The Schwarz Function and Its Generalization to Higher Dimensions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Wiley-Interscience

作者:Harold S. Shapiro

出品人:

页数:128

译者:

出版时间:1992-03-04

价格:USD 210.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471571278

丛书系列:

图书标签:

• Schwarz函数
• 复分析
• 偏微分方程
• 调和分析
• 泛函分析
• 位势论
• 数学物理
• 高维推广
• 特殊函数
• 数值分析

好的，这是一份为一本假设的图书撰写的简介，该书名为《The Schwarz Function and Its Generalization to Higher Dimensions》，但内容将完全不涉及该主题。 --- 书名： 《拓扑学中的非欧几何结构：从黎曼曲率到庞加莱度量》 作者： [此处可插入一个虚构的作者姓名，例如：阿德里安·凡·德·维尔德] 简介： 本书深入探讨了现代微分几何和拓扑学中一个至关重要的分支：在非欧几何框架下理解空间结构和度量性质。作者以一种严谨且富有洞察力的方式，系统地梳理了从黎曼几何的经典基础到更前沿的几何分析概念的演变历程。全书分为五个主要部分，层层递进，旨在为读者构建一个关于弯曲空间如何被数学描述的完整图景。 第一部分：黎曼几何的基石 本部分首先回顾了光滑流形理论的核心概念，为后续更复杂的讨论奠定基础。我们详细阐述了切空间、张量场以及微分形式的结构。重点聚焦于黎曼度量和联络的选择如何定义流形上的几何结构。书中详尽分析了测地线的性质，它们如何作为“直线”的概念在弯曲空间中得以延伸。 随后的章节专注于黎曼曲率张量。我们不仅给出了曲率张量的精确定义，还深入探讨了其代数性质——如第一和第二比安基恒等式。通过对里奇曲率和斯卡拉曲率的详细剖析，读者将理解这些不变量如何量化局部空间的弯曲程度。书中引入了著名的黎曼-瑟尔定理（Riemann-Stieltjes theorem）的背景，用以说明曲率如何影响测地线的汇聚与发散。 第二部分：度量空间的拓扑与几何 在这一部分，我们将视角从光滑流形扩展到更一般的度量空间，并特别关注如何将几何洞察力应用于拓扑结构的研究。我们引入了戈姆夫-萨斯顿（Gompf-Saston）分解的概念，该概念揭示了三维流形在特定拓扑条件下如何被分解为更基本的几何片段。 核心内容集中在关于“截面曲率”和“常曲率空间”的讨论。书中提供了关于双曲空间（常负曲率）和球面（常正曲率）的精确模型构造，并使用庞加莱圆盘模型和双曲平面模型作为关键案例，详细计算了它们各自的几何不变量。我们探讨了这些常曲率空间如何嵌入到欧几里得空间中，从而直观地理解其弯曲性。 此外，本部分还深入研究了更广义的“量规几何”（Gauge Geometry），其中度量不再是固定的，而是依赖于局部选择的规范。这部分内容为理解规范场论在数学物理中的应用提供了必要的几何语言。 第三部分：几何分析与偏微分方程 几何与分析的交汇点构成了本书的第三部分。我们探讨了在弯曲空间上定义的偏微分方程（PDEs），特别是拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）。本书详细推导了该算子在不同坐标系下的形式，并分析了其谱性质——即特征值和特征函数。 一个重要的章节是关于调和分析在流形上的推广，即“谱几何”。我们探讨了高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）的推广形式，展示了拓扑不变量（如欧拉示性数）如何与流形上的某个积分量（与曲率有关）精确相关联。书中通过详细的例子，展示了谱信息如何编码流形的几何和拓扑特征。 第四部分：纤维丛与联络的几何 几何结构的研究往往需要从切丛扩展到更复杂的纤维丛结构。本部分侧重于向量丛和主丛的理论。我们引入了“联络”的概念，并将其视为连接不同纤维之间信息传递的桥梁。 书中详细分析了切丛上的列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection），并将其与度量的概念紧密联系起来。随后，我们转向更普遍的、具有曲率的联络，如陈-西蒙斯（Chevalley-Simons）联络。我们阐述了规范理论中的“曲率”如何对应于物理学中的场强，并展示了豪奇（Hodge）理论在流形上微分形式的分解中所扮演的关键角色。 第五部分：边界行为与低维流形的特例 本书的最后一部分聚焦于几何对象在边界处的行为，特别是针对三维流形的研究。我们引入了 Thurston 的几何化纲领的几何基础，尽管不涉及该纲领的全部证明，但重点分析了其所涉及的八种几何结构（包括双曲、球面、欧几里得几何等）如何作用于三维流形的分解。 我们详细分析了“混合曲率”的概念，即空间中部分区域具有正曲率，而其他区域具有负曲率的情况。通过对“双曲三维流形”的例子进行深入研究，我们展示了如何利用基本群和柯西积分理论来推导其拓扑不变量。 最后，本书以对“庞加莱度量”在复杂域上的延拓性讨论收尾，探讨了保角映射在保持角度不变性方面的核心作用，并分析了黎曼面上的等温坐标系的构造。 目标读者： 本书适合于具有扎实的微积分和线性代数基础的研究生、博士后研究人员以及对现代微分几何、拓扑学和几何分析有浓厚兴趣的数学家。它要求读者具备一定的张量分析能力，并乐于面对高度抽象的数学结构。本书力求在深度和广度之间找到平衡，提供一个对弯曲空间几何进行全面考察的严谨文本。

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