Introducción Al Álgebra Conmutativa (Spanish Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Reverté

作者:M. F. Atiyah

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2008-04-02

价格:USD 22.94

装帧:Paperback

isbn号码:9788429150087

丛书系列:

图书标签:

• Álgebra Conmutativa
• Álgebra
• Matemáticas
• Libros en Español
• Introducción
• Conmutativa
• Teoría de Anillos
• Polinomios
• Ideal
• Espacio Vectorial

抽象代数的基石：探寻交换代数世界的奥秘 交换代数，作为抽象代数的一个核心分支，为我们揭示了数学中最基本、最普遍的结构之一——交换环及其相关对象。它不仅仅是理论上的构建，更是深刻影响着数论、代数几何、代数拓扑等众多数学领域，并渗透到物理学、计算机科学等应用科学之中。 这本书旨在为读者提供一个坚实的交换代数入门基础，循序渐进地引导大家深入理解其核心概念、重要定理以及其背后蕴含的深刻思想。我们将从最基本的定义出发，逐步构建起严谨的理论框架，让读者在清晰的逻辑脉络中掌握交换代数的核心内容。 第一章：环与理想——交换代数的基本语言 本章是整个交换代数世界的基石。我们将首先引入环的概念，这是一个带有加法和乘法运算的代数结构，并且满足一系列性质，例如加法的交换律、结合律，乘法的结合律，以及分配律。我们会区分交换环（乘法满足交换律）和一般的环，并强调本书将主要关注前者，因为它在数学的许多分支中具有更广泛的应用。 接下来，我们将深入探讨理想，这是环的一个重要子结构。理想在交换代数中的作用，类似于向量空间中的子空间，或者群论中的正规子群。一个理想不仅是一个加法子群，还要求与环中的任何元素相乘（无论在左边还是右边）都保持在理想内部。我们会学习如何构造新的理想，例如由一个元素生成的理想，以及两个理想的交集和和集。 本章的重点还将放在商环的概念上。给定一个环 $R$ 和它的一个理想 $I$，我们可以构造一个商环 $R/I$，其元素是 $I$ 的陪集。商环的引入，为我们提供了一种“折叠”环的结构，从而能够研究更简单的代数对象。我们会探讨商环的性质，例如同态定理，这是连接环及其商环的重要桥梁。 第二章：整环、域与模——结构的多样性与联系 在理解了环和理想之后，本章将进一步细化环的结构，并引入新的重要概念。我们将重点介绍整环，这是一个非零的交换环，并且没有非零的零因子，即如果 $ab=0$，那么 $a=0$ 或 $b=0$。整环是整数环 $mathbb{Z}$ 的一个推广，它在数论和代数几何中扮演着至关重要的角色。 紧接着，我们会定义域，一个特殊的整环，其中每一个非零元素都有乘法逆元。我们熟知的实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 以及有理数域 $mathbb{Q}$ 都是域的例子。域是线性代数和伽罗瓦理论的基础，并且在许多代数结构的研究中是不可或缺的。 本章还将引入模的概念。模可以看作是定义在环上的“向量空间”。向量空间是定义在域上的，而模是定义在更一般的交换环上的。模的理论是交换代数的一个重要研究方向，它为我们提供了研究环的“表示”和“结构”的强大工具。我们将探索模的一些基本性质，例如子模、商模以及模的同态。 第三章：主理想整环与唯一因子分解整环——理想的特殊性质 本章将深入研究具有特殊理想性质的整环，这些性质使得它们在代数和数论中具有更强的结构性和更优美的性质。 我们将首先关注主理想整环 (PID)。在一个 PID 中，每一个理想都可以由一个元素生成。例如，整数环 $mathbb{Z}$ 就是一个 PID，其中的任何理想都可以写成 $nmathbb{Z}$ 的形式，其中 $n$ 是一个整数。PID 的概念非常重要，因为它允许我们利用生成元的性质来研究理想和模的结构。 接下来，我们将介绍唯一因子分解整环 (UFD)。在一个 UFD 中，每一个非零非单位的元素都可以唯一地（在单位和因子的顺序上）分解成不可约元素的乘积。整数环 $mathbb{Z}$ 也是一个 UFD，其素数分解是唯一的。UFD 的性质使得我们能够进行类比于整数的素数分解的研究，从而揭示代数结构的深度。 本章还将探讨 PID 与 UFD 之间的联系，以及它们在研究多项式环等结构中的重要性。例如，我们会证明，每一个 PID 都是一个 UFD。 第四章：诺特环与阿廷环——结构的可处理性 本章将引入两个在现代代数几何和交换代数中至关重要的概念：诺特环和阿廷环。这些概念描述了环的理想链满足的某些“有限性”条件，从而使得代数对象的分析更加可行。 诺特环是一个满足升链条件（ACC）的交换环。也就是说，对于环中任意一个理想升链 $I_1 subseteq I_2 subseteq I_3 subseteq dots$，这个链最终会稳定，即存在一个整数 $n$ 使得 $I_k = I_n$ 对于所有 $k ge n$ 都成立。诺特环的性质保证了许多代数对象是“有限生成”的，这在研究代数簇等几何对象时至关重要。 阿廷环则是一个更强的条件，它不仅是诺特环，还满足降链条件（DCC）对于理想。一个满足 DCC 的交换环被称为阿廷环。阿廷环具有非常强的结构性，并且与有限域和有限环紧密相关。 本章将深入探讨诺特环和阿廷环的性质，研究它们之间的关系，并举例说明它们在代数中的应用，例如多项式环在域上的性质。 第五章：张量积——构造更复杂的代数结构 张量积是抽象代数中一种强大的构造工具，它允许我们将不同代数结构“组合”起来，从而得到更复杂、更丰富的结构。在本章中，我们将主要关注模的张量积。 我们将定义两个 $R$-模 $M$ 和 $N$ 的张量积 $M otimes_R N$。这个构造将两个模的元素以一种特定的方式“相乘”，形成一个新的模。张量积在许多领域都有广泛的应用，例如在代数几何中研究曲线和曲面的积，在表示论中研究群的表示，以及在函数分析中研究算子代数。 我们将探讨张量积的一些基本性质，例如双线性映射与张量积之间的关系，以及张量积的结合律和交换律（在适当条件下）。我们还将学习如何计算一些简单模的张量积，并理解张量积如何反映了原模的结构信息。 第六章：几何化——交换代数与代数几何的桥梁 本章将开始将抽象的代数概念与几何对象联系起来，为读者展示交换代数在代数几何中的核心作用。 我们将引入代数簇的概念，这是一个由多项式方程的公共零点构成的几何对象。然后，我们将研究与代数簇相关的交换代数结构，即坐标环。一个代数簇的坐标环是定义在该簇上的多项式函数的环。 我们将探讨代数簇的几何性质（例如连通性、维数）与它们对应的坐标环的代数性质（例如素理想、不可约子簇）之间的深刻联系。例如，代数簇的不可约分量对应于其坐标环的素理想。 本章将为读者搭建起代数与几何之间的桥梁，展示交换代数如何为理解几何对象的结构提供强大的代数工具。 第七章：概形——现代代数几何的语言 本章将进一步深化代数几何的探讨，引入概形这一现代代数几何的核心概念。概形是代数簇的推广，它允许我们处理更广泛的代数对象，并统一代数和几何的视角。 我们将从局部的角度理解概形，将其定义为“环化空间”的局部模型。具体来说，我们将研究局部环，即一个环，它只有一个极大的理想。局部环在研究代数对象的局部性质时扮演着关键角色。 通过结合局部环和拓扑空间，我们构建了概形，从而将代数结构“几何化”。我们将探讨一些简单的概形，例如仿射概形（对应于环的谱）以及它们与代数簇的关系。 本章将为读者打开现代代数几何的大门，让他们理解概形理论如何统一了代数和几何，并为解决更复杂的问题提供了强大的框架。 结论 本书的旅程，从最基本的环和理想出发，逐步深入到具有特殊性质的环、模的构造，再到连接代数与几何的关键概念——代数簇和概形。我们相信，通过学习本书，读者将不仅掌握交换代数的核心理论，更能深刻理解其在数学以及相关学科中的重要地位和广泛应用。 交换代数的学习是一个循序渐进的过程，需要耐心和细致。希望本书能够成为您探索这个迷人而深刻的数学领域的得力助手，点燃您对数学的热情，并为您未来的学术探索打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆