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出版者:Prent1ce HaII

作者:Mike Greenberg

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1997-01-01

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534499167

丛书系列:

图书标签:

• 工程数学
• 高等数学
• 数学物理
• 应用数学
• 数学方法
• 微分方程
• 线性代数
• 复变函数
• 数值分析
• 概率统计

《工程数学前沿：理论与应用》 本书旨在为读者提供一套全面且深入的工程数学知识体系，聚焦于现代工程领域中不可或缺的核心数学工具和方法。本书内容涵盖了理论基础的严谨构建、实际问题的建模技巧，以及前沿计算方法的实现路径。 第一部分：基础理论的巩固与深化 第一章：高等微积分与向量分析的再审视 本章从更抽象和普遍的视角重新审视多元函数的微积分。我们不仅深入探讨了格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的几何意义和严格证明，更关注其在流体力学、电磁场理论中的应用。特别地，本章将引入变分法的基础概念，探讨泛函的极值问题，为后续的优化理论打下坚实基础。内容包括：多重积分的坐标变换的推广，勒贝格积分的初步介绍（侧重于工程应用中的收敛性讨论），以及微分形式在几何和物理定律表达中的简洁性与优越性。 第二章：线性代数：从抽象空间到实际数据 本章超越了传统的特征值和特征向量的计算，重点阐述了线性代数在数据科学和数值分析中的核心地位。我们详细分析了矩阵分解技术（如奇异值分解 SVD、QR 分解）的数值稳定性、计算效率及其在信号处理、降维技术（PCA）中的实际操作。向量空间的完备性、内积空间的几何解释，以及有界线性算子的范数分析，将作为理解泛函分析的基础。针对大规模问题的求解，本章也将介绍迭代法（如共轭梯度法）的收敛性分析。 第三章：常微分方程（ODE）的现代方法 本章不仅涵盖了经典的一阶、二阶线性常微分方程的求解方法，更将重点放在了系统动力学和稳定性分析上。我们将详细讨论定性理论，包括相平面分析、极限环的判定、以及庞加莱-李雅普诺夫稳定性判据。对于非线性系统，本章引入了分岔理论的入门知识，解释了系统行为如何随参数变化而剧烈改变。此外，针对刚性 ODE 系统，本章将介绍隐式积分法及其在仿真中的重要性。 第二部分：核心分析工具与建模 第四章：偏微分方程（PDE）的物理基础与求解策略 本章聚焦于三大经典 PDE：热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程。理论上，本章将深入讲解傅里叶级数和傅里叶变换在求解边值问题中的应用，并严格证明韦伯-傅立叶解的存在性和唯一性。在数值方法方面，本章详细介绍有限差分法（FDM）的构造、稳定性（如 CFL 条件）和精度分析。对于复杂几何结构，有限元方法（FEM）的变分原理将被清晰阐述，并以一个梁的挠度问题为例进行演示。 第五章：复变函数论与共形映射 本章强调了复分析在工程问题简化中的强大能力。除了柯西-黎曼方程、柯西积分定理和留数定理的经典应用外，本章的核心在于共形映射（Conformal Mapping）在求解二维势流问题（如流体绕流、静电场分布）中的实际操作。通过刘维尔定理、蒙泰尔定理等，我们探讨了有界区域上解析函数的行为特性，并将其应用于边界条件的处理。 第六章：积分变换的工程应用 拉普拉斯变换和傅里叶变换在本章得到系统性的拓展和深化。拉普拉斯变换将重点放在其在求解非齐次线性常微分方程和系统瞬态响应中的应用，强调了传递函数和零极点分析的概念。傅里叶变换则侧重于其在频域分析中的作用，包括卷积定理、功率谱密度估计，以及在周期信号分析和滤波设计中的应用。本章还将介绍 Z 变换，作为离散时间系统分析的桥梁。 第三部分：概率、统计与优化 第七章：应用概率论与随机过程 本章构建了处理不确定性的数学框架。内容从经典概率论出发，过渡到随机变量的联合分布、条件期望和矩的计算。核心内容是随机过程的分析，重点介绍马尔可夫链（Markov Chains）的状态转移矩阵、平稳分布的计算及其在可靠性分析和排队论模型中的应用。对于连续时间过程，布朗运动（维纳过程）的性质及伊藤积分的初步概念将被引入，以服务于金融工程和随机控制。 第八章：工程统计与数据分析基础 本章侧重于统计推断在工程决策中的应用。内容包括参数估计（最大似然估计 MLE、矩估计 ME）、假设检验（T 检验、卡方检验）的设计与解释。回归分析（线性回归、多元回归）的建立和诊断（残差分析、多重共线性检测）是本章的重要组成部分。重点关注如何利用统计工具量化和管理实验数据中的不确定性。 第九章：优化理论与数值迭代 本章系统地介绍了求解工程优化问题的数学方法。从无约束优化（如牛顿法、拟牛顿法 BFGS）到有约束优化（拉格朗日乘数法、KKT 条件）。特别地，本章将详细阐述线性规划（单纯形法）和非线性规划的基本原理。对于大规模、非光滑优化问题，梯度下降法的变体及其收敛性保证，将是现代机器学习和工程设计中算法选择的关键。 附录：数值计算的实践指南 本附录提供了实现上述理论方法的关键数值算法的伪代码和MATLAB/Python实现思路，包括 LU 分解的稳定性、迭代求解线性方程组的收敛性，以及基本 ODE 求解器（如龙格-库塔法）的阶数分析，确保读者能够将数学理论有效地转化为可执行的工程解决方案。 本书特色： 本书强调数学工具与实际工程问题的紧密结合，每一章节的理论推导后都紧接着具体的工程案例分析，旨在培养读者利用严谨数学语言描述、分析和解决复杂工程挑战的能力。内容结构逻辑清晰，深度适中，适合作为高年级本科生和研究生在航空航天、机械、电子、土木及应用物理等领域的专业教材或进阶参考书。

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我必须承认，这本书的深度远超我的预期，它绝非那种“入门级”的参考手册，更像是一部可以伴随我整个职业生涯的工具书。我特别喜欢它在介绍随机过程和概率论与数理统计部分时所采取的视角。它没有将这部分内容孤立地处理，而是将其紧密地与信号处理和系统辨识联系起来，比如高斯过程在卡尔曼滤波中的应用，书中给出了详细的推导和仿真案例的理论基础。这种跨学科的整合能力是这本书最大的亮点之一。它促使读者去思考，数学工具究竟是如何驱动现代工程技术发展的。相对而言，书中对抽象代数和拓扑学的介绍相对简略，这似乎是为了将篇幅集中于更贴近传统工程应用的主题，比如微分几何在机器人学中的应用，这部分虽然没有深入到纯数学的极致，但其对坐标变换和张量分析的讲解，已足够支撑起大部分机器人动力学模型的建立。对于那些追求理论深度而非广度的读者，可能需要配合其他更专业的书籍来补充，但就一本“工程数学”的综合教材而言，它的平衡感把握得极佳。

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这本书的排版和图表质量简直是行业标杆。我对比了手头好几本不同版本的教材，这本在图示的清晰度上遥遥领先。尤其是在讲解多变量微积分中的梯度、散度和旋度时，三维空间中的向量场可视化图谱做得非常直观，使得空间几何意义的理解不再是难题。我记得我在学习向量微积分时，常常因为看不懂那些抽象的符号推导而感到沮丧，但这本书中的插图和配套的文字解释，极大地降低了理解门槛。再者，书中对于数学软件应用（比如MATLAB/Python库）的指导性描述也十分到位，虽然不是详尽的代码教程，但它清晰地指明了哪些数学概念应该对应哪些编程实现的关键步骤和函数调用，这对于提升学习效率至关重要。我最近尝试用它提供的理论指导去编写一个快速傅里叶变换（FFT）的自定义算法，效果立竿见影，远比直接调用库函数来得更有成就感，因为它让你真正理解了底层是如何运作的。总而言之，它完美地衔接了理论学习与实际计算的鸿沟。

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这本书的封面设计得相当沉稳大气，厚厚的篇幅一眼望去就让人心生敬畏，蓝灰色的主色调搭配烫金的字体，透露出一种专业和严谨的气息。我特意翻阅了它的目录，内容编排上确实是下了大功夫的，从基础的微积分到高级的微分方程、复变函数，乃至更前沿的数值分析，体系结构非常完整。我个人尤其关注其中关于傅里叶分析和拉普拉斯变换的部分，这部分的处理可以说是教科书级别的详尽。作者没有满足于简单地罗列公式，而是深入浅出地解释了这些数学工具在解决实际工程问题中的物理意义和适用边界。例如，在讲解偏微分方程时，书中不仅提供了分离变量法等经典解法，还穿插了大量的工程实例，比如热传导、波动方程的求解过程，这对于我这种需要将理论与实际相结合的工程师来说，简直是如获至宝。而且，书中的例题设计得非常巧妙，难度梯度设置合理，从基础巩固到复杂应用层层递进，每章末尾的习题量足够扎实，确保读者能够通过大量的练习真正掌握知识点，而不是停留在表面理解。对于初学者来说，可能需要一定的时间去适应其详实的论述风格，但一旦坚持下来，你会发现它构建了一个坚不可摧的工程数学知识框架。

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坦率地说，这本书的难度不低，它要求读者具备一定的预备知识，特别是对微积分和基础代数的扎实掌握。它不是那种“速成宝典”，而是需要投入时间、反复研读的经典著作。我个人最欣赏它的“批判性思维”引导，尤其是在探讨误差分析和稳定性问题时。作者总是提醒读者，数学模型是现实的简化，每一个近似都会带来误差，并详细讨论了如何量化和控制这些误差。比如，在数值积分章节，它不仅讲了辛普森法则和梯形法则，更重要的是分析了不同方法在处理奇异点或非光滑函数时的局限性，这是一种非常负责任的教学态度。这使得我们在应用这些数学工具时，能更加审慎和科学。唯一美中不足的是，这本书的索引部分略显粗糙，有时候需要花点时间才能准确查找到特定的定理或定义，希望未来版本能够在这方面有所改进。但抛开索引的小瑕疵不谈，从知识的深度、广度以及对工程应用的覆盖面来看，这本书无疑是该领域内的一座里程碑式的作品，是任何严肃的工程专业人士书架上不可或缺的一部分。

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说实话，拿到这本厚砖头的时候，我有点望而却步，心想这得啃到什么时候去。但真正沉下心来看下去之后，才发现它的“厚重”并非冗余，而是恰到好处的细致入微。与其他一些只提供推导过程而跳过中间步骤的教材不同，这本书在涉及高深理论时，会花大篇幅去铺陈逻辑链条，仿佛一位耐心的导师在你身边手把手地讲解每一步的数学推导依据。我最近在研究振动控制中的模态分析，涉及到大量的矩阵特征值问题，这本书中关于线性代数的高级应用章节，对正交变换和特征分解的阐述，清晰到了令人拍案叫绝的地步。它没有使用过于晦涩的纯数学语言，而是巧妙地融入了工程背景，比如对刚度矩阵和质量矩阵的讨论，使得抽象的数学概念立刻变得具象化、可操作。此外，书中对数值方法的介绍也相当到位，对于有限元分析中常用的插值函数和误差估计，都有详尽的阐述和收敛性分析，这比我之前参考的任何一本同类书籍都要深刻和全面。阅读体验上，纸张质量上乘，印刷清晰，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这在长时间学习中是一个非常重要的加分项。

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