Harmonic Analysis, Group Representations, Automorphic Forms and Invariant Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Publishing Company

作者:Jian-shu Li

出品人:

页数:429

译者:

出版时间:2007-11-12

价格:USD 104.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789812770783

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 调和分析
• 群表示
• 自同构形式
• 不变理论
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 表示论
• 傅里叶分析
• 李群

谐波分析、群表示、自守形式与不变理论 这是一本旨在深入探索数学领域中几个核心概念之间深刻联系的专著。本书的结构设计巧妙，力图将原本可能显得零散的多个数学分支——谐波分析、群表示论、自守形式理论以及不变理论——融会贯通，展现它们之间相辅相成、相互促进的内在逻辑。通过严谨的理论阐述和精心挑选的范例，本书为读者提供了一个理解这些高级数学工具及其在解决复杂数学问题中作用的全面视角。 第一部分：谐波分析的基石 本书开篇从谐波分析的宏大图景出发，为后续的讨论奠定坚实的基础。我们将首先回顾傅里叶分析在欧几里得空间中的基本原理，包括傅里叶级数和傅里叶变换的定义、性质以及它们在解偏微分方程、信号处理等领域的经典应用。在此基础上，我们将目光投向更一般的空间，特别是李群和局部紧群上的谐波分析。 对于局部紧群，本征函数（或称拉东测度）的概念至关重要，它允许我们将积分和求和的概念推广到非离散空间。我们将详细探讨哈尔测度的存在性、唯一性及其性质，并介绍它在定义群上的傅里叶变换中的核心作用。群上的傅里叶变换不仅保留了欧几里得空间中的卷积定理等重要性质，而且其结构与群本身的代数性质紧密相关。 此外，我们还将引入Plancherel定理，它揭示了群上傅里叶变换的 $L^2$ 范数保持性质，这是建立群表示与谐波分析之间联系的关键桥梁。本部分还将探讨一些特殊的群，例如 $SO(n)$ 和 $SU(n)$ 等李群，在这些群上的谐波分析会展现出与 $R^n$ 不同的丰富结构，例如球谐函数理论的推广。 第二部分：群表示论的语言 群表示论是研究群结构的一种强大工具，它通过将抽象的群元素映射到线性空间中的可逆线性变换（矩阵）来揭示群的内在对称性。本书将从群表示的基本概念入手，定义表示、等价表示、可约表示和不可约表示。我们还将深入探讨表示的指标（character）理论，它是一种非常有效的区分不同表示的工具，并且具有丰富的代数性质，如指标的线性无关性。 在局部紧群的语境下，我们自然会关注其不可约表示。舒尔引理是理解不可约表示的关键，它断言了任何与表示的群运算兼容的线性算子一定是该表示的标量倍。本书将详细阐述舒尔引理及其在群表示分类中的重要作用。 一个至关重要的结果是Peter-Weyl定理，它表明对于紧群，其所有连续函数空间可以分解为有限维不可约表示的直和。这个定理将谐波分析中的函数空间与群表示论中的抽象表示联系起来，是连接第一和第三部分的枢纽。我们将探讨如何利用表示论的工具来理解群上的傅里叶分析，例如，群上的傅里叶变换可以通过表示的指标来计算。 对于非紧群，情况会更加复杂，我们将介绍离散系列表示（discrete series representations）的概念，以及连续系列表示（continuous series representations）和主系列表示（principal series representations）等。分析非紧群的表示是自守形式理论的基础。 第三部分：自守形式的数学之美 自守形式是数学中一个极其重要的概念，它源于数论、代数几何和表示论的交叉领域。本书将自守形式的定义及其性质置于群论的框架下进行讨论。最经典的例子是模形式，它们是上半平面上满足特定变换性质的解析函数。我们将从模形式的定义出发，介绍其与模群（或更一般的李群）的作用相联系的性质。 自守形式的定义通常涉及一个李群 $G$ 、其上的一个闭子群 $K$ ，以及一个“容许”（admissible）的表示 $pi$ 。一个函数 $f$ 被称为关于 $(G, K)$ 的自守形式（如果它在 $G$ 的容许表示 $pi$ 的意义下是“自守的”）。这种“自守性”通常体现在函数在某个子群（例如，对于模形式，就是模群）的作用下具有特定的变换关系。 本书将详细介绍自守形式的Fourier展开，这是自守形式理论的核心工具之一，它将自守形式分解为一系列与群的某个子群（例如，上三角矩阵群）相关的“Fourier系数”。这些Fourier系数往往具有深刻的数论意义。 我们还将探讨Langlands纲领的初步思想，该纲领试图在数论、表示论和代数几何之间建立深层的联系，而自守形式正是连接这些领域的关键对象。L-函数（L-functions）作为自守形式的推广，在数论中扮演着核心角色，它们与黎曼猜想等重大猜想紧密相关。本书将简要介绍L-函数的定义及其在自守形式理论中的重要性。 第四部分：不变理论的视角 不变理论研究在群作用下保持不变的代数对象，例如多项式。它与群表示论有着天然的联系，因为群作用在向量空间上时，也会作用在空间上的多项式代数上。本书将从代数几何的角度出发，介绍不变理论的基本概念。 我们将讨论作用在向量空间 $V$ 上的群 $G$ ，以及 $G$ 在 $V$ 上的作用。在此基础上，我们定义代数不变式（algebraic invariants）为那些在 $G$ 的作用下保持不变的多项式函数。例如，欧几里得距离的平方在旋转群的作用下是不变的。 本书将介绍Hilbert的基定理（Hilbert's Basis Theorem）和主定理（Fundamental Theorem of Invariant Theory），这些是理解不变式代数结构的关键结果。我们将探讨如何计算和描述不变式环，以及它们在几何和代数问题中的应用。 特别是，我们将展示不变理论如何为理解群表示的分解提供新的视角。例如，对于一个群 $G$ 作用在向量空间 $V$ 上，考虑 $V$ 的对称幂 $S^k(V)$ 。 $G$ 作用在 $S^k(V)$ 上，这可以看作是 $G$ 的某个表示。不变式理论可以帮助我们理解这个表示中哪些部分是不变的，或者说，是平凡表示的子空间。 全书的贯穿与融合 贯穿全书的核心思想在于揭示这四个数学分支之间的紧密联系。谐波分析提供了理解群作用在函数空间上的工具；群表示论提供了描述对称性的语言和分类工具；自守形式将群的对称性与数论中的深刻结构联系起来；而不变理论则帮助我们理解在群作用下保持不变的代数结构。 例如，一个紧群 $G$ 的不可约表示的指标（character）本身就是一个函数，它在群的某个特定子群（例如，主对角线子群）的作用下具有自守的形式。同时，自守形式的Fourier展开中的系数，往往可以由表示论的工具来解释。不变理论可以帮助我们构建某些自守形式，或者理解它们存在的代数几何背景。 本书的读者将通过对这些理论的系统学习，逐步建立起宏观的数学图景，理解现代数学研究中这些强大工具的协同作用。我们相信，通过对这些概念及其相互作用的深入探讨，本书能够为数学专业学生、研究人员以及对高级数学感兴趣的读者提供一个宝贵的学习资源，并激发他们在这些交叉领域的进一步探索。

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