Parabolic Quasilinear Equations Minimizing Linear Growth Functionals pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Fuensanta Andreu-Vaillo

出品人:

页数:354

译者:

出版时间:2004-3-19

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764366193

丛书系列:Progress in Mathematics

图书标签:

• 偏抛物方程
• 拟线性方程
• 变分问题
• 线性增长泛函
• 最小化问题
• PDE
• 非线性分析
• 正则性
• 存在性
• 解的存在性

抛物型拟线性方程理论与应用 本书深入探讨了一类重要的偏微分方程——抛物型拟线性方程，并重点关注其在最小化线性增长泛函问题中的应用。我们从方程的基本性质出发，逐步构建起一套严谨的数学理论框架，旨在揭示这类方程的内在规律及其在解决实际问题时的强大能力。 核心内容概览： 1. 抛物型拟线性方程的定义与分类： 我们将精确定义抛物型拟线性方程，阐明其“抛物型”的特性（例如，涉及时间导数项）以及“拟线性”的本质（即方程的非线性特征并非简单的多项式形式，而是可能涉及导数的复杂函数）。 我们会讨论不同类型抛物型拟线性方程的分类，例如，根据非线性项的结构、是否包含高阶导数等，这将有助于读者理解不同方程在数学性质上的差异。 2. 变分法与泛函分析基础： 为了研究最小化线性增长泛函问题，本书将回顾并深入介绍相关的变分法理论。这包括勒让德-芬切尔变换、凸性分析、以及Sobolev空间等泛函分析的必备工具。 我们将详细阐述如何构造和分析一个满足特定增长条件的泛函，并建立其与抛物型拟线性方程之间的变分关系。 3. 最小化线性增长泛函的数学框架： 本书的核心之一在于建立最小化特定线性增长泛函的数学模型。我们将定义这类泛函，分析其性质，特别是其“线性增长”的特性，这在保证数学分析的良好性质（如存在性、唯一性）方面至关重要。 我们将证明，在适当的条件下，求解这类最小化问题等价于求解一类特定的抛物型拟线性方程。这将是一个严谨的推导过程，涉及能量方法、极值原理等。 4. 方程的解的存在性与唯一性： 本书将投入大量篇幅来证明所研究的抛物型拟线性方程解的存在性。我们将采用各种先进的分析技术，如Schauder估计、Kirchhoff-Love方程的正则性理论、或使用压缩映射原理等，来克服方程的非线性带来的挑战。 在解的存在性得到保证后，我们还会深入探讨解的唯一性问题。对于许多物理和工程问题而言，唯一解的存在是保证模型预测有效性的关键。 5. 方程的正则性理论： 除了证明解的存在性，理解解的“光滑性”或“正则性”也至关重要。我们将研究方程解的HOLDER连续性、Sobolev正则性，甚至C^∞正则性，并分析这些正则性如何受到方程系数和边界条件的影响。 这些正则性结果不仅丰富了对解的理解，也是后续分析（如稳定性、渐近行为）的基础。 6. 边界条件与初值问题： 抛物型方程的解很大程度上取决于所施加的边界条件和初值。本书将详细讨论不同类型的边界条件（如Dirichlet条件、Neumann条件、Robin条件等）对方程解的影响，以及它们如何与泛函的构造相对应。 我们将分析初值问题，即在给定初始状态下，方程随时间演化的行为。 7. 数值分析方法与近似解： 理论分析之外，本书还将探讨求解这类方程的数值方法。我们将介绍有限元方法、有限差分方法等数值离散技术，并分析这些方法的收敛性和稳定性。 这部分内容将为读者提供将理论应用于实际问题的可行途径，以及如何通过计算获得方程的近似解。 8. 应用领域展望： 最后，我们将展望抛物型拟线性方程及其最小化泛函理论在各个领域的潜在应用。这可能包括： 材料科学： 描述相变、形变、扩散过程中的能量最小化行为。 流体力学： 分析某些非牛顿流体的流动，特别是当模型涉及粘性耗散或表面张力时。 图像处理： 在图像去噪、边缘检测等任务中，可以通过最小化特定能量泛函来得到相应的偏微分方程。 金融数学： 某些期权定价模型可能涉及非线性演化方程。 生物医学： 模拟生物系统中物质的扩散、细胞生长等现象。 本书特色： 理论严谨性： 严格的数学推导，建立在坚实的泛函分析和偏微分方程理论基础上。 方法全面性： 涵盖从基础概念、理论证明到数值计算的完整流程。 应用导向性： 强调理论在解决实际问题中的作用，并提供应用前景展望。 结构清晰性： 各章节之间逻辑连贯，由浅入深，便于读者理解和学习。 本书旨在为从事偏微分方程、泛函分析、应用数学及相关工程科学领域的研究人员、博士生以及高年级本科生提供一套系统、深入的学习资源。通过研读本书，读者将能够掌握抛物型拟线性方程及其变分法的核心理论，并具备分析和解决相关实际问题的能力。

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这本书的叙事风格非常克制而内敛，几乎没有多余的修饰词或过于热情的导语，完全是以一种冷静的数学家姿态在对话。这对于追求效率和精确性的读者来说是极大的优点。它不浪费笔墨在背景介绍上，而是迅速切入核心的证明和定理的陈述。我注意到，作者在处理一些复杂的不等式估计时，展现了惊人的技巧，特别是利用了某些不寻常的边界条件和嵌入定理来控制解的增长。对我个人而言，最受启发的是关于Sobolev空间中函数性质的深入分析，这部分内容直接决定了方程解的存在性和唯一性。很多时候，我们习惯于使用标准框架，但这本书敢于挑战这些框架的边界，引入了更精细的函数空间来捕捉某些特殊解的特征。这使得这本书不仅仅是一本参考书，更像是一本进阶的“工具箱”，里面装满了处理非标准问题的利器，需要读者反复咀嚼才能真正掌握其精髓。

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我对这本书的印象是，它成功地将两个看似有些距离的数学分支——偏微分方程的定性分析与变分法的优化目标——紧密地结合在了一起。市面上很多同类书籍，要么过于偏重理论的纯粹性，使得应用背景显得苍白；要么过于关注具体的应用实例，却牺牲了对底层数学结构严谨性的剖析。而这本著作巧妙地找到了一个平衡点。它深入挖掘了在特定能量泛函作用下，解的结构会呈现出什么样的“抛物线式”的行为。我特别欣赏作者在推导过程中对物理直觉的尊重，但绝不依赖直觉，而是用无可辩驳的数学语言去证实那些直觉的合理性。书中对于奇异摄动问题的讨论，展示了当系统参数趋近于某一极限时，解的渐近表现，这对于工程和物理领域的应用者来说是极其宝贵的财富。阅读这本书，就像是学习如何用数学语言来描述自然界中那些微妙的“平衡”和“变化趋势”，需要高度的专注力，但回报是思维层次的提升。

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从排版和结构上来看，这本书展现了高度的专业水准。公式的排布清晰，符号系统保持了惊人的一致性，这在处理如此繁复的数学表达式时是多么难能可贵。我发现作者在论证过程中非常注重细节的完备性，几乎每一个步骤都有清晰的逻辑支撑，很少出现需要读者自行“填补空白”的情况。特别是关于二阶导数正则性的提升部分，作者使用了一种非常巧妙的迭代过程来逐步提高解的平滑度，这比我之前见过的任何一种方法都要来得优雅和高效。这本书更像是数学家写给未来数学家的指南，它旨在培养读者构建严格论证的能力，而不仅仅是传授已有的知识点。它要求你不仅要理解“是什么”，更要理解“为什么必须是这样”。对于致力于偏微分方程前沿研究的人来说，这本书无疑是一部里程碑式的著作，它构建的理论框架，在未来相当长一段时间内都将是研究该领域的基础蓝图。

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老实说，这本书的阅读体验并非一帆风顺，它对读者的预备知识要求很高，如果基础不够扎实，很容易在第三章之后感到力不从心。然而，正是这种挑战性，使得它在我的书架上占据了非常重要的位置。我尤其欣赏其中关于“最小化线性增长泛函”的几何意义的探讨。作者并未将泛函视为抽象的代数对象，而是赋予其深刻的几何或物理含义，这极大地帮助我理解为何某些解会自然地“趋向”于具有最小能量（即最小增长）的状态。这种对物理图像和数学形式的完美融合，是很多纯理论著作所欠缺的。此外，书中对数值方法的讨论也很有分寸，它没有陷入算法的细节，而是提供了从理论层面指导如何选择有效数值方法的框架，强调了收敛性和稳定性分析的数学基础，这对于跨学科的研究人员来说是至关重要的桥梁。

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这本关于抛物线型拟线性方程和最小化线性增长泛函的书籍，初看上去就散发着一种严谨而高深的数学气息。我得承认，在拿起这本书之前，我对“拟线性”和“线性增长泛函”这些术语的理解还停留在教科书的表层。然而，一旦深入阅读，我发现作者的处理方式极其精妙。他们并没有仅仅满足于推导一些已知的结论，而是将基础的变分原理和偏微分方程理论融会贯通，构建了一个逻辑严密、层层递进的知识体系。尤其是关于正则性理论的探讨，作者采用了非常现代且强有力的工具，使得原本抽象的证明过程变得清晰可辨，即使是对于那些并非此领域专家的读者，也能窥见其深层的美感。书中对算子理论的运用，特别是半群理论的引入，为理解长期行为和稳定性问题提供了坚实的数学基础。可以说，这本书更像是一次深入数学思维深处的探险，而不是简单的知识传授。它要求读者不仅要有扎实的分析基础，更要有面对复杂系统时保持清晰头脑的耐心与洞察力。

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