旨在构建一个从基础分析到高级建模的完整知识体系。 第一部分:实数系统与微积分基础(第1-8章) 本部分为全书的理论奠基。我们首先对实数系统进行严格的公理化描述,深入探讨极限的概念及其在序列和函数中的应用。不同于仅停留在计算层面,本书强调极限的$epsilon-delta$定义在建立后续理论中的关键作用。 关键内容: 1. 实数系统与拓扑基础: 完备性、开闭区间、聚点概念的严谨引入。 2. 函数与连续性: 均匀连续性、介值定理的严格证明及其几何意义。 3. 导数的本质与应用: 不仅包括微分法则,更侧重于泰勒级数的展开及其在函数逼近中的应用。我们详细探讨了高阶导数的性质,为优化理论打下基础。 4. 黎曼积分理论: 积分的定义、可积性的条件、微积分基本定理的证明,以及对不定积分的符号化处理方法,着重于定积分在几何测量和物理量计算中的应用。 第二部分:多元函数微积分(第9-15章) 随着对复杂系统建模需求的增加,本书将焦点转向多维空间。本部分系统阐述了多元函数分析的必要性和方法论。 关键内容: 1. 空间几何与向量场: 三维欧几里得空间、向量运算的几何解释,以及坐标变换在分析中的作用。 2. 偏导数与方向导数: 梯度、散度、旋度的定义及其在物理场描述中的意义。 3. 多元函数的极值问题: 使用Hessian矩阵判别极值点的理论,并引入拉格朗日乘数法解决约束优化问题。 4. 多重积分: 累次积分(Fubini定理)、变量替换(雅可比行列式)的系统讲解,并展示其在计算质量、体积和概率密度函数中的威力。 5. 线积分与面积分: 格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的详细推导和应用,强调这些定理在保守场和流体力学中的核心地位。 第三部分:线性代数:结构与变换(第16-20章) 线性代数是现代科学的“语言”。本书将线性代数置于向量空间和线性映射的抽象框架下进行探讨,而非仅仅停留在矩阵的运算层面。 关键内容: 1. 向量空间与子空间: 线性无关性、基、维数的严格定义,理解抽象向量空间的性质。 2. 线性变换与矩阵表示: 线性映射的核与像,相似变换的意义。 3. 特征值问题: 特征值、特征向量的计算方法,并深入探讨对角化、若尔当标准型的理论意义,特别是其在系统稳定性分析中的作用。 4. 内积空间与正交性: 施密特正交化过程,正交投影,以及最小二乘法的原理,这直接连接到数据拟合与信号处理。 第四部分:常微分方程(ODE)的建模与求解(第21-24章) 本部分专注于描述动态系统的数学工具,侧重于理论分析和实际问题的求解策略。 关键内容: 1. 一阶ODE的解法: 各种特殊形式方程(如恰当方程、伯努利方程)的求解技巧。 2. 高阶线性常系数ODE: 齐次与非齐次方程的通解结构,利用特征方程分析系统的固有频率。 3. 参数变易法与常数法: 针对特定非齐次项的系统化解题流程。 4. 拉普拉斯变换及其应用: 利用拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程的强大技巧,尤其适用于带有初始条件的初始值问题和工程中的控制理论问题。 第五部分:初步的复变函数理论(第25-27章) 为后续接触控制论、流体力学和更高级的物理学打下基础,本部分引入复数域的分析工具。 关键内容: 1. 复数域函数与解析性: 柯西-黎曼方程,解析函数的性质。 2. 复变函数积分: 柯西积分定理和柯西积分公式的精妙之处,及其在路径积分中的应用。 第六部分:数学建模与计算思维(第28-30章) 本书的最后一部分强调“应用”和“思维”,将前述理论与实际计算紧密结合。 关键内容: 1. 数值逼近简介: 介绍牛顿法在高维优化中的扩展思想,以及数值积分的基本思想(如梯形法则和辛普森法则的推导,但侧重于其误差分析而非初级计算)。 2. 科学计算的视角: 如何利用矩阵分解(如SVD)来理解和简化复杂系统。 本书的特色 1. 理论深度与广度并重: 对关键定理(如中值定理、泰勒定理、Stokes定理)的证明力求严谨,而非简单地陈述公式。 2. 强调结构思维: 引导读者从向量空间、映射关系的角度理解数学结构,而不是孤立地处理公式。 3. 丰富的应用案例: 每章节后附有跨学科的深入案例分析,例如:电路分析中的暂态响应、市场供需模型的动态平衡、刚体运动的微分方程描述等。 4. 自成体系: 本书假设读者已经掌握了基础的算术和代数运算能力,直接构建在微积分的严格基础之上,专注于概念的升华和工具的集成。 《高等数学基础与应用》是通往更高级数学和科学研究的必经之路,它提供的不仅仅是计算技巧,更是一种严谨的、抽象的、面向应用的数学分析思维框架。

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读后感

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说实话,我购买这本书的初衷是想把它当作一个快速复习的工具,因为我已经很久没有碰过代数了。通常,复习材料的弊端在于它们往往过度简化,牺牲了深度来追求速度。但这部作品在保持效率的同时,却意外地展现了令人惊喜的深度。它并没有假设读者已经完全掌握了所有预备知识,而是用非常精炼的语言对基础概念进行了必要的重申,但重申的方式极具技巧性。比如,在处理有理表达式的运算时,它不是简单地重复公分母的方法,而是深入探讨了为什么在分数运算中“通分”是必须的,将问题提升到了数论的层面进行微小的拓展。这种“润物细无声”的拓展,让我在复习旧知识的同时,不自觉地接触到了更深层次的数学思想。让我印象特别深刻的是关于函数概念的引入。在很多教材中,函数往往被简化为 $f(x)$ 的符号游戏,而这本书则花了相当大的篇幅,通过“输入-处理-输出”的机器模型,以及描述运动轨迹、资源消耗等动态过程来阐述函数的本质——一种关系。这种对核心概念的深挖,使得原本感觉飘忽不定的函数概念,变得具体可感,这对于我这样需要快速恢复数学直觉的人来说,简直是雪中送炭。

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这本书的排版设计,绝对是现代教材中的一股清流,它成功地打破了人们对“代数书就是枯燥黑白印刷品”的刻板印象。封面设计简洁而不失力量感,采用了深邃的蓝色调,给人一种沉静思考的感觉。内页纸张的质感非常棒,即使在昏暗的灯光下阅读,文字边缘也锐利清晰,很少有反光刺眼的问题。更值得称赞的是,作者在关键概念的呈现上进行了精心设计。重要的定义和定理通常会被放置在一个带有浅色背景的边框内,并使用斜体或粗体突出显示,这使得在快速浏览或查找特定信息时,眼睛能迅速定位到核心内容。插图的使用也极为克制和精准,没有使用任何花哨或无关紧要的装饰性图画。所有的图示,无论是坐标系的绘制还是几何模型的示意,都直接服务于代数概念的阐释,每一条线、每一个标记点都有其明确的数学意义。这种对细节的极致追求,不仅提升了阅读体验,更潜移默化地训练了读者对清晰、有序的数学表达的欣赏能力,让人在学习的过程中保持一种愉悦的心情,而不是被视觉上的杂乱所干扰。

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我接触过好几本号称是“零基础入门”的代数教材,但它们大多在介绍完基础的加减乘除后,就迅速转向了对多项式的繁琐操作,让人望而生畏。而这本《Elementary Algebra》,它的叙事节奏感简直是教科书级别的典范。它似乎懂得读者的焦虑点,总是在你即将感到困惑的那个临界点,提供一个清晰的“桥梁”或者一个形象的比喻。我记得在学习因式分解时,我总是混淆平方差和完全平方公式。这本书的处理方式是,它首先用图形化的方式展示了因式分解,比如一个大正方形被分割成小块,通过面积的加减来推导出代数表达式,这种视觉化的引导效果立竿见影。随后,它才引入了那些看起来很“数学”的法则,但此时,读者已经在大脑中建立了对这些法则“为什么会这样”的直觉理解。作者在书中还穿插了一些历史小知识,比如代数符号是如何演变而来的,虽然这些内容对解题本身没有直接帮助,但它们成功地将代数从一个纯粹的工具提升到了一门学科的高度,激发了我对这门学科历史根源的好奇心。这本书的讲解语言非常注重逻辑的连贯性,每一个定理的提出都像是一个必然的结论,而不是一个凭空出现的规定,这种严谨但不失温度的讲解方式,是很多同类书籍所欠缺的。

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从一个习惯了在网络上寻找零散知识点的人的角度来看,这本《Elementary Algebra》最大的价值在于它的“结构化完整性”。互联网上的资源往往是碎片化的,你可能找到一个完美的负指数讲解视频,却找不到与之配套的练习和理论框架。这本书则提供了一个自洽且完整的知识闭环。它从最原始的算术法则开始,系统地构建起一个严密的逻辑大厦,最终可以平稳过渡到更高级的微积分预备知识。我注意到书中设计了一种“回顾与展望”的章节结构。在每学习完一个主要模块后,会有一个小结,不仅总结了本章内容,还会巧妙地暗示这些知识将在后续章节中如何被应用和扩展,比如提到“我们现在掌握了求解一元二次方程的方法,但在未来的学习中,我们将看到,更复杂的多变量方程组也需要用到类似的配方法”。这种预见性极大地增强了学习的动机,让读者感觉自己不仅仅是在解决眼前的习题,而是在进行一次有目的的知识探险。它不仅仅是一本“教你如何做”的书,更是一本“告诉你数学是如何思考”的引导手册,对于建立扎实的数学思维基础,它的贡献是无可替代的。

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这本书,坦率地说,拿到手的时候我心里是有点打鼓的。毕竟“初等代数”(Elementary Algebra)这个名字听起来就带着一股子陈旧的学术气息,我担心它会是那种塞满了枯燥定义和冗长证明的教科书。我更希望找到一本能让我真正理解代数思维,而不是仅仅学会解方程的工具书。然而,当我翻开第一章,我的疑虑很快就被打消了。作者的处理方式非常巧妙,他们没有急于抛出复杂的公式,而是从生活中的实际问题入手,比如如何分配预算、如何计算折扣,这些接地气的例子立刻拉近了我和数学的距离。书中对变量的引入,不是生硬地给出符号 $x$ 或 $y$,而是通过一个“未知数”的角色扮演,让读者代入思考,这极大地降低了初学者的心理门槛。尤其是对“负数”概念的讲解,他们没有停留在数轴上简单的左右移动,而是用“欠债”和“盈余”的场景进行深入比喻,使得原本抽象的运算规则变得直观易懂。更让我欣赏的是,每节课后都有大量的练习题,这些习题的难度梯度设置得非常合理,从基础的计算巩固到稍有挑战性的应用题,层层递进,让人感觉每一步都是在稳扎稳打地构建知识体系,而不是囫囵吞枣地往前赶进度。这本书的排版也相当清爽,公式和文字的留白恰到好处,长时间阅读也不会感到视觉疲劳,这对于需要长时间沉浸在数学世界里的读者来说,绝对是一个加分项。

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