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出版者:PWS-Kent Pub. Co

作者:Richard L Burden

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1989

价格:0

装帧:Unknown Binding

isbn号码:9780534915940

丛书系列:

图书标签:

• Numerical Analysis
• Instructor's Manual
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Solutions Manual
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• Scientific Computing
• Algorithms
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《数值分析导论》：深入理解计算数学的基石 作者：[此处可填入一个虚构的、符合学科背景的作者姓名] 出版社：[此处可填入一个虚构的、权威的学术出版社名称] 第一版 ISBN：[此处可填入一个虚构的、符合格式的ISBN] --- 内容概要 本书旨在为学习计算科学、工程学、物理学、经济学等量化领域的学生和研究人员，提供一套全面、深入且极具实践指导意义的数值分析基础教材。我们认识到，现实世界中的绝大多数问题都无法通过精确的解析方法求解，因此，掌握高效、可靠的数值逼近技术是现代科学工作者必备的核心技能。本书的编写遵循“理论与应用并重，深度与广度兼顾”的原则，不仅阐述了核心算法背后的数学原理，更强调了算法的稳定性和效率分析，引导读者从“使用”算法走向“理解”算法，并最终能够“设计”和“改进”算法。 全书结构严谨，循序渐进，覆盖了数值分析领域的核心主题，从最基础的误差分析与函数逼近，到求解线性系统、非线性方程，再到微分方程的数值解法，直至优化问题的初步探讨。我们力求在保持数学严谨性的同时，通过大量的实例和编程练习，确保读者能够将理论知识转化为解决实际问题的能力。 --- 详细章节内容介绍 第一部分：基础与误差分析 (Foundations and Error Analysis) 第1章：引言与浮点数运算 本章首先确立了数值分析的地位及其在科学计算中的不可替代性。重点解析了计算机如何表示实数，即浮点数的标准（IEEE 754 结构）。深入讨论了截断误差（Truncation Error）和舍入误差（Round-off Error）的概念，以及它们如何累积和传播。通过对有效数字（Significant Digits）和机器精度（Machine Epsilon）的精确量化，为后续所有数值方法的稳定性分析奠定基础。本章强调了数值计算中“错误”的必然性及其管理的重要性。 第2章：非线性方程的求解 (Solving Non-linear Equations) 本章系统介绍了解一元非线性方程 $f(x) = 0$ 的各种迭代方法。内容包括： 直接法： 二分法（Bisection Method），分析其鲁棒性与收敛速度（线性收敛）。 加速迭代法： 简单迭代法（Fixed-Point Iteration）的收敛条件分析。 高效算法： 牛顿法（Newton's Method）及其二次收敛特性，以及割线法（Secant Method）作为牛顿法的替代方案。 局部收敛性分析： 严格证明了各方法的局部收敛阶数，并讨论了欠收敛（Sub-convergence）和发散的实际原因。 第3章：函数逼近与插值 (Function Approximation and Interpolation) 本章聚焦于如何使用已知数据点来估计未知点的值，这是数据拟合和模型构建的基础。 多项式插值： 详细推导了拉格朗日插值公式（Lagrange Interpolation）及其余项的分析，揭示了高次插值可能导致的龙格现象（Runge's Phenomenon）。 牛顿插值形式： 引入有限差分（Finite Differences）和均差（Divided Differences）的概念，展示了牛顿插值公式在逐步数据增加时的计算优势。 样条插值 (Spline Interpolation)： 重点讲解了分段低次多项式插值的优越性，尤其是三次样条（Cubic Splines）在保证一阶和二阶连续性方面的应用，以及如何构建自然样条和夹紧样条的边界条件。 --- 第二部分：线性代数的高效计算 (Efficient Computation in Linear Algebra) 第4章：线性方程组的直接解法 (Direct Methods for Linear Systems) 本部分是数值分析的核心支柱之一，解决 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$ 的计算问题。 矩阵分解： 深入分析高斯消元法（Gaussian Elimination）的计算复杂度和数值稳定性。重点讨论 LU 分解、Cholesky 分解（针对对称正定矩阵）。 矩阵的条件数 (Condition Number)： 详细解释了矩阵的条件数如何量化方程组对输入扰动的敏感程度，并将其与求解过程中的误差放大联系起来，强调了病态矩阵（Ill-conditioned Matrices）的危害。 三角矩阵的求解： 介绍了前代（Forward Substitution）和反代（Back Substitution）的高效性。 第5章：迭代法求解线性系统 (Iterative Methods for Linear Systems) 针对超大规模稀疏矩阵，直接法往往不可行。本章介绍收敛性良好的迭代方法： 雅可比迭代 (Jacobi Method) 和 高斯-赛德尔迭代 (Gauss-Seidel Method)：推导其迭代公式，并分析其收敛的充分条件（如对角占优）。 欠松弛与超松弛 (SOR)：引入松弛因子以加速收敛速度的优化策略。 Krylov 子空间方法简介： 概述共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）和 GMRES 等现代算法的基本思想和优势，为进阶学习铺路。 --- 第三部分：数值积分与微分方程 (Numerical Integration and Differential Equations) 第6章：数值积分 (Numerical Integration) 本章探讨定积分的数值逼近技术，即数值微分（Quadrature）。 牛顿-科茨公式 (Newton-Cotes Formulas)： 详细介绍复合梯形法则（Composite Trapezoidal Rule）和复合辛普森法则（Composite Simpson's Rule），并分析其误差项。 高斯求积 (Gaussian Quadrature)： 解释了通过选择最优节点（勒让德多项式根）来实现更高精度的原理，是现代数值积分的基石。 自适应积分： 讨论如何根据函数局部行为动态调整步长的策略。 第7章：常微分方程的数值解 (Numerical Solutions for Ordinary Differential Equations, ODEs) 解决形式为 $y' = f(t, y), y(t_0) = y_0$ 的初值问题。 一阶方法： 欧拉法（Euler's Method）的几何意义、局部截断误差和全局误差分析。 高阶方法： 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods），重点解析经典的四阶RK4算法的构造。 多步法： 介绍阿登法（Adams Methods）和隐式方法的概念。 稳定性分析： 引入 A-稳定性（A-Stability）的概念，解释为什么隐式方法在处理刚性系统（Stiff Systems）时至关重要。 --- 第四部分：特征值问题与优化初步 (Eigenvalue Problems and Optimization Preliminaries) 第8章：矩阵的特征值问题 (Eigenvalue Problems) 本章处理 $mathbf{A}mathbf{x} = lambda mathbf{x}$ 的数值求解。 幂迭代法 (Power Iteration)： 用于寻找最大特征值及其对应特征向量，分析其收敛速度依赖于特征值的比率。 反幂迭代 (Inverse Iteration)： 结合求逆操作（或解线性系统）以寻找接近特定值的特征值。 QR 算法简介： 简要介绍 QR 分解在稳定求解所有特征值中的核心作用。 第9章：基础优化算法 (Introduction to Optimization) 本章作为连接数值分析与优化理论的桥梁，侧重于无约束优化问题 $min f(mathbf{x})$ 的基本迭代思路。 一维搜索： 介绍进退法（Bracketing）和黄金分割法（Golden Section Search）的原理。 梯度下降法： 阐述最速下降法的基本迭代过程和其局部收敛性。 --- 本书的特点与优势 1. 理论的深度与广度： 每种算法的介绍都伴随着严格的数学推导，特别是关于收敛性、稳定性和误差边界的论证，确保读者不仅知其然，更知其所以然。 2. 面向实践的结构： 所有算法均附有伪代码描述，并结合现代编程语言（如 Python/MATLAB）的实践案例进行讲解，帮助读者理解如何将数学模型转化为可执行的代码。 3. 强调数值稳定性： 书中多次穿插对病态问题、误差放大、迭代发散等实际计算障碍的讨论，培养读者对数值方法“好坏”的批判性判断能力。 4. 丰富的习题设计： 每章末尾设有层次分明的习题，包括理论证明题、手工计算题和编程实现题，以巩固和深化对所学知识的掌握。 本书适合作为高等院校数学、计算机科学、物理学、航空航天、金融工程等专业本科高年级及研究生初级阶段的数值分析课程教材或参考书。通过学习本书，读者将建立起坚实的计算数学基础，能够自信地应对工程和科学研究中遇到的各类计算挑战。

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这本书的内容深度和广度都让我感到惊艳。它不仅仅局限于基础的数值方法，还涉及到了一些更高级的主题，并且对这些主题的讲解清晰易懂。比如，在关于数值积分的章节，除了常见的梯形法则和辛普森法则，书中还深入探讨了高斯积分的原理以及如何根据不同的精度要求选择合适的高斯点。更让我惊喜的是，书中还提供了一些实际应用的案例，将抽象的数值计算方法与工程、科学等领域的实际问题联系起来，这对于激发学生的学习兴趣，以及让他们认识到数值分析的实用价值，具有非常重要的意义。

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让我惊喜的是，这本书在处理一些“软技能”方面也给予了关注。例如，它强调了清晰地沟通数值分析结果的重要性，以及如何有效地向非专业人士解释复杂的数值概念。书中还提供了一些关于如何评估不同数值方法的优劣的建议，这对于培养学生的批判性思维和解决实际问题的能力非常有帮助。这些细节的处理，让这本书不仅仅是一本技术手册，更是一本教学的“艺术指南”。

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我特别欣赏这本书在算法分析部分所付出的努力。对于每一个数值算法，它都不仅仅是列出公式，而是深入探讨了算法的稳定性、收敛性、计算复杂性等重要性质。书中还通过图表和文字的结合，直观地展示了这些性质的影响，例如误差的累积效应、迭代次数与精度的关系等等。这对于我理解算法的精髓，以及向学生解释这些概念至关重要，避免了纯粹的公式堆砌，让学生能够更深刻地理解算法的内在逻辑。

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拿到这本《Instructor's manual to accompany Numerical analysis》时，我的内心是复杂又充满期待的。复杂，是因为我一直以来对数值分析这门学科的理解都停留在“会做题”的层面，很少真正去思考其背后的原理和教学逻辑；期待，则源于我希望通过这本书，能够更深入地理解这门课，并将其更有效地传达给我的学生。这本书的出现，就像是在我学习的道路上点亮了一盏明灯，为我指明了方向，也提供了丰富的资源。 首先，我被这本书的编排结构深深吸引。它并没有简单地将课本内容重述一遍，而是花了大量篇幅去剖析每一个章节的教学目标、重点难点，以及如何引导学生逐步掌握相关知识。例如，在讲解插值与逼近时，书中不仅列出了各种插值方法的公式，更详细地阐述了它们的适用条件、优缺点，以及在实际教学中可能遇到的学生困惑点，并提供了相应的解答思路和补充材料。这种“站在教师角度”的思考方式，让我受益匪浅，仿佛有一个经验丰富的导师在耳边循循善诱。

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当我翻阅到关于“数值线性代数”的部分时，我感受到了作者对于这一核心主题的深刻理解。书中不仅详细讲解了高斯消元法、LU分解、QR分解等基本方法，还深入探讨了迭代法，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，以及它们在求解大型稀疏线性系统中的优势。更难得的是，书中对于这些算法的稳定性和收敛性的分析也做了详尽的阐述，并通过对比实验数据，让学生能够直观地感受到不同方法的性能差异，从而在实际应用中做出明智的选择。

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这本书的参考资料部分也让我眼前一亮。它不仅列出了相关的经典教材和研究论文，还提供了一些在线资源和软件工具的链接。这些资源对于我进一步拓宽知识面，以及为学生推荐进一步学习的途径都非常有帮助。尤其是一些开放源代码的数值计算库的介绍，为我提供了将理论知识转化为实践的平台，让学生能够亲手去实现和应用这些算法。

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对于“常微分方程的数值解”这一章节，这本书的处理方式也让我耳目一新。它不仅仅是简单地介绍欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，而是深入剖析了这些方法的截断误差和全局误差的来源，以及如何通过提高阶数来提升精度。书中还特别强调了刚性方程组的特殊性，并介绍了相应的处理方法，如向后欧拉法和隐式方法。这对于我教授学生如何选择合适的数值方法来解决实际的工程和科学问题，具有至关重要的指导意义。

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令我印象深刻的是，这本书为每一章都设计了丰富的练习题和习题解答。这些习题的难度梯度设计得非常合理，从基础概念的巩固到复杂问题的求解，应有尽有。更重要的是，解答部分不仅仅是给出最终答案，而是详细地展示了求解过程，并且对关键步骤进行了详细的解释。这对于我作为教师来说，能够快速地掌握解题思路，并且能够指导学生如何一步步地攻克难关，避免学生们陷入“知其然不知其所以然”的困境。

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总而言之，《Instructor's manual to accompany Numerical analysis》这本书是一部精心编撰的教学辅助工具。它以其深入浅出的讲解、丰富的实践内容和周到的教学建议，极大地提升了我对数值分析这门学科的理解和教学信心。这本书不仅为我提供了一个清晰的教学框架，更重要的是，它激发了我对教学的热情，让我能够更自信、更有效地引导我的学生去探索数值分析的奇妙世界。我相信，任何一位希望提升数值分析教学水平的教师，都会从这本书中获益匪浅。

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在教学方法的建议方面，这本书同样提供了宝贵的指导。它鼓励教师采用多种教学手段，例如通过可视化工具来展示数值方法的收敛过程，或者通过编程实践来加深学生对算法的理解。书中还列举了一些课堂互动的小技巧，以及如何设计能够引发学生思考的讨论题。这些建议都非常具有实践性，让我能够从中获得灵感，改进我的教学方法，让我的课堂更加生动有趣，也更加富有成效。

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