Quadrature Domains and Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Ebenfelt, Peter; Gustafsson, Bjorn; Khavinson, Dmitry

出品人:

页数:277

译者:

出版时间:2005-03-24

价格:USD 169.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764371456

丛书系列:

图书标签:

• 数值积分
• 区域分解
• 有限元方法
• 边界元方法
• 偏微分方程
• 数值分析
• 计算数学
• 科学计算
• 应用数学
• 数值方法

好的，这是一本关于“黎曼几何中的曲率流与几何分析”的图书简介，内容力求详实，不提及您提到的那本书。 --- 书籍名称：黎曼几何中的曲率流与几何分析 (Curvature Flows and Geometric Analysis in Riemannian Geometry) 作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社名] 导言：微分几何的前沿探索 本书深入探讨了现代微分几何中一个至关重要的交叉领域：曲率流及其在几何分析中的应用。在黎曼几何的宏大框架下，度量与曲率是描述空间结构的核心概念。曲率流，作为一类演化空间度量的偏微分方程（PDEs），提供了一种动态的、几何驱动的方式来研究空间拓扑、微分结构以及局部几何的极限行为。 本书旨在为具备扎实微分几何基础（包括黎曼流形、张量分析和基础PDE理论）的研究者、高年级研究生及专业人士，提供一个全面而深入的指南，涵盖从经典理论到最新研究进展的诸多关键主题。我们着重于建立曲率流方程与几何分析工具之间的桥梁，特别是那些与 Ricci 流、平均曲率流（Mean Curvature Flow, MCF）以及更一般的 $sigma_k$ 曲率流相关的理论。 第一部分：基础与背景（The Foundations） 本部分旨在夯实读者理解后续复杂流体理论所需的数学基础。 第一章：黎曼几何回顾与能量泛函 详细回顾黎曼流形上的基本概念，包括联络、曲率张量（里奇曲率、魏因加滕曲率、斯卡拉曲率）、测地线方程以及指数映射。重点讨论能量泛函，如 Dirichlet 能量和杨-米尔斯泛函，它们为引入演化方程提供了变分基础。此外，引入辛几何与规范理论的初步概念，为后续研究提供更广阔的背景。 第二章：偏微分方程方法在几何中的应用 本章侧重于几何分析的核心工具。详细介绍椭圆型、抛物型和双曲型 PDE 的基本理论，特别是关于解的存在性、唯一性、正则性以及收敛性的结果。我们将讨论最大值原理、先验估计（如 Schauder 估计）在几何演化方程中的特殊重要性，并引入能量泛函的梯度流这一核心概念，将其与曲率流联系起来。 第二部分：Ricci 流理论与几何奇点的理解 Ricci 流，由 Richard Hamilton 提出，是研究黎曼度量演化的一个典范模型，其核心是 $frac{partial g}{partial t} = -2 ext{Ric}(g)$。本部分是全书的重点之一。 第三章：Ricci 流的局部存在性与热性 详细推导 Ricci 流方程，并分析其性质。重点阐述光滑解的局部存在性，利用“热核估计”证明解在有限时间内保持光滑。引入能量泛函的下界和里奇曲率的演化方程，展示流体如何保持其几何特性。 第四章：Ricci 流与几何收敛性：$kappa$-收敛与拓扑学 探讨 Ricci 流在长时间演化下的行为，特别是如何利用$kappa$-非膨胀性（$kappa$-noncollapsing）的概念来控制流体的几何行为。深入研究线积分收敛（Rescaling Convergence）和 $kappa$-收敛理论，这些理论是理解解在奇点形成时的局部几何的关键。讨论 Hamilton-Perelman 的单点奇点模型，以及如何通过适当的收缩因子来规范化流体，使其趋近于一个几何更“干净”的结构。 第五章：Perelman 的 $mathcal{W}$-泛函与单调性公式 本章专注于 Perelman 对 Ricci 流理论的革命性贡献。详细介绍$mathcal{W}$-泛函（Entropy Functional）的定义及其在 Ricci 流下的单调性。这是证明长期行为和奇点分类的关键分析工具。剖析 $mathcal{F}$-单调性公式和$mathcal{W}$-单调性公式的推导过程及其在控制奇点形成中的作用。 第六章：奇点展开与 Ricci 几何的分类 分析 Ricci 流在有限时间下形成奇点的情景。讨论内禀局部几何的结构，如球冠、圆柱等几何模型。系统性地介绍Ricci 孤立子（Ricci Solitons）的分类，包括梯度孤立子和非梯度孤立子，它们是 Ricci 流的稳定或半稳定极限状态。 第三部分：平均曲率流与其他高阶流 本部分将视角从 Ricci 流拓展到其他具有重要物理和几何意义的演化方程，特别是那些与曲面和超曲面的演化相关的流。 第七章：平均曲率流（MCF）与界面演化 平均曲率流 $Delta_g h = nH$（在嵌入空间中，或更一般的 $frac{partial h}{partial t} = Delta_g h$ 在等距嵌入中）是研究曲面和超曲面演化的基础。本章详细介绍 MCF 在 $mathbb{R}^n$ 中的几何意义（最小曲面演化），并讨论在黎曼流形上的推广。重点分析 MCF 的最大值原理、能量耗散以及内爆（Inrushing）奇点的几何结构。 第八章：高阶曲率流：$sigma_k$ 曲率流 介绍更一般化的Symmetric Polynomial Curvature Flows，特别是 $sigma_k$ 曲率流，它对应于特征值问题。这些流在共形几何和微分几何中扮演重要角色。讨论 $sigma_k$ 流的共形不变量性质，以及如何利用其对偶性（Dual Flows）来获得更强的先验估计，尤其是在紧致流形上的应用。 第九章：几何演化中的几何不等式 本章深入几何分析的技术细节。探讨与曲率流相关的关键几何不等式，例如Hadamard-Hirschman 不等式的几何流推广，以及如何利用这些不等式来证明解的先验界限。讨论几何 Hardy 不等式和Sobolev 不等式在流体演化中的动态形式。 第四部分：应用与现代视角 本书最后部分将理论成果应用于具体问题，并展望该领域的前沿方向。 第十章：共形几何与曲率流 探讨 Ricci 流在共形等价类上的作用。分析常截面曲率度量的产生过程，以及 Ricci 流如何将一个共形类中的度量推向具有特定几何性质的代表元。讨论与Yamabe 问题的曲率流解法相关的思路。 第十一章：拓扑与几何的联系 讨论曲率流在几何拓扑学中的应用。例如，Ricci 流如何服务于 Thurston 的几何化猜想的证明（通过 3-流形上的 Ricci 流研究）。分析在流演化过程中，拓扑结构如何保持或如何以受控方式改变。 第十二章：未来展望与开放问题 总结当前研究的瓶颈，如在非紧致流形上处理 Ricci 流的全局存在性问题、高维空间中奇点分类的复杂性，以及 MCF 在非凸区域上的行为。探讨随机化曲率流（Stochastic Curvature Flows）作为解决复杂奇点问题的新兴方向。 --- 本书特点 深度与广度并重： 既包含了 Ricci 流这一经典理论的完整推导，也覆盖了 $sigma_k$ 流和 MCF 等重要扩展。 分析方法导向： 强调 PDE 技术在几何问题中的应用，详细阐述先验估计和收敛理论。 前沿性： 对 Perelman 的关键性工作进行了深入的解析，使其易于理解和应用。 本书是微分几何和几何分析领域不可或缺的参考资料，为有志于在该领域进行深入研究的学者提供了坚实的理论基础和清晰的研究路线图。

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