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出版者:

作者:Chikuse, Yasuko

出品人:

页数:429

译者:

出版时间:2003-2

价格:$ 224.87

装帧:

isbn号码:9780387001609

丛书系列:

图书标签:

• 2018
• 统计学
• 流形
• 微分几何
• 信息几何
• 概率论
• 拓扑学
• Riemann几何
• 特殊流形
• 统计推断
• 几何概率

《统计学在特殊流形上的应用》 本书深入探讨了统计学在处理具有复杂几何结构的数据集时的挑战与机遇。我们将视角从传统的欧几里得空间拓展到更广泛的黎曼流形、李群、纤维丛等特殊数学对象。这些特殊流形广泛存在于自然科学、工程技术和社会科学的诸多领域，例如三维空间中的姿态表示、医学影像的形状分析、分子动力学的构象空间、天体物理学中的宇宙学观测数据，以及金融市场中的不确定性建模等。 在传统统计学中，我们通常假设数据点分布在平坦的欧几里得空间中，可以方便地使用向量运算、线性回归、期望值和方差等概念。然而，当数据固有的几何属性无法被简单地映射到欧几里得空间时，直接应用这些经典方法将导致显著的偏差和不准确性。例如，方向数据（如三维旋转、地磁方向）分布在球面或特殊正交群上，它们的平均值和方差的计算需要考虑其内在的圆性或旋转对称性。同样，医学图像中的大脑皮层形状、物体表面的几何特征等，其内在结构是非线性的，需要利用微分几何的工具来刻画。 本书的核心在于建立和发展一套适用于特殊流形数据的统计推断理论和方法。我们首先会回顾黎曼几何和微分几何的基础知识，重点关注那些对统计建模至关重要的概念，如测地线、曲率、切空间、指数映射和对数映射。这些概念为我们理解流形上的距离、方向和局部线性结构提供了数学框架。 在流形数据建模方面，我们将介绍如何将经典的统计模型推广到特殊流形上。例如，我们讨论流形上的线性模型、广义线性模型以及非参数密度估计方法。这包括定义流形上的均值、离散度和协方差的概念，并研究它们的性质。我们将重点关注如何利用指数映射和对数映射将流形上的数据投影到切空间，然后在此切空间上应用欧几里得统计方法，最后再将结果映射回流形。此外，本书还将介绍一些直接在流形上定义的统计模型，例如Fisher-Bingham分布在球面上的推广，以及基于测地线距离的聚类和分类算法。 在统计推断方面，本书将聚焦于流形数据的主流分析技术。这包括： 流形上的参数估计： 如何在流形上估计模型的参数？我们将探讨最大似然估计、矩估计以及其他在流形上可行的估计方法，并分析它们的渐近性质，如一致性、渐近正态性等。 假设检验： 如何在流形上进行统计假设检验？我们将介绍基于测地线距离、曲率或其他流形几何特征的检验统计量，并研究它们的分布和功效。 模型选择与模型评估： 在流形上，如何选择最优模型？我们将讨论一些针对流形数据的模型选择准则，如信息准则的推广，以及在流形上进行交叉验证的方法。 流形上的回归分析： 如何建立流形变量与其他变量之间的回归关系？我们将探讨在流形上进行回归建模的挑战，例如因变量在流形上，自变量在欧几里得空间，或者两者都在流形上。 本书还将深入探讨几种重要的特殊流形类型及其应用。 球面上的统计： 球面是流形中最简单也最常见的一种。我们将详细介绍球面上的方向统计，包括均值向量、方差估计、Fisher分布及其推广，以及在球面上的回归模型。这在天文学（恒星方向）、地质学（地磁方向）和机器人学（姿态表示）等领域有着广泛应用。 李群与特殊正交群上的统计： 李群，特别是特殊正交群SO(n)，在表示三维旋转、刚体运动等方面扮演着核心角色。我们将研究在SO(n)上的概率分布，例如修正的Bingham分布，以及如何进行SO(n)上的回归分析和统计推断，这对于计算机视觉、机器人学、分子动力学模拟至关重要。 度量空间与距离空间上的统计： 当数据点之间只有距离信息而没有明确的代数结构时，我们则需要更一般的统计方法。本书将探讨如何在度量空间中进行聚类、降维和回归，例如基于测地线距离的MDS（多维尺度分析）方法。 纤维束与更复杂的几何结构： 在某些高级应用中，数据可能分布在更复杂的几何对象上，如纤维束。我们将初步介绍如何将统计思想拓展到这些更一般的结构上，为前沿研究提供理论基础。 本书的读者对象是统计学、数学、计算机科学、工程学、物理学、生物学和经济学等领域的学生、研究人员和实践者，他们需要处理具有内在几何结构的数据，并希望利用先进的统计工具来解决实际问题。通过学习本书，读者将能够： 理解特殊流形上的数据与传统欧几里得数据的本质区别。 掌握流形几何的基础知识，并理解其在统计建模中的作用。 学习和应用针对特殊流形数据的各种统计建模、估计和推断方法。 能够选择和实现合适的统计工具来分析不同类型的流形数据。 为处理更复杂、更抽象的几何数据奠定坚实的理论基础。 本书包含丰富的理论推导、算法介绍和案例分析，旨在为读者提供一个全面、深入且实用的流形统计学学习平台。我们鼓励读者在阅读过程中积极思考，将所学知识应用于自己的研究领域，共同推动流形统计学的发展。

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这本书的语言风格有一种独特的、近乎诗意的疏离感，尤其是在描述那些高度抽象的数学对象时。作者似乎对任何可能分散注意力的冗余词汇都保持着高度警惕，句子结构往往是主谓宾清晰分明，但充满了复杂的从句和限定语，使得每一句话都承载了极大的信息密度。我感觉自己像是在攀登一座由纯粹逻辑构筑的金字塔，每一步都必须精准无误。这本书在某些章节中对特定流形类型的分类和性质探讨，展现了作者深厚的几何学功底。例如，在描述某些奇异点或边界情况的处理时，作者展示了非凡的洞察力，能够精确地指出传统方法失效的原因，并提供替代的、更具普适性的框架。然而，这种极致的抽象也带来了一个挑战：实际应用案例的缺失。书中鲜有直接面向工程、物理或数据科学的实例来佐证其理论的有效性，这使得一些读者可能会对这些抽象工具的实际价值产生疑问。它更像是一部纯理论的“宪法”，规定了在这个特定数学宇宙中的基本法则，等待后来的实践者去构建具体的应用大厦。

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翻开这本书，我仿佛踏入了一个由抽象概念构筑的迷宫，每一个章节都像是精心设计的陷阱，挑战着我现有的数学直觉。作者的行文风格极为冷峻，充满了数学家特有的精确和不苟言笑，仿佛在向读者宣告，这里没有简单的捷径，只有严密的逻辑链条。初读时，我感到了一种强烈的疏离感，那些充斥在页边空白处的符号和公式，如同某种古老的密文，晦涩难懂。特别是在涉及高维拓扑结构和黎曼几何的部分，我不得不反复查阅参考资料，试图理解那些将流形视为基本研究对象的视角。这本书的深度并非那种可以浅尝辄止的，它要求读者具备扎实的微积分基础和对线性代数更深层次的理解。我尤其欣赏作者在构建理论框架时的那种宏大叙事能力，尽管过程艰涩，但一旦理解了某个关键定理的推导，那种豁然开朗的体验是无与伦比的。这本书无疑更适合那些已经对微分几何和概率论有一定涉猎的研究人员，对于初学者而言，它可能更像是一座难以攀登的知识高峰，令人望而生畏。它探讨的领域，似乎总是在试图捕捉那些在传统欧几里得空间中无法描述的、内在的、扭曲的结构之美，这种追求本身就足够迷人了。

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这本书的重量感和厚度本身就预示着它所承载的内容绝非泛泛之辈。我注意到，它在处理现代统计物理与微分几何的交汇点时，展现出一种跨学科的视野。作者似乎在努力构建一个统一的语言体系，用流形的语言来重新诠释看似无关的统计现象。例如，它对信息几何中费舍尔信息度量的流形结构做了非常细致的探讨，但这部分内容远超出了经典统计学的范畴，直接进入了现代拓扑数据分析的前沿领域。我个人觉得，书中对“弯曲的概率空间”这一概念的阐释最为精妙，它成功地将统计推断中的不确定性，与空间的几何属性联系起来。阅读这本书需要极大的专注力和长时间的投入，它不适合零散时间阅读，更像是一项需要全身心投入的研究项目。总体而言，这是一部极具野心且完成度极高的学术巨著，它不是一本旨在普及知识的书籍，而是为该细分领域的研究人员提供的深度工具箱和理论基石。

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这本书的排版和装帧风格透露出一种古典的、严谨的美学。纸张的质感厚实而略带粗粝，墨水在纸上的附着力极佳，即使在长时间的阅读和反复翻阅中，也不易出现模糊或褪色的情况，这对于需要频繁对照公式的读者来说，是一个巨大的加分项。然而，与其典雅的外表形成对比的是，这本书的目录结构显得有些过于“技术化”，缺乏明确的导读性。每一章的标题往往只是一个高度概括的数学术语，读者很难仅凭标题预判出该章节内容将要深入探讨的具体问题或应用场景。我发现自己经常需要跳跃式地阅读，通过章节间的引用关系来拼凑出作者的整体思路。这种结构更像是为已经熟悉该领域脉络的专家准备的参考手册，而不是为初学者设计的入门教程。书中对于一些基础概念的引入相对跳跃，假设读者已经拥有了一定的先验知识，这一点稍显遗憾，也使得非专业背景的读者在跟进时会感到吃力。尽管如此，书中对某些关键证明的细节处理却是极其详尽的，每一个逻辑步骤都经过了细致的打磨，展现了作者对逻辑严谨性的近乎偏执的追求。

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阅读这本专著的过程，与其说是在学习知识，不如说是在进行一场智力上的“长跑”。它不是那种读完能让你立即写出一篇论文的书，它更像是一个思想的熔炉，需要时间去沉淀和消化。我最深刻的感受是，它迫使我重新审视了“随机性”这个概念在非线性环境下的表现。传统的概率论往往建立在平坦的背景之上，但这本书似乎在努力描绘那些因空间曲率而扭曲的概率密度函数是如何演化的。书中对测度论在弯曲空间上的推广讨论得尤为深入，那些关于测地线与随机游走在流形上行为的分析，充满了令人着迷的悖论和洞见。我尝试在一些简单的三维流形上进行想象性的模拟，发现书中的理论模型确实能够捕捉到那些在直觉上难以捕捉到的“偏移”和“聚集”效应。尽管公式量巨大，但作者似乎总能在关键时刻插入一些深刻的哲学思考，提醒我们数学工具的局限性以及我们试图用数字去刻画世界的雄心。这使得原本可能枯燥的数学推导，有了一种更深层次的意义追寻感。

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