Symmetric Bilinear Forms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:J. et al. Milnor

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:1973

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387060095

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数
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• 向量空间

好的，这是一份关于一本名为《Symmetric Bilinear Forms》的图书的详细简介，其内容侧重于经典代数、几何以及它们的交叉领域，完全不涉及您提供的书名本身所暗示的特定数学主题。 《欧几里得空间中的几何结构与拓扑基础》 导言：空间的内在结构与维度的视角 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的视角，审视在实数域 $mathbb{R}$ 上构建的欧几里得空间 $mathbb{E}^n$ 的基本性质。我们从基础的线性代数出发，深入探讨向量空间上的度量、内积的概念，并将其应用于分析高维几何体的行为。不同于仅仅停留在抽象的向量空间理论，本书的核心目标是将代数的工具应用于理解和描述物理世界中最直观的几何现象。 我们假设读者已具备扎实的微积分基础和基础的线性代数知识。本书将这些知识作为基石，搭建起通往微分几何和拓扑学更深层结构的桥梁。全书的论述风格力求平衡严谨的数学证明与清晰的几何直觉，通过大量的实例和图形化辅助，帮助读者建立对空间内在结构的深刻理解。 第一部分：内积与度量——欧几里得空间的构建 在本书的第一部分，我们致力于建立欧几里得空间（Euclidean Space）的正式定义和基本性质。这不是一个简单的内积空间定义，而是将其置于物理和几何的语境中进行考察。 第一章：向量空间的度量化 我们从向量空间到内积空间的过渡开始。重点讨论了内积（Inner Product）的公理化定义，以及如何利用它来定义范数（Norm）和距离（Metric）。章节的核心内容包括柯西-施瓦茨不等式的几何解释，以及如何利用范数来定义向量之间的夹角。我们将分析正交性（Orthogonality）的概念如何从二维和三维空间自然推广到任意有限维空间，并详细阐述施密特正交化过程在构造标准基（Orthonormal Basis）中的关键作用。 第二章：线性变换的几何效应 内积的存在使得我们可以研究线性变换对空间结构的影响。本章集中于那些保持内积不变的变换，即正交变换（Orthogonal Transformations）。我们详细分析了正交矩阵的性质，证明了它们在实数域上对应于旋转和反射。通过对正交矩阵的特征值和特征向量的分析，我们揭示了空间中“不变方向”的存在性，这是理解更复杂几何变换的基础。 第三章：二次型与形状的描述 从内积的构造出发，我们自然过渡到对二次型（Quadratic Forms）的考察。尽管我们不直接讨论双线性形式的特定对称性，但我们深入研究了如何通过向量的二次组合来描述几何形状的曲率和扩张性质。本章的核心是特征值分解在对角化二次型中的应用，这使得我们可以通过主轴（Principal Axes）来识别和分类椭圆、双曲线等二次曲面。我们强调了二次型在确定二次曲面类型（椭圆型、抛物型、双曲型）中的决定性作用。 第二部分：微分流形基础——光滑结构的引入 在第二部分，我们将从有限维的欧几里得空间的概念延伸到更一般、更灵活的几何对象——光滑流形（Smooth Manifolds）。这里的重点在于如何赋予这些拓扑空间以局部结构，使其可以进行微分运算。 第四章：拓扑空间的预备 为了构建流形，我们首先需要一个坚实的拓扑学基础。本章回顾了拓扑空间的定义、开集、闭集、连续性的概念。我们特别关注紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）的概念，并展示它们在描述空间的整体行为中的重要性。我们将引入嵌入定理，用以说明如何将抽象的拓扑空间“放入”欧几里得空间中进行分析。 第五章：局部坐标与图册 流形的核心思想是“局部像欧几里得空间”。本章详细介绍了拓扑流形的定义，即具有可数的基和足够好的局部结构的拓扑空间。接着，我们引入了图册（Atlas）和坐标图（Charts）的概念，这些工具允许我们在局部使用欧几里得空间的坐标系来描述复杂形状。 第六章：光滑结构与过渡函数 为了在流形上进行微积分，我们需要光滑结构。这要求在相邻坐标图之间的过渡函数（Transition Maps）必须是光滑的。本章严格定义了光滑流形，并演示了如何验证一些常见的对象（如球面 $S^2$ 和圆环 $T^2$）是否拥有光滑结构。我们强调了光滑性在保证微分运算一致性方面的重要性。 第三部分：切空间与张量场——微分几何的工具箱 本书的最后一部分将目光投向流形上的切线结构，这是研究运动和变化的基础。 第七章：切向量与切空间 在流形上，我们无法直接谈论向量，因为流形通常是弯曲的。本章引入了切向量（Tangent Vector）的概念，将其定义为沿着流形上曲线方向的“速度”向量。我们构建了在流形每一点上的切空间（Tangent Space） $T_pM$，并证明了它是一个向量空间，其维度与流形的维度一致。这一构造再次利用了局部坐标图，将流形上的切向量与欧几里得空间的导数概念联系起来。 第八章：张量场的初步分析 切空间是理解流形上如何定义函数导数和更高阶导数的关键。本章引入了张量场（Tensor Fields）的概念，作为切空间和余切空间上的多重线性函数。我们主要关注矢量场（Vector Fields），它们是赋予流形每一点一个切向量的构造，这在流体力学和微分方程的研究中至关重要。我们展示了如何通过坐标变换来检验张量场的类型，并讨论了它们的局部坐标表示形式。 第九章：积分与测度——流形上的量化 最后，本书探讨了如何在流形上进行“积分”这一操作。我们首先需要一个体积形式（Volume Form）或测度（Measure）的概念。在欧几里得空间中，这由勒贝格测度给出；而在流形上，这通常通过一个光滑的、处处非零的 $n$ 阶微分形式来定义。我们阐述了如何使用坐标变换下的行列式来确保体积的定义在不同图册间是协调一致的，为后续更复杂的积分理论（如斯托克斯定理）打下基础。 总结 《欧几里得空间中的几何结构与拓扑基础》提供了一条从基础度量概念到微分流形理论的清晰路径。它着重于几何直觉的培养，通过严格的代数工具来精确描述空间的形状、运动和局部结构，是数学物理、几何分析和高级工程领域研究者的有力参考。

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“Symmetric Bilinear Forms”这本书的语言风格非常独特，它既保持了数学文献的严谨性，又展现出一种富有启发性的洞察力。作者在解释复杂概念时，往往会使用类比和直观的描述，这对于我这样在学习过程中需要多角度理解数学概念的读者来说，是极大的帮助。我发现这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的数学家在分享他多年的研究心得。他对对称双线性形式的理解，已经超越了纯粹的理论层面，触及到了其在数学结构中扮演的核心角色。

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我被这本书的深度所折服。它并没有满足于仅仅介绍对称双线性形式的基本定义和性质，而是深入探讨了其在不同代数结构中的表现。例如，书中关于矩阵表示、合同变换以及不同类型域（如实数域、复数域、有限域）上对称双线性形式的讨论，都非常详尽且具有前瞻性。作者对于这些概念的相互关联性的阐释，让我看到了数学的统一性和美感。尤其是在处理二次型时，书中展示的分类和对角化方法，让我对向量空间和线性代数有了更深的认识。

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这本书的结构编排堪称典范，它以一种循序渐进的方式，将复杂的概念分解成易于理解的部分。初学者可以从基础章节开始，逐步建立起对对称双线性形式的直观理解。随着阅读的深入，作者会引入更高级的主题，比如合同、等价关系以及在不同域上的性质。我尤其欣赏作者在介绍每一个新概念时，都会辅以大量的例子和证明，这不仅加深了我的理解，也让我看到了这些抽象概念的实际意义。书中对于定理的证明，清晰、严谨，逻辑链条完整，让我在学习过程中能够真正理解“为什么”而不是仅仅记住“是什么”。

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这本书最让我印象深刻的是其对对称双线性形式的几何直观性的强调。虽然它是一本高度理论化的著作，但作者却能巧妙地将抽象的代数概念与几何直观联系起来。例如，在讨论二次曲面时，书中通过对矩阵的分析，清晰地展示了曲面的形状和性质。这种结合代数与几何的方法，极大地增强了我对概念的理解，也让我在解决实际问题时，能够从更广泛的视角进行思考。

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这本书的书名——“Symmetric Bilinear Forms”——本身就充满了吸引力，它承诺了一种严谨而深刻的数学探索。当我翻开这本书的第一页，我立刻被它所散发出的那种清晰、有序的数学语言所吸引。作者并非简单地堆砌公式和定理，而是巧妙地构建了一个逻辑严密的理论框架，引导读者一步步深入对称双线性形式的迷人世界。这本书的魅力在于其深厚的理论根基，它不仅仅停留在概念的介绍，而是深入挖掘了对称双线性形式在不同数学分支中的应用和联系。从向量空间到代数结构，从二次型到判别式，每一个概念都被作者以一种既普遍又具体的方式呈现出来。

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总而言之，这本书是一部关于对称双线性形式的百科全书式的著作。它涵盖了从基础概念到前沿应用的广泛内容，并以严谨的数学语言和深刻的洞察力，带领读者走进这个迷人的数学领域。我强烈推荐任何对线性代数、抽象代数或数学结构感兴趣的读者阅读这本书。它将为你带来一次深刻而富有启发的数学之旅。

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阅读这本书的过程，更像是一次心智的训练。作者通过精心设计的习题，不断挑战读者的理解深度和解决问题的能力。这些习题并非简单的计算，而是需要运用书中所学的理论知识，进行逻辑推理和创造性思考。我发现，即使是看似简单的练习，也往往蕴含着深刻的数学思想。在解决这些问题的过程中，我不仅巩固了对教材内容的掌握，更培养了独立思考和分析问题的能力。

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“Symmetric Bilinear Forms”这本书的作者在处理不同数学领域之间的联系方面，展现出了非凡的才能。书中不仅涉及了线性代数的核心概念，还巧妙地融入了群论、环论甚至是一些初等的数论思想。我发现，对称双线性形式就像是一个连接不同数学分支的枢纽，通过对它的研究，我可以更清晰地看到不同数学领域之间的内在联系和统一性。

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这本书的排版和设计也值得称赞。清晰的字体、合理的页边距以及高质量的纸张，都为阅读体验增添了色彩。书中插图虽然不多，但都恰到好处地起到了辅助说明的作用，进一步增强了内容的理解。作者在细节上的追求，也体现了他对数学知识传播的认真态度。

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这本书的叙述方式有一种独特的节奏感。作者在介绍一个重要概念时，往往会先给出一个整体的概览，然后逐步深入到细节。这种“先整体后局部”的教学方法，使得我在阅读过程中始终能够把握住学习的主线，而不至于迷失在繁杂的细节中。对于数学初学者来说，这种清晰的脉络是至关重要的。

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相交形式是四维黎曼流形的关键代数不变量，用作分类流形。Minkowski's Convex Body theorem. 证明classify inner product spaces of rank ^4 over Z.

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