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出版者:Brooks Cole

作者:Richard N. Aufmann

出品人:

页数:816

译者:

出版时间:2007-01-10

价格:USD 157.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780618803712

丛书系列:

图书标签:

• College Algebra
• Algebra
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Precalculus
• Functions
• Equations
• Polynomials
• Graphing

好的，这是一本名为《高等数学基础》的图书简介，内容侧重于微积分、线性代数和概率论，与代数内容有所区别。 --- 图书名称：《高等数学基础：理论、应用与实践》 图书简介 第一部分：微积分的深度探索与应用 本书旨在为读者构建坚实的微积分基础，从最核心的概念出发，系统地阐述微分学、积分学及其在科学、工程和经济学中的广泛应用。我们摒弃了传统教材中繁琐的、为证明而证明的结构，转而聚焦于概念的直观理解与解决实际问题的能力培养。 1.1 极限与连续性：探寻变化的根源 微积分的起点在于“极限”这一概念。本书详细探讨了极限的严格定义（ε-δ 语言），但更注重其几何与直觉意义——函数在某点附近的“趋近”行为。我们通过大量的图示和案例分析，帮助读者建立对无穷小量和无穷大概念的深刻认识。连续性被视为函数“不间断”特性的形式化描述，并通过中值定理（如介值定理、费马定理、罗尔定理和拉格朗日中值定理）揭示了函数局部性质与整体行为之间的内在联系。这些定理不仅是后续学习的基石，更是分析复杂系统稳定性的关键工具。 1.2 微分学：速率与变化率的精确度量 微分学部分聚焦于导数的计算及其在变化率分析中的应用。本书系统梳理了求导的基本法则（乘法法则、链式法则等），并引入了超越函数（指数函数、对数函数、三角函数及其反函数）的求导技巧。 重点内容包括： 隐函数求导与相关变化率问题： 探讨变量之间相互依赖关系下的变化速率，这在物理学和工程中的瞬时速度、加速度计算中至关重要。 泰勒级数与近似： 泰勒定理不仅是函数逼近的强大工具，更是理解函数局部行为的“指纹”。我们将详细讲解如何构建泰勒多项式，并分析其误差项，从而实现对复杂函数的精确近似计算。 最优化问题： 通过分析函数的极值点和鞍点，本书指导读者如何利用一阶和二阶导数判别法解决实际生产、资源分配中的最大化或最小化问题。 1.3 积分学：累积与面积的量化 积分学被视为微分学的逆运算，本书强调其在“累积效应”计算中的核心地位。 定积分与黎曼和： 从黎曼和的定义出发，我们逐步过渡到定积分的概念，强调其作为对无限细小元素进行求和的本质。 微积分基本定理： 这是连接微分与积分的桥梁，其意义的阐述将贯穿本章始终。我们将深入分析该定理在求解曲线下面积、体积和弧长等几何问题中的应用。 积分技巧与策略： 涵盖了分部积分法、三角代换法、欧拉公式等高级积分技巧，并特别引入了积分在物理学中计算功、质心、转动惯量等方面的应用案例。 广义积分： 探讨积分区间为无限或被积函数在区间内有无穷不连续点的情况，这是分析物理模型中无限过程的必要工具。 第二部分：线性代数：结构与空间的语言 线性代数是理解多维空间和复杂系统结构的最佳框架。本书强调代数方法与几何直觉的结合，确保读者不仅“会算”，更能“理解”背后的空间变换意义。 2.1 向量空间与线性变换 本书从向量的几何表示出发，抽象到向量空间的概念，涵盖子空间、基、维数等核心要素。线性变换被定义为保持向量空间结构的操作，通过矩阵表示，我们将抽象的变换转化为可计算的工具。 2.2 矩阵代数与线性方程组 矩阵运算被系统化地介绍，重点在于矩阵的秩、行列式及其在求解线性方程组中的作用。我们深入探讨了高斯消元法及其背后的逻辑，并引入了矩阵的逆以及LU分解等数值方法，为实际计算打下基础。 2.3 特征值与特征向量：系统的内在模式 这是线性代数的核心应用之一。特征值和特征向量揭示了线性变换作用下，哪些向量仅发生伸缩而不改变方向的“不变方向”。本书详细讨论了对角化理论，并展示了其在微分方程组求解（如动力学系统分析）中的强大能力。 2.4 正交性与最小二乘法 正交基的概念被引入以简化问题的复杂度。我们重点讨论了施密特正交化过程，以及最小二乘法在处理超定系统（数据拟合）中的不可替代性，这在数据科学和工程估计中极其常用。 第三部分：概率论与数理统计：不确定性下的推理 本部分侧重于量化和分析随机现象，培养读者基于数据的科学决策能力。 3.1 随机事件与概率模型 从集合论的角度严格定义随机事件和样本空间。本书详细讲解了条件概率、独立性，并深入分析了贝叶斯定理在信息更新中的应用。 3.2 随机变量与分布函数 离散型和连续型随机变量的描述被清晰区分。重点分析了几个关键的概率分布族：二项分布、泊松分布（用于计数）、均匀分布、指数分布（用于等待时间）以及最重要的——正态分布（高斯分布）。对期望、方差、矩等描述性统计量的计算和解释是本节的重点。 3.3 极限定理与统计推断的理论基础 大数定律和中心极限定理是连接概率论与数理统计的桥梁。本书阐述了中心极限定理如何保证正态分布的普适性，为统计推断提供了坚实的理论依据。统计推断部分将介绍点估计（矩估计、极大似然估计）和区间估计（置信区间）的基本原理，教会读者如何从样本数据推断总体特征。 本书特色与目标读者 《高等数学基础》的编写风格严谨而不失启发性，注重理论的内在逻辑与实际操作能力的培养。每个章节都配有丰富的例题和具有挑战性的习题，旨在促使读者主动思考和应用所学知识。 本书适合于大学理工科、经济学、数据科学等专业对微积分、线性代数和概率论有深入学习需求的本科生、研究生，以及需要巩固或拓展相关数学基础的专业人士。通过对这些核心工具的掌握，读者将能够有效地应对工程建模、数据分析和复杂科学问题的挑战。

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