Newton's Method Applied to Two Quadratic Equations in C2 Viewed as a Global Dynamical System (Memoir pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:John H. Hubbard

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:2007-12-28

价格:USD 67.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821840566

丛书系列:memoirs of the american mathematical society

图书标签:

• Newton's method
• Quadratic equations
• Dynamical systems
• Global analysis
• C2 space
• Mathematical analysis
• Iteration
• Convergence
• American Mathematical Society
• Memoirs

《牛顿法在二维二次方程组中的应用：一个全局动力学系统的视角》（美国数学会回忆录）图书简介 本书深入探讨了牛顿迭代法在求解二维二次方程组时所展现出的丰富而复杂的动力学特性。传统上，牛顿法常被视为一种局部收敛的数值工具，用于逼近特定解。然而，本书的研究超越了这一局限，将该过程提升至一个全局动力学系统的层面进行剖析，尤其关注了在整个复平面（$mathbb{C}^2$）上迭代轨迹的行为模式。 核心研究范畴与方法论 本书的核心目标在于系统地揭示牛顿法的全局动力学结构，这涉及对迭代函数流的拓扑特性、收敛区域的划分，以及系统中可能存在的周期性、混沌性行为的深入分析。研究对象是形如以下形式的方程组： $$ egin{cases} P(z_1, z_2) = 0 \ Q(z_1, z_2) = 0 end{cases} $$ 其中 $P$ 和 $Q$ 是定义在 $mathbb{C}^2$ 上的二次多项式。牛顿迭代的每一步都会将 $mathbb{C}^2$ 中的一个点映射到下一个点，形成一个离散的动力学系统。 1. 动力学空间构建： 本书首先构建了牛顿迭代映射 $N: mathbb{C}^2 o mathbb{C}^2$ 的动力学空间。这不仅仅是关于寻找根的问题，而是关于理解从任意初始点出发的迭代序列 $mathbf{x}_{k+1} = N(mathbf{x}_k)$ 的极限归宿。 2. 收敛性与捕获域： 传统的分析集中于局部线性收敛性。本书则详细考察了系统中所有根的“捕获域”（Basins of Attraction）。对于高维系统，捕获域的边界通常是高度复杂的结构。本书利用现代复动力学理论的工具，描述了这些边界的几何特性，探讨了它们是否具有分形结构，以及如何通过数值和解析方法来刻画这些区域的拓扑连接性。 3. 奇异点与临界点的分析： 在动力学系统中，迭代函数雅可比矩阵奇异的点（即牛顿函数的“奇异点”）扮演了至关重要的角色。这些点往往是系统行为发生剧烈变化的区域，也是捕获域边界可能存在的关键位置。本书对这些奇异点（对应于原始方程组的解和某些特殊零点）的性质进行了详尽的分类和分析，特别是它们如何影响迭代流的稳定性。 4. 高维拓扑与不变流： 针对 $mathbb{C}^2$ 这一二维复空间（实四维空间），作者发展了一套适用于高维复迭代系统的分析技术。这包括探索不变流（Invariant Flows）——即沿着迭代方向的局部流线——的结构，以及如何利用这些流线来理解系统的全局拓扑结构，例如是否存在周期轨道、准周期运动或混沌吸引子。虽然二次方程组的牛顿迭代通常被认为会收敛到代数解，但对于某些病态的初始值，系统可能表现出复杂的非线性行为，本书对此进行了细致的考察。 二次方程组的特殊性 选择二次方程组作为研究对象具有特殊的意义。二次多项式在代数上是最基础的非线性函数，但当它们组合成一个方程组时，其迭代动力学远比一元二次方程的牛顿法（即朱利亚集研究）要复杂得多。 根的结构： 二次方程组通常拥有有限个解。本书分析了这些解作为动力学系统不动点的稳定性（吸引子、排斥子或鞍点）。 复杂度增长： 从一元（$mathbb{C}^1$）到二元（$mathbb{C}^2$）的推广，使得系统的自由度大大增加，这直接导致了捕获域边界的复杂性呈指数级增长。书中通过具体的例子展示了如何通过代数简化和规范形理论来处理这种维数增加带来的挑战。 对数值计算的贡献 虽然本书侧重于理论分析，但其结果对高精度数值计算具有直接的指导意义。 鲁棒性评估： 了解捕获域的形状和边界位置，可以帮助设计更鲁棒的初始点选择策略，以确保算法能够快速、可靠地收敛到期望的根，避免陷入不稳定区域或长时间的徘徊。 算法设计： 对奇异点和不稳定流动的理解，有助于开发修正的牛顿法或混合方法，以处理那些传统牛顿法难以收敛的“困难”区域。 总结 《牛顿法在二维二次方程组中的应用：一个全局动力学系统的视角》是一部面向高级研究人员和数学物理专业学生的专著。它系统地将代数几何、复分析与动力系统理论相结合，为理解数值迭代方法背后的深层数学结构提供了严谨而深刻的框架。本书不仅填补了高维牛顿法全局动力学研究的空白，也为探索更一般、更高阶多项式方程组的数值行为奠定了坚实的理论基础。其内容侧重于解析性的动力学描述，而非单纯的数值模拟报告。

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这本书的书名，仿佛是一张精心绘制的藏宝图，指引着通往数学深处宝藏的道路。牛顿法，一个我早已熟悉的名字，在这里被赋予了“全局动力系统”的视角，这瞬间提升了它的格调和研究的深度。C2，这个我所理解的数学空间，将成为两个二次方程展开一场关于“生命”的演出的舞台。我好奇作者是如何将这两个看似独立的数学概念——牛顿法的迭代过程和动力系统的全局行为——巧妙地结合在一起的。书中很可能涉及到对相空间的探索，对各种初始点如何随着时间的推移而演化，并最终归宿的分析。我期待看到一些关于收敛速度、关于吸引域的细致讨论，以及对于那些可能出现的特殊情况，例如周期性轨道，甚至是不规则运动的深入剖析。这本书的名字本身就传递出一种对数学系统内在规律和演化机制的探索欲望，这正是吸引我想要深入了解的。

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这本书的封面设计就散发着一种严谨而引人入胜的气息，让人立刻联想到数学的深邃与抽象。书名本身就充满了挑战性：“牛顿法应用于C2中的两个二次方程，作为全局动力系统”。这立刻勾勒出一个复杂而迷人的数学场景。C2，那个抽象的空间，两个二次方程，这些基本元素在牛顿法的视角下，展开成了一个动态的宇宙。我无法想象其中蕴含的精妙之处，但仅仅是这个构想，就足以让对数学物理、对混沌理论、对数值分析感兴趣的读者心潮澎湃。想到牛顿法，往往与求解方程的迭代过程联系在一起，但将其提升到“全局动力系统”的层面，则预示着对系统整体行为、对吸引子、对分岔以及可能存在的混沌现象的深入探索。这本书无疑是一扇通往更广阔数学世界的窗户，它不仅仅是关于一个具体的数学工具，更是关于如何用动态的眼光审视看似静态的数学对象，并从中发现隐藏的规律和美感。我期待着书中能够带来那些颠覆性的见解，那些能够拓展我们对数学本质理解的深刻论述。

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标题中的“全局动力系统”几个字，瞬间就将我的思绪从一个静态的方程求解拉到了一个动态的、充满可能性的世界。牛顿法，一个大家熟知的迭代工具，在这里不再仅仅是为了找到一个点，而是为了观察整个系统的“生命迹象”。C2中的两个二次方程，这两个基础的代数结构，在动态系统的框架下，必然会衍生出极其丰富和复杂的行为。我期待这本书能够揭示出，这些方程在不同初始条件下的长期演化路径，以及它们可能形成的各种吸引子。是否会有那些意想不到的周期性行为，或者甚至是混沌的边界？书中可能还会探讨牛顿法的收敛性质，但更侧重于从整体上把握系统的动态特性。我设想着书中会充斥着精妙的数学证明，以及对于这些证明背后蕴含的直观意义的解读，或许还会辅以一些能够直观展现系统演化的图形。这本书无疑是对数学世界一次深入的、动态的审视。

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这本书的书名，如同一则来自数学彼岸的召唤，激起了我对其中奥秘的好奇。牛顿法，这个我曾反复运用过的求解工具，在这里被赋予了“全局动力系统”的视角，这让我看到了它更为宏大和深刻的应用。C2这个空间，两个二次方程，这些看似简单的数学元素，在动态系统的框架下，定然会展现出令人惊叹的复杂性和丰富的演化规律。我预感书中将深入探讨牛顿法在探索方程组全局行为方面的能力，揭示不同初始点如何影响方程组的最终“命运”。是否会有对吸引域的精细描绘，对周期性轨道和混沌行为的细致分析？这本书的书名本身就暗示了一种对数学系统内在动力学和演化机制的深刻探究，这无疑是吸引我深入阅读的关键。我期待书中能够提供那些能够拓展我们对数学系统理解的全新视角和深刻见解。

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当我初次瞥见这本书的标题，我的脑海中立即浮现出了一幅由无数个迭代点绘制成的复杂图形。牛顿法，作为一种经典的数值求解方法，在这里被赋予了全新的生命力，不再仅仅是孤立方程的解算器，而是成为了观察一个“全局动力系统”的放大镜。C2，这个我既熟悉又感到一丝敬畏的空间，成为了研究的舞台。而两个二次方程，这两个看似简单的代数结构，在动态系统的框架下，必将展现出令人惊叹的复杂性。我猜测书中会涉及大量的几何可视化，用以揭示系统在不同初始条件下的收敛路径，以及这些路径最终指向的吸引子。是否会有一些令人意想不到的吸引子出现？是否会存在那些“敏感地依赖于初始条件”的区域，暗示着混沌的存在？这本书的书名本身就充满了哲学意味，它邀请我们思考，即使是简单的数学对象，在动态的视角下，也能展现出无尽的复杂与美丽。我想象着作者如何将抽象的数学概念，通过严谨的推导和可能的图形辅助，变得生动而有洞察力。

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