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出版者:European Mathematical Society

作者:Markus Stroppel

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2006-2-15

价格:GBP 41.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9783037190166

丛书系列:EMS Textbooks in Mathematics

图书标签:

• 数学
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局部紧致群：代数与拓扑的交融 本书深入探索了数学中一个核心且优美的概念——局部紧致群。这些群体不仅在代数结构上具备完备性，更在拓扑空间的性质上展现出引人入胜的特征。本书将带领读者穿越一系列抽象而精密的理论，揭示局部紧致群在分析学、几何学乃至数论等诸多数学分支中扮演的关键角色。 开篇：群的奠基石 旅程始于对群论基本概念的回顾与巩固。我们首先会重温群的定义、子群、陪集、正规子群等核心要素，并在此基础上引入群同态与同构的概念，为后续的深入探讨打下坚实基础。接着，我们将聚焦于拓扑空间的概念，包括开集、闭集、连续映射、紧致性、连通性等基本性质。这两大看似独立的数学领域，将在本书后续章节中发生深刻的融合。 紧致性的力量：局部紧致群的定义 本书的核心在于“局部紧致”这一属性。我们将严谨地定义一个群 $G$ 为局部紧致群，是指其作为一个拓扑空间时，满足局部紧致的性质。这意味着 $G$ 中的每一点都至少包含一个紧致邻域。这一看似简单的条件，却赋予了局部紧致群一系列强大且独有的分析性质。我们会深入探讨为什么这种局部性质对群的整体结构分析至关重要，并给出一些初级的例子，如实数集 $mathbb{R}$ 在加法下的群，以及有限群。 哈尔测度：在局部紧致群上的“体积” 局部紧致群最引人注目的特性之一，便是存在一个与群结构相容且在一定意义下“不变”的测度，即哈尔测度（Haar measure）。本书将花费大量篇幅来介绍哈尔测度的构造、性质及其唯一性（在比例意义下）。我们将证明，在任何局部紧致群上，都存在唯一的（在标度因子下）非零的左不变（或右不变）Borel测度，它与群的乘法运算和拓扑结构保持一致。这个哈尔测度的存在，为我们在局部紧致群上进行积分运算、建立傅里叶分析等分析工具提供了基础。我们将详细阐述哈尔测度的存在性证明，并探讨其与群的开方运算、逆元运算等操作的相互作用。 哈尔测度的应用：积分与傅里叶分析的萌芽 一旦建立了哈尔测度，我们便可以自然地在局部紧致群上定义可积函数，并进行积分运算。本书将展示如何利用哈尔测度定义和理解群上的积分，这为后续的泛函分析奠定了基础。我们将探讨一些重要的积分性质，例如度量空间的积分性质在群上的推广。 更进一步，我们将开始触及局部紧致群在傅里叶分析中的重要作用。尽管本格不会深入到抽象调和分析的全部深度，但会引入傅里叶变换的概念，并说明其在阿贝尔局部紧致群（例如 $mathbb{R}^n$ 或圆周群 $S^1$）上的经典形式。我们将解释傅里叶变换如何将群上的卷积运算转化为点态乘法，从而极大地简化分析计算。 阿贝尔局部紧糙群：对称性的美妙体现 阿贝尔群（交换群）在数学中扮演着基础性的角色，而阿贝尔局部紧致群更是结合了代数上的简洁性和拓扑上的丰富性。本书将重点研究这类群，并引入庞特里亚金对偶（Pontryagin duality）的概念。庞特里亚金对偶性是阿贝尔局部紧致群理论中的一个核心结果，它表明任何阿贝尔局部紧致群都与其“对偶群”同构，而对偶群本身也是一个阿贝尔局部紧致群。我们将深入探讨对偶群的构造，并展示对偶性如何在群的结构和其对偶群之间建立起深刻的联系，为理解这类群的表示理论提供了重要视角。 非阿贝尔局部紧致群：更广阔的天地 虽然阿贝尔局部紧糙群的理论已经非常丰富，但本书并未止步于此。我们将适当地介绍非阿贝尔局部紧致群的一些基本概念和性质。虽然非阿贝尔局部紧致群的理论远比阿贝尔情况复杂，并且哈尔测度的唯一性等性质可能会受到限制，但许多重要的分析工具和思想仍然可以得到推广。例如，我们将简要提及李群（Lie groups）的概念，它们是同时具有群结构和光滑流形结构的局部紧致群，并在微分几何和物理学中有着极为广泛的应用。 数学分析的工具箱 贯穿本书始终的，是对数学分析工具的灵活运用。我们将频繁地借助极限、收敛、度量空间、测度论等概念来理解和刻画局部紧致群的性质。从哈尔测度的存在性证明，到对偶理论的构建，再到初步的傅里叶分析，都离不开严谨的分析论证。本书旨在培养读者运用分析思想解决代数问题的能力，以及在抽象代数结构中寻找分析规律的敏感度。 总结与展望 本书的结尾，我们将对所学内容进行系统性的梳理与总结，强调局部紧致群在代数、拓扑和分析之间的桥梁作用。我们将重申哈尔测度的核心地位，以及庞特里亚金对偶性在阿贝尔情况下的优雅体现。同时，我们也会简要展望局部紧致群在更高级数学领域中的应用，例如调和分析、表示论、代数几何以及理论物理等，为读者未来的深入学习指明方向。 本书适合数学专业本科生高年级、研究生以及对抽象代数、拓扑学和数学分析有浓厚兴趣的研究者阅读。阅读本书需要一定的群论、点集拓扑学和测度论基础。通过本书的学习，读者将能够深刻理解局部紧致群的精妙结构，并掌握分析方法在代数对象上的应用，为进一步探索更广阔的数学世界奠定坚实的基础。

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我发现这本书在引用和参考文献的处理上也体现出一种独特的学术态度。它不像现代许多教材那样，在每章末尾提供详尽的“进一步阅读”清单，反而更像是自成一体的知识体系，它引导你深入其自身的逻辑宇宙，而不是轻易地跳脱出去寻求外部的帮助。这种聚焦感带来了极强的沉浸体验，一旦你进入了作者设定的框架内，你会感觉整个理论体系是如此的和谐与自洽。然而，这也是一把双刃剑。当我在某个特定的，例如在处理无限维情况下紧致性失效的某些特例时，我希望能找到一些具体的应用案例或者历史背景来佐证这些抽象构造的必要性，但书中几乎没有提供这类“软性”的背景材料。它更像是一部完备的、高度形式化的证明手册，每一个定理的出现都是水到渠成，但其出现的“动机”往往需要读者自行去挖掘，这种对读者主动性的挑战性，着实让人捏了一把汗。

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这本书的深度是毋庸置疑的，它确实触及了该领域的核心和前沿，特别是那些关于李群表示论和调和分析的交叉点，展现了作者深厚的学识功底。但这种深度也带来了阅读体验上的挑战，那就是其知识的密度极高。随便翻开一页，几乎每一句话都承载着重要的信息量，这使得“快速浏览”成为一种奢望，你必须放慢速度，仔细咀嚼每一个术语和逻辑连接。我常常发现自己需要反复阅读同一段落数次，才能确保没有遗漏任何关键的细节。更让我印象深刻的是，书中对某些基础概念的定义和处理方式，与我之前接触的几本教材存在细微的差别，这要求我必须完全“清空”原有的认知框架，按照这本书的内在逻辑重新构建对这些结构的理解。这种“重构”的过程是痛苦而富有成效的，它强迫你从根本上思考“为什么是这样定义”而不是“这个定义是什么”。

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这本书的封面设计得非常简洁，带着一种古典的数学书籍的韵味，米白色的纸张泛着岁月的痕迹，光是翻开扉页，就能感受到那种深邃而沉静的学术氛围。我最初抱着一种探索的心态接触它，希望能找到一个清晰的入口来理解那些看似抽象的拓扑群结构。然而，阅读的体验却远比想象中要曲折。作者在构建理论框架时，似乎更侧重于一种严密的逻辑链条，而非对初学者的友好引导。那些关于紧凑性和局部紧性的细致论证，虽然在数学上无懈可击，但对于习惯了更具直观几何解释的读者来说，无疑增加了理解的难度。我花了大量时间在对照参考书和自己绘制的拓扑空间图示上，试图将那些冰冷的符号与实际的数学对象对应起来。特别是关于哈尔测度和不变测量的章节，简直是一场智力上的马拉松，每一个定义和定理的引入都要求读者对泛函分析和一般拓扑学有极其扎实的背景，否则很容易在复杂的推导中迷失方向，感觉自己像是一个在迷宫中摸索的探险家，每一步都走得小心翼翼，生怕一个不慎就会跌入逻辑的深渊。

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坦白说，这本书更像是为那些已经完成研究生阶段核心课程学习、准备进入研究领域的人士准备的“进阶指南”，而不是入门读物。它的语言风格非常“内敛”，倾向于使用数学符号本身来完成叙事，而不是依赖于描述性的文字。例如，书中对紧凑集性质的讨论，完全是通过一系列精妙的集合论和拓扑操作来展现的，几乎没有使用任何类比或口语化的解释。这使得这本书在精确度上达到了极致，但却牺牲了作为教学工具的普适性。我个人在使用这本书时，常常需要携带其他几本以“几何直觉”和“应用”为导向的参考书进行交叉对比，才能真正将那些纯粹的代数操作转化为可感知的数学实在。它要求你必须自带强大的“内部解码器”，才能有效吸收其中的知识，对于那些仅仅想了解“什么是局部紧群”这个概念的读者来说，这本书可能显得过于“硬核”和不近人情了。

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这本书的行文风格，说实话，有一种“老派”的英式严谨，每一个论断都像是经过了无数次锤炼的结晶，不容置疑，但也因此显得有些高冷。它更像是一位经验老到的教授在进行深度研讨，而不是一位循循善诱的导师在进行基础普及。例如，在介绍某些关键定理的证明时，作者常常会省略一些看似“显而易见”的中间步骤，这种对读者先验知识的自信，有时候会让人感到挫败。我记得有一次，在尝试理解一个关于PeterWeyl定理的推论时，我不得不停下来，花了两天时间去回顾线性代数中关于完备性空间的知识点，感觉这本书把我推到了一个必须自我提升的境地。它很少使用生动的例子来阐释晦涩的概念，更多依赖于精确的数学语言来构建起坚不可摧的理论大厦。因此，对于那些期待通过丰富的可视化案例来掌握抽象代数结构的读者来说，这本书可能会显得过于干燥和抽象，需要极强的自我驱动力和对纯数学美学的深度欣赏才能坚持读下去。

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