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出版者:

作者:乔宝明 编

出品人:

页数:210

译者:

出版时间:2009-8

价格:26.00元

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isbn号码:9787561226421

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好的，这是一份关于一本名为《偏微分方程及数值解》的书籍的简介，内容详尽，旨在描绘一本深入探讨偏微分方程理论与计算方法的教材或专著的特点。 --- 图书简介：现代分析与计算的桥梁——《偏微分方程及数值解》 导言：跨越理论与实践的鸿沟 本书旨在为读者提供一个系统、深入且富有洞察力的学习平台，以掌握现代数学物理和工程领域中至关重要的偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）的理论基础及其高效的数值求解技术。偏微分方程是描述自然界中各种连续介质现象（如热传导、流体力学、电磁学、量子力学等）的数学语言。理解这些方程的物理意义、精确解的性质，并发展出可靠的数值方法来处理复杂边界条件和非解析情形，是当代科学研究和工程设计不可或缺的核心技能。 本书的结构设计巧妙地平衡了理论的严谨性与计算方法的实用性。它不仅覆盖了经典 PDE 理论的基石，更着重于将理论知识转化为可操作的计算算法，是连接纯数学分析与应用计算科学的坚实桥梁。 第一部分：偏微分方程的理论基石 本书的开篇部分致力于构建坚实的理论框架。我们将从一维常微分方程（ODE）的解法回顾入手，平稳过渡到二阶线性偏微分方程的分类与基本性质研究。 1. 经典方程的解析解法： 重点讲解了三大类经典的、具有代表性的偏微分方程： 热传导方程（抛物型）： 深入探讨热的扩散过程，详细剖析热源、初始条件和边界条件对解的正则性和稳定性的影响。首次引入傅里叶变换和拉普拉斯变换在求解无限域或半无限域问题中的应用。 波动方程（双曲型）： 分析波的传播特性，从一维弦的振动模型出发，引出达朗贝尔（d'Alembert）公式的推导。讨论驻波、行波的特性，以及奇性如何随时间传播的现象（如特征线理论的初步介绍）。 拉普拉斯/泊松方程（椭圆型）： 考察稳态问题的本质，如静电势、稳态热分布等。详细讲解最大值原理（Maximum Principle）的重要性，该原理是判断解唯一性和稳定性的关键工具。 2. 泛函分析与弱解概念的引入： 为了处理不具备光滑解的实际问题（例如存在尖锐的几何边界或强不连续的源项），本书超越了传统意义上的“点态解”，引入了更具包容性的弱解（Weak Solution） 概念。这部分将系统介绍必要的函数空间理论，特别是索伯列夫空间（Sobolev Spaces，$W^{k,p}$），并阐述变分原理在椭圆型方程中的核心地位。通过能量法的视角，读者将理解为何弱解是物理意义上更本质的解。 3. 适定性理论： 对经典方程的适定性（Well-posedness）进行深入探讨，包括解的存在性、唯一性和解对初始/边界数据的连续依赖性。这部分内容为后续数值方法的稳定性分析奠定了理论基础。 第二部分：偏微分方程的数值逼近与计算 理论的完备性必须辅以强大的计算工具。本书的第二部分是全书的重点之一，系统地介绍了处理复杂几何和非解析条件的现代数值方法。 1. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： 这是最直观的数值方法。本书详细讲解了如何利用泰勒展开构建高精度差分格式。 离散化过程： 对抛物型、双曲型和椭圆型方程，分别推导和分析一阶、二阶显式和隐式格式。 稳定性分析： 运用冯·诺依曼稳定性分析方法（Von Neumann Stability Analysis），严格论证了显式格式的稳定域限制（如CFL条件），并对比了无条件稳定隐式格式（如Crank-Nicolson格式）的优势与局限。 网格收敛性： 讨论局部截断误差和全局收敛误差的关系，强调了网格划分对计算结果精度的影响。 2. 有限元法（Finite Element Method, FEM）： 有限元法因其处理复杂几何边界和自适应网格的能力，在工程领域占据主导地位。 基础框架： 从变分形式出发，系统阐述伽辽金法（Galerkin Method）的原理，包括选择形函数（Test Functions）和基函数（Basis Functions）。 单元构建： 详细讨论了标准单元（如三角形、四边形）上的积分计算和刚度矩阵（Stiffness Matrix）的组装过程。 高级主题： 简要介绍更高阶的形函数（如二次插值）以及在处理对流主导问题时遇到的困难（如对流-扩散方程的数值耗散问题）。 3. 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）： 特别适用于守恒型方程（如流体力学中的欧拉方程或纳维-斯托克斯方程），强调通量守恒的物理特性。 积分形式的离散化： 讲解如何对方程的积分形式进行空间平均，并将通量项转化为界面上的值。 通量计算： 讨论了黎曼求解器（Riemann Solvers）在处理激波和接触间断等强不连续解中的关键作用。 第三部分：高级主题与前沿应用 为了拓宽读者的视野，本书的最后一部分探讨了更具挑战性的问题和计算工具。 1. 间断解的数值处理： 针对双曲型方程中可能出现的激波、稀疏波等间断现象，专门分析了传统的有限差分和有限元方法在此类问题上的局限性，并引入了不连续有限元法（Discontinuous Galerkin, DG） 和有限体积法中高分辨率格式（如MUSCL、ENO/WENO）的概念，以保证解在间断处的精度而不引入有害的振荡。 2. 大型线性系统的求解： 无论是 FDM 还是 FEM，最终都会导向求解大规模稀疏线性代数方程组。本书将区分直接法（如LU分解）和迭代法。重点介绍高效的迭代求解器，如共轭梯度法（CG）、双共轭梯度法（BiCGSTAB）以及预处理技术（Preconditioning，特别是代数多重网格法AMGM的原理），这些技术是解决实际工程问题的关键。 3. 基础并行计算策略： 简要介绍如何将 PDE 求解算法移植到现代并行计算架构上，如域分解法（Domain Decomposition）的基本思想，为读者接触高性能计算（HPC）打下初步基础。 适用对象与学习目标 本书内容涵盖了从理论基础到先进计算方法的完整路径，非常适合： 高等数学、应用数学、计算数学专业本科高年级学生及研究生。 物理学（理论物理、凝聚态物理）、工程学（航空航天、土木、流体力学、热工）的研究人员和工程师。 完成本书的学习后，读者将不仅能深刻理解偏微分方程背后的物理机制和数学结构，更能熟练运用多种先进的数值方法，独立构建和分析复杂的物理模型的计算方案。本书致力于培养解决实际工程和科学难题的分析能力和计算实践能力。

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说实话，拿到《偏微分方程及数值解》这本书的时候，我抱着一种半信半疑的态度。作为一名对数学理论颇感兴趣的学生，我一直觉得偏微分方程的世界既迷人又令人望而生畏，而数值解部分更是让我觉得如同雾里看花。这本书是否能够真的拨开迷雾，让我看到清晰的求解思路呢？我特别留意了书中关于数学背景的介绍，希望它能以一种循序渐进的方式，梳理清楚必要的数学基础，而不是上来就扔一堆我难以理解的符号和定理。在数值方法方面，我期望它能不仅仅是列出公式，更能阐释算法背后的逻辑，比如为什么有限元法能够处理复杂的几何形状，或者有限差分法的精度是如何通过网格细化来提升的。更重要的是，我希望书中能有关于数值稳定性、收敛性和误差分析的讨论，这些对于理解数值方法的可靠性至关重要。如果这本书能够提供一些编程练习，并且能够解释如何用常见的编程语言（如Python、MATLAB）来实现这些算法，那将对我学习和应用这些知识大有裨益。我希望这本书能成为我理解偏微分方程数值求解的“入门圣经”，让我能够从理论的海洋中找到通往实际应用的航道。

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作为一名已经接触了几年偏微分方程数值解的研究者，我一直在寻找一本能够深化我理解的书。《偏微分方程及数值解》这个标题非常贴合我目前的学习需求。我希望这本书能够提供比我现有教材更深入的理论分析，特别是在数学 rigor 方面。例如，对于离散化误差的分析，我希望看到更严谨的证明过程，以及如何通过理论分析来预测和控制误差。同时，我对于一些更复杂的数值方法，如谱方法、无网格方法等，也希望能有所了解。书中是否会介绍这些方法的原理和适用范围？此外，对于如何处理不规则几何区域、高维问题以及耦合方程组，我希望能从中找到更系统化的解决方案。很多时候，实际问题远比教科书上的简单模型要复杂得多，一本好的书应该能够引导读者应对这些挑战。我也很关注书中是否会讨论数值方法的效率问题，例如如何选择合适的数据结构、算法优化策略以及并行计算的实现方法，以提高求解大型问题的速度。如果书中能够提供一些关于软件实现方面的建议，或者对现有开源数值软件的优缺点进行评价，那将更加有价值。

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《偏微分方程及数值解》这本书，我真是抱着极大的期待去翻阅的。作为一名在工程领域摸爬滚打多年的老兵，我深知偏微分方程在模拟和预测现实世界现象中的重要性，从流体动力学到热传导，再到电磁场分析，它们无处不在。然而，理论上的优雅往往伴随着求解的艰辛。我对这本书的期望，是它能提供一条清晰的路径，将那些抽象的数学语言转化为可执行的计算方法。我尤其关注书中是否能够深入浅出地介绍一些主流的数值方法，例如有限差分法、有限元法、有限体积法等，并且能够对这些方法的原理、优缺点以及适用范围有详尽的阐述。同时，我也希望书中能包含一些实际案例，通过具体的例子来展示如何运用这些数值方法解决工程问题，并能提供一些代码示例，以便我能尽快上手实践。对于那些初学者来说，一本好的教科书应该能够引导他们逐步理解算法的精髓，而不是仅仅停留在公式的堆砌。我期待这本书能够成为我手中宝贵的工具，帮助我解决在科研和工程实践中遇到的复杂计算难题，并能在理解数学模型和数值算法之间架起一座坚实的桥梁。

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最近对《偏微分方程及数值解》这本书产生了浓厚的兴趣。作为一个经常需要借助计算工具来解决问题的工程师，我深知偏微分方程在建模中的基础性作用，但常常被其求解的复杂性所困扰。我特别希望这本书能够清晰地阐释各种数值方法的内在逻辑，而不仅仅是给出一堆公式。例如，当介绍有限元方法时，我希望能理解“单元”、“形函数”、“刚度矩阵”等概念是如何构建起来的，以及它们在求解过程中扮演的角色。我也对书中是否会涵盖一些针对特定类型偏微分方程（如Navier-Stokes方程、热传导方程）的特有数值解技巧充满期待。此外，我非常关注这本书的实用性和操作性。是否会提供一些计算实例，展示如何一步步地构建模型、选择方法、编写代码并解释结果？对于初学者来说，能够有配套的代码示例，甚至是一些可以运行的示例程序，将是极大的帮助。我对书中关于如何评估数值解的准确性和可靠性的部分也十分感兴趣，这直接关系到我们在工程决策中的信心。我希望能从这本书中获得一套实用的工具箱，让我能够自信地面对各种偏微分方程的求解挑战。

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这本书的出现，恰好填补了我近期在工作中遇到的一个知识空白。《偏微分方程及数值解》这个书名本身就非常有吸引力，因为在我的研究方向中，很多现象的描述都离不开偏微分方程，而要得到实际的解决方案，数值计算又是必不可少的环节。我特别想知道，书中是如何处理不同类型的偏微分方程的，比如抛物型、双曲型和椭圆型方程，它们的数值求解方法上是否存在显著的差异？书中对这些差异是否有深入的讲解和对比？另外，我对于一些高级的数值技术，例如自适应网格细化、多分辨率分析以及并行计算在求解大型复杂问题中的应用，也充满了好奇。是否能够提供一些关于这些前沿技术的介绍和讨论？我的一个重要关注点是，书中是否能够提供一些关于算法选择的指导原则，帮助使用者根据问题的具体特点（如方程类型、边界条件、几何形状、精度要求等）来选择最合适的数值方法。如果书中能够包含一些实际应用的案例研究，展示如何将理论知识转化为解决实际工程或科学问题的具体步骤，这将极大地提升这本书的实用价值。

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