Differential Geometry of Varieties with Degenerate Gauss Maps pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Akivis, Maks; Goldberg, Vladislav; Akivis, M. A.

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2003-11

价格:$ 106.22

装帧:

isbn号码:9780387404639

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 代数几何
• 退化高斯映射
• 流形
• 奇异几何
• 微分形式
• 拓扑学
• 黎曼几何
• 复流形
• 几何学

《微分几何概论》 本书是一部面向研究生及以上数学专业人士的微分几何教材，旨在系统地介绍微分几何的核心概念、方法与理论。全书分为四个主要部分，循序渐进地引导读者深入理解微分流形、曲率、测地线以及更高级的几何结构。 第一部分 “流形的拓扑基础” 为后续内容奠定坚实基础。我们将从集合论与拓扑空间的初步概念出发，详细阐述开集、闭集、紧集、连通集等基本拓扑性质。在此基础上，本书将引入“流形”这一核心概念，重点讲解光滑流形的定义，即包含局部欧几里得坐标系以及光滑过渡映射的拓扑空间。读者将学习如何构造和识别简单的流形，例如球面、环面以及抽象的抽象流形。此外，还将深入讨论切空间的概念，它是研究流形局部行为的关键工具，并介绍向量场的定义及其性质，为理解流形上的微积分奠定基础。 第二部分 “曲率与几何测度” 专注于度量空间中的几何特性。我们将首先定义并计算曲率张量，包括里奇曲率和标量曲率，并探讨它们在刻画空间几何性质上的重要作用。书中将详细介绍测地线的概念，即在黎曼流形上“最短路径”的推广，并给出计算测地线方程的方法。通过对测地线的分析，读者将能够理解指数映射以及它在局部几何研究中的应用。此外，本部分还将探讨常曲率空间（如欧几里得空间、球面和双曲空间）的性质，并介绍法向量场和第二基本形式，这些工具对于理解嵌入式流形的几何特征至关重要。 第三部分 “流形上的微积分与张量分析” 将微分几何的工具推广到更广泛的数学领域。我们将深入介绍微分形式的概念，并讲解外微分和霍奇对偶等基本运算。斯托克斯定理在流形上的推广将是本部分的重点，它统一了微积分中的多个重要定理，如散度定理和格林公式。本书还将详细阐述联络的概念，特别是列维-奇维塔联络，它允许我们在流形上定义协变导数，从而实现向量场和张量的“平行移动”。这将是理解曲率张量和测地线方程的逻辑起点。 第四部分 “高级主题与应用展望” 将触及一些更前沿的几何概念，并简要介绍微分几何在其他数学和物理领域的影响。我们将初步介绍纤维丛的概念，并简要探讨主丛和向量丛在理解流形上的几何结构中的作用。此外，本书还将提及嘉当几何的思想，即利用“联络”和“标架”来描述和研究几何空间。最后，我们将概述微分几何在广义相对论、规范场论以及代数几何中的一些经典应用，以激发读者进一步探索的兴趣。 本书的语言力求严谨清晰，逻辑性强，辅以大量的例子和习题，帮助读者巩固所学知识。我们假设读者具备一定的微积分、线性代数和基础拓扑学知识。通过研读本书，读者将能够掌握分析和理解各种几何对象的基本方法，并为进一步深入研究更专门的几何领域做好准备。

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作为一个常年与复分析和黎曼几何打交道的学者，我对那些试图将几何概念“代数化”的尝试总是抱持着一种审慎的期待。这本书给我带来的冲击是多层次的，它不仅仅是内容的堆砌，更是一种思维范式的转变。作者似乎拥有一种魔力，能够将原本看似毫不相关的概念——比如奇点理论与向量场流——巧妙地编织在一起，形成一个宏大而统一的理论框架。我花了一整周的时间来消化其中关于“局部结构稳定性”的那几章，其论证的精妙程度令人拍案叫绝。书中引用的例子往往选取得非常巧妙，它们既能充分展示理论的威力，又不会因为过于特殊化而显得孤立。更让我惊喜的是，作者在某些结论的讨论中，隐晦地指出了未来可能的研究方向，这对于正在寻找博士论文课题的我来说，无疑是金玉良言。这本书的深度和广度，完全超越了我对一本专门性教材的预期。

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读完此书，我最大的感受是，它提供了一个全新的视角来审视我们熟悉的几何对象。过去我总是习惯于从光滑流形的角度去理解，而这本书则大胆地将焦点投向了那些“不完美”的、具有奇异性的情形。这种处理方式不仅在数学上具有创新性，更在哲学层面引发了我的深思：真正的几何美，是否恰恰蕴藏在那些“破损”之处？书中对于某些退化情形（Degenerate Cases）的细致分析，其严密性令人叹服，完全避免了许多同类书籍在处理这些边缘情况时常有的敷衍了事。每一次阅读都像是一次智力的探险，你永远不知道下一个转角会出现怎样惊人的结构。我甚至开始重新审视自己过去的研究领域，试图用这本书中阐述的某些代数几何工具来重新构建我的模型。这绝对是一部能引领未来研究方向的里程碑式著作。

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我向来认为，一本伟大的学术书籍，应该像一位耐心的导师，既能指引方向，又能适时地提供支持。这本著作无疑做到了这一点。它的语言风格介于纯粹的数学符号和富有洞察力的散文之间，保持了一种罕见的平衡。书中对一些经典定理的重述，往往伴随着作者独到的见解和更现代的阐释，这使得即便是老读者也能发现新的乐趣。举例来说，它对某些高维结构的描述，竟然能让人联想到音乐中的和声与对位，这种跨领域的联想能力，正是高级数学思维的体现。我发现自己常常在读完一小节后，会合上书本，在脑海中进行一番快速的“几何可视化”，而这本书的叙述方式极大地促进了这种内在的思维构建过程。它不仅仅是在传授知识，更是在培养一种深刻的、直觉性的几何直觉。

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这本书的封面设计简直令人眼前一亮，那种深邃的蓝色调和抽象的几何图形交织在一起，散发着一种既古典又前沿的学术气息。我立刻就被吸引了，感觉它不仅仅是一本教科书，更像是一件艺术品。从翻开第一页开始，我就知道我面对的是一个重量级的作品。作者的叙述方式非常严谨，每一个定义、每一个定理的引入都经过了深思熟虑，逻辑链条异常清晰，即使涉及到非常抽象的拓扑和微分结构，也能被梳理得井井有条。虽然主题本身就具有相当的挑战性，但阅读体验却出奇地顺畅。书中对于基础概念的回顾和铺垫也做得非常到位，这对于那些试图跨领域学习的读者来说，无疑是一大福音。我尤其欣赏作者在讲解复杂公式推导时所展现出的耐心和细致，总能让人在迷雾中找到清晰的路径。这本著作在构建现代代数几何与经典微分几何之间的桥梁方面，无疑树立了一个新的标杆。

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老实说，我对这种高度专业化的书籍通常持有一种敬而远之的态度，因为它们往往晦涩难懂，充满了只有行家才能领会的小道术语。然而，这次的阅读体验完全颠覆了我的固有观念。这本书的排版设计堪称典范，页边距的留白恰到好处，公式的编号和引用系统也做得非常人性化，这极大地降低了长时间阅读带来的视觉疲劳。在内容上，它并没有一开始就抛出那些令人望而生畏的复杂结构，而是循序渐进地引入了必要的工具集。我特别喜欢作者在章节末尾设置的“思考题”部分，它们并不是简单的习题，更像是对前文概念的深入反思和拓展，极大地激发了读者的主动探索欲。它要求你不仅仅是记住，而是要去“玩弄”这些概念，去感受它们之间的内在联系。对于那些想要扎实掌握几何基础，而不是仅仅停留在表面概念上的学生来说，这本书提供了无与伦比的脚手架。

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