Torsion Theories (Chapman and Hall /Crc Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Longman Sc & Tech

作者:Jonathan S. Golan

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1986-10

价格:USD 424.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780470203675

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 环论
• 模论
• 挠理论
• 同调代数
• 抽象代数
• 数学
• 纯数学
• 应用数学
• Chapman and Hall

纯粹与应用数学中的扭转理论 (Torsion Theories in Pure and Applied Mathematics) 本书聚焦于抽象代数和表示论中的一个核心且深刻的主题——扭转理论（Torsion Theories）。 它提供了一个对该理论结构、构造、性质及其在代数几何、同调代数以及更广泛的数学领域中应用的全面而深入的探讨。本书旨在为研究生和成熟的研究人员提供一个坚实的理论基础，并引导他们进入该领域的前沿研究课题。 第一部分：基础与背景 本书伊始，首先建立理解扭转理论所需的必要代数基础。 1. 模（Modules）与阿贝尔范畴（Abelian Categories）： 我们从对左 $R$-模（或右 $R$-模）的结构进行细致回顾开始。重点在于内射模（Injective Modules）、投射模（Projective Modules）以及平坦模（Flat Modules）的性质，这些是后续构建扭转结构的关键工具。紧接着，本书深入探讨了阿贝尔范畴的理论，特别是预加性范畴（Preadditive Categories）、阿贝尔范畴的定义、子对象分类器（Subobject Classifiers）以及短正合列（Short Exact Sequences）的构造。理解这些范畴的语言是理解扭转理论的抽象本质所必需的。 2. 预加法结构与范畴论视角： 扭转理论本质上是关于在范畴中分离“扭转”和“非扭转”部分的结构。因此，本书详细介绍了范畴论中的核心概念，如函子（Functors）、自然变换（Natural Transformations）、极限与余极限（Limits and Colimits）。特别地，我们引入了正合性（Exactness）的概念，包括左正合与右正合函子，为引入扭转理论的定义铺平道路。 3. 预函子与预对偶性（Pre-functors and Pre-duality）： 在进入正式的扭转理论之前，本书探讨了预函子结构，特别是那些在阿贝尔范畴之间建立联系的函子。这包括对 $mathrm{Hom}$ 函子和张量积函子 $(otimes)$ 的深入分析，并介绍如何通过这些函子来探测模的内在结构，例如平坦度和内射性。 第二部分：扭转理论的核心构造 本部分是本书的理论核心，系统地构建了扭转理论的全部要素。 1. 扭转类与托尔函数子（Torsion Classes and Torsion Functors）： 正式引入“扭转类” $mathcal{T}$ 的概念，即一个模范畴中的子范畴 $mathcal{T}$ 满足特定封闭性条件（如关于短正合列的性质）。本书严格定义了由 $mathcal{T}$ 生成的 左扭转函子 $t_{mathcal{T}}: mathcal{M} o mathcal{T}$ 和 右余扭转函子 $s_{mathcal{T}}: mathcal{M} o mathcal{M}/mathcal{T}$。我们证明了 $(mathcal{T}, mathcal{F})$ 构成一个 扭转框架（Torsion Frame），其中 $mathcal{F}$ 是余扭转类。 2. 正规子对象与分解（Regular Subobjects and Decomposition）： 扭转理论的关键在于分解：任何模 $M$ 都可以唯一地分解为 $M = t_{mathcal{T}}(M) oplus s_{mathcal{T}}(M)$，即扭转部分与余扭转部分的直和。本书详细分析了这种分解的唯一性，并探讨了子模的“正规性”条件，即一个子模 $N subseteq M$ 满足什么条件才能保证 $M/N$ 属于 $mathcal{F}$。 3. 遗传性与加权（Hereditary Property and Weighting）： 本书探讨了不同类型的扭转框架，特别是 遗传性扭转理论（Hereditary Torsion Theories），其中 $mathcal{T}$ 中的所有子模都属于 $mathcal{T}$。此外，我们研究了由环 $R$ 上的特定理想（如 $mathrm{Spec}(R)$ 上的局部化）诱导的扭转理论，引出 局部化理论 与扭转理论之间的深刻联系。 4. 导函子与扩展（Derived Functors and Extensions）： 在建立了基础理论之后，本书转向高阶工具。我们研究了 $mathrm{Ext}$ 函子在扭转范畴上的行为，并引入了 相对 Ext（Relative Ext）的概念，即在给定的余扭转子范畴 $mathcal{F}$ 中计算 Ext 群。这需要对 $mathcal{F}$ 中的模进行 $mathcal{F}$-内射分解（$mathcal{F}$-injective resolutions）的构造。 第三部分：重要实例与应用 本书的第三部分通过具体的例子展示了扭转理论在不同数学分支中的实际应用和威力。 1. 经典扭转理论：有理数域上的模： 我们详细分析了 $mathbb{Z}$-模（阿贝尔群）上的经典扭转理论。 经典扭转： $mathcal{T}$ 是所有 有界扭转群（Torsion Groups）的集合。余扭转类 $mathcal{F}$ 是所有 无挠群（Torsion-free Groups），即 $mathbb{Q}$-向量空间。我们证明了 $t_{mathbb{Z}}(M) = mathrm{Tor}(M)$，并探讨了 $mathbb{Z}$ 上的非经典扭转理论，如由理想 $(n)$ 生成的扭转。 2. 环上的扭转：Kasch 环与 Artin-Reiten 理论的交集： 本书考察了在任意环 $R$ 上定义的扭转理论，特别是那些与 纯子模（Pure Submodules）和 平坦模 相关的结构。我们深入讨论了 $mathrm{Spec}(R)$ 上的 局部化理论（Localization Theory）与 Grothendieck 拓扑结构，展示了如何利用扭转框架来推广代数几何中的局部化概念。 3. 几何与表示论的联系： 代数几何中的层： 扭转理论是层（Sheaves）理论的代数基础。我们将层范畴视为一个阿贝尔范畴，分析了 扭转层（Torsion Sheaves）和 凝聚层（Coherent Sheaves）之间的关系，这与 $mathrm{Ext}^1( mathcal{F}, mathcal{G})$ 在局部上描述了伸缩类（Extensional Classes）。 表示论中的分解： 对于有限维代数 $A$，我们探讨了 $A$-模范畴上的扭转理论如何帮助分解表示，特别是关于 半简单模（Semisimple Modules）和 拟简单模（Near-simple Modules）的研究。 4. 相对同调代数（Relative Homological Algebra）： 最后，本书探讨了在扭转框架下重新定义同调的方法。我们引入了 相对内射/投射分解，并研究了在 $mathcal{F}$ 范畴上定义的 相对 Tor 和 Ext 函子。这些工具在研究特定代数结构（如环的 $mathcal{T}$-平坦模）的内在性质时展现出极大的威力。 结论与展望 本书的结尾部分总结了扭转理论在现代数学中的地位，并概述了当前的研究热点，包括与 范畴表示、非交换代数几何 以及 模型范畴（Model Categories）相关的未解决问题。本书的组织结构确保了读者不仅掌握了理论工具，还能洞察其在不同数学领域的深远影响。

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